AMC 8 · 2011 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangefraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음은 타일러(Tyler)가 지난여름 아홉 번의 낚시에서 잡은 물고기 수의 목록입니다: $2,0,1,3,0,3,3,1,2.$ 평균(mean), 중앙값(median), 최빈값(mode)에 관한 다음 설명 중 옳은 것은 어느 것인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

median < mean < mode

(B)

mean < mode < median

(C)

mean < median < mode

(D)

median < mode < mean

(E)

mode < median < mean

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 타일러가 아홉 번 낚시를 가서 잡은 물고기 수가 $2, 0, 1, 3, 0, 3, 3, 1, 2$ 입니다. 이 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 구해서 세 값의 대소 관계를 올바르게 나타낸 부등식을 고르세요.

주어진 것: $9$개의 값으로 이루어진 자료: $\{2, 0, 1, 3, 0, 3, 3, 1, 2\}$; 비교할 대표값 세 가지: 평균, 중앙값, 최빈값; 선택지는 세 대표값을 배열한 다섯 가지 부등식

구하는 것: 다섯 부등식 (A)–(E) 중 실제로 성립하는 것

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 다시 배열하기

묻는 것은 "순서" 하나지만, 깔끔하게 답하려면 평균·중앙값·최빈값 세 개를 따로 구해야 합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 셋을 하나씩 계산한 다음 마지막에 세 수를 비교합니다. 도구 #2(다시 배열하기) 는 미리 자료를 작은 값부터 큰 값까지 정렬해 두면 중앙값과 최빈값이 한눈에 보이게 해 주는 준비 작업입니다.

실행 — 정답: C

#2 다시 배열하기 6.SP.B.4 단계 1

자료를 작은 값부터 큰 값까지 정렬합니다.
도구 #2(다시 배열하기) 의 핵심 동작으로, 값 자체는 그대로지만 중앙값과 최빈값을 읽기가 훨씬 쉬워집니다.

$$\{2, 0, 1, 3, 0, 3, 3, 1, 2\} \;\longrightarrow\; \{0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3\}$$

💡 값을 순서대로 놓으면 자료의 모양이 드러난다는 6학년 자료 표현 감각입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

평균을 구합니다.
$9$ 개 값을 모두 더한 뒤 $9$ 로 나눕니다.
이미 정렬돼 있으므로 $0{+}0$, $1{+}1$, $2{+}2$, $3{+}3{+}3$ 처럼 짝지어 더하면 깔끔합니다.

$$\text{평균} = \dfrac{0+0+1+1+2+2+3+3+3}{9} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3} \approx 1.67$$

💡 "합 $\div$ 개수" 로 평균을 구하는 것은 6학년 평균의 정의 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 3

중앙값을 찾습니다.
값이 $9$ 개이므로 정렬한 자료의 $5$ 번째 값이 중앙값입니다 (좌우로 $4$ 개씩).

정렬: $0, 0, 1, 1, \underline{2}, 2, 3, 3, 3 \;\Rightarrow\; \text{중앙값} = 2$

💡 홀수 개의 정렬된 자료에서 한가운데 있는 값이 중앙값이라는 정의 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 4

최빈값을 찾습니다.
정렬한 자료에서 가장 자주 나오는 값을 고릅니다.
$0$ 은 $2$ 번, $1$ 은 $2$ 번, $2$ 는 $2$ 번, $3$ 은 $3$ 번 나옵니다.

도수: $0{:}\,2,\; 1{:}\,2,\; 2{:}\,2,\; 3{:}\,3 \;\Rightarrow\; \text{최빈값} = 3$

💡 도수표에서 막대가 가장 높은 값이 곧 최빈값입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.3 단계 5

세 수의 크기를 비교합니다.
$\tfrac{15}{9} = \tfrac{5}{3} \approx 1.67$ 은 $2$ 보다 작고, $2$ 는 $3$ 보다 작습니다.

$$\dfrac{15}{9} < 2 < 3 \;\Longleftrightarrow\; \text{평균} < \text{중앙값} < \text{최빈값} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\tfrac{15}{9}$ 를 $15 \div 9 = 1.67$ 로 해석해 $2$ 보다 작음을 확인하는 것은 5학년 "분수를 나눗셈으로 보기" 표준입니다.

[1] #2 6.SP.B.4 자료를 작은 값부터 큰 값까지 정렬합니다. 도구 #2(다시 배열하기) 의 핵심 동작으로, 값 자체는 그대로지만 중앙값과 최빈값을 읽기가 훨씬 쉬

[2] #7 6.SP.B.5 평균을 구합니다. $9$ 개 값을 모두 더한 뒤 $9$ 로 나눕니다. 이미 정렬돼 있으므로 $0{+}0$, $1{+}1$, $2{+}2$, $3

[3] #7 6.SP.B.5 중앙값을 찾습니다. 값이 $9$ 개이므로 정렬한 자료의 $5$ 번째 값이 중앙값입니다 (좌우로 $4$ 개씩).

[4] #7 6.SP.B.5 최빈값을 찾습니다. 정렬한 자료에서 가장 자주 나오는 값을 고릅니다. $0$ 은 $2$ 번, $1$ 은 $2$ 번, $2$ 는 $2$ 번, $3

[5] #7 5.NF.B.3 세 수의 크기를 비교합니다. $\tfrac{15}{9} = \tfrac{5}{3} \approx 1.67$ 은 $2$ 보다 작고, $2$ 는 $

검토

합리성 확인: 감을 잡아 봅시다: 자료에는 큰 값인 $3$ 이 세 번 몰려 있어 최빈값을 $3$ 으로 끌어올리고, 작은 값 $0$ 과 $1$ 이 평균을 끌어내립니다. 그래서 "최빈값 $>$ 중앙값 $>$ 평균" 이 예상되는데, 그게 바로 (C) 입니다. 또 평균 $\tfrac{15}{9} \approx 1.67$ 은 자료의 최솟값 $0$ 과 최댓값 $3$ 사이에 들어가 있어 평균의 일반 성질과도 맞습니다.

대안 접근: 도구 #4(가능성 지우기): 최빈값이 자료의 최댓값인 $3$ 이라는 사실만 알면, 어떤 대표값도 자료의 최댓값을 넘을 수는 없으므로 최빈값이 세 값 중 가장 클 수밖에 없습니다. 그러면 다른 대표값이 위에 오는 (A), (B), (D), (E) 는 모두 탈락하고, 최빈값을 맨 위에 두는 (C) 만 살아남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.4 점도표·히스토그램·상자그림 등 수직선 위에 수치 자료를 표현하기 (아홉 개의 자료를 오름차순으로 정렬해, 중앙값과 가장 자주 나오는 값을 한눈에 읽을 수 있도록 준비.)
6.SP.B.5 맥락 속에서 수치 자료를 요약하기 (중심 경향치: 평균·중앙값·최빈값) (자료의 평균($\tfrac{15}{9}$), 중앙값($2$), 최빈값($3$) 세 대표값을 구해 서로 비교.)
5.NF.B.3 분수를 분자 $\div$ 분모 의 나눗셈으로 해석 ($\tfrac{15}{9}$ 를 $15 \div 9 \approx 1.67$ 로 환산해 정수 $2$, $3$ 과 대소 비교.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 평균·중앙값·최빈값을 각각 구한 뒤 줄 세우기만 하면 풀 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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