AMC 8 · 2011 · #9

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

rategraph-reading dimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

카멘(Carmen)이 언덕이 많은 고속도로에서 긴 자전거 라이딩을 합니다. 아래 그래프는 라이딩 시간에 따른 이동 거리(마일)를 나타냅니다. 카멘의 전체 라이딩 평균 속력은 시속 몇 마일일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

2.5

(C)

(D)

4.5

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 카멘은 언덕이 있는 고속도로에서 자전거를 탑니다. 그래프는 시간(시간 단위, 가로축) 에 따라 누적 이동 거리(마일, 세로축)를 보여 줍니다. 출발점은 $(0, 0)$ 이고, 마지막 점은 $(7, 35)$ 이며, 중간에 $(1, 5)$, $(2, 15)$, $(4, 20)$ 에서 기울기가 꺾입니다. 전체 라이딩의 평균 속력은 시속 몇 마일(mph)일까요?

주어진 것: 그래프는 가로축 = 시간(시), 세로축 = 거리(마일); 라이딩은 원점 $(0, 0)$ 에서 시작; 그래프의 마지막 점은 $(7, 35)$ — $7$ 시간 동안 총 $35$ 마일; 중간 꺾임 $(1, 5)$, $(2, 15)$, $(4, 20)$ 은 언덕에서 속도가 바뀌었음을 보여 줌; 선택지: (A) $2$, (B) $2.5$, (C) $4$, (D) $4.5$, (E) $5$ (mph)

구하는 것: 전체 라이딩의 평균 속력(mph)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #3 그림 그리기

문제에서 시속 마일(mph) 을 묻고 있으니 도구 #8(단위 살펴보기) 가 바로 보입니다: $\text{mph} = \dfrac{\text{마일}}{\text{시간}}$ 이므로 "총 마일 수" 와 "총 시간 수" 하나씩만 있으면 됩니다. 도구 #3(그림 그리기) 은 이미 그래프가 그려져 있어서 우리가 할 일은 끝점 $(7, 35)$ 을 정확히 읽는 것뿐입니다 — 중간 구간 정보는 평균에 영향을 주지 않습니다. 중간 꺾임은 "구간 속력의 평균" 으로 풀고 싶게 만드는 유도용 함정입니다.

실행 — 정답: E

#3 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

가로축에서 전체 시간을 읽습니다.
라이딩이 끝나는 그래프의 오른쪽 끝점은 시간축에서 $x = 7$ 에 위치하므로, 전체 시간은 $7$ 시간입니다.

$$\text{전체 시간} = 7 \text{ 시간}$$

💡 1사분면 점의 $x$ 좌표를 읽어 "걸린 시간" 을 알아내는 것은 5학년 좌표평면 표준입니다.

#3 그림 그리기 5.G.A.2 단계 2

같은 끝점의 세로축 값을 읽어 전체 거리를 구합니다.
끝점은 마일축에서 $y = 35$ 이므로 카멘이 총 $35$ 마일을 달렸음을 알 수 있습니다.

$$\text{전체 거리} = 35 \text{ 마일}$$

💡 끝점의 $y$ 좌표가 누적 거리라는 사실도 같은 5학년 좌표평면 아이디어입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

평균 속력의 정의를 적용합니다 — 전체 거리 $\div$ 전체 시간.
단위가 이미 마일과 시간으로 맞춰져 있으니 결과는 바로 mph 로 나옵니다.

$$\text{평균 속력} = \dfrac{35 \text{ 마일}}{7 \text{ 시간}} = 5 \text{ mph} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 총 거리와 총 시간으로부터 단위율(시속 마일)을 구하는 것은 6학년 비율·비례 추론의 핵심입니다.

[1] #3 5.G.A.2 가로축에서 전체 시간을 읽습니다. 라이딩이 끝나는 그래프의 오른쪽 끝점은 시간축에서 $x = 7$ 에 위치하므로, 전체 시간은 $7$ 시간입니다

[2] #3 5.G.A.2 같은 끝점의 세로축 값을 읽어 전체 거리를 구합니다. 끝점은 마일축에서 $y = 35$ 이므로 카멘이 총 $35$ 마일을 달렸음을 알 수 있습니

[3] #8 6.RP.A.3 평균 속력의 정의를 적용합니다 — 전체 거리 $\div$ 전체 시간. 단위가 이미 마일과 시간으로 맞춰져 있으니 결과는 바로 mph 로 나옵니다

검토

합리성 확인: 언덕길 자전거 라이딩의 평균 $5$ mph 는 합리적입니다 — 스포츠 라이딩보다는 빠른 걸음 정도라서 "hilly" 지형과 어울립니다. 구간별로 검증해 보면: $0 \to 5$ 마일을 $1$ 시간($5$ mph), $5 \to 15$ 마일을 $1$ 시간(내리막 $10$ mph), $15 \to 20$ 마일을 $2$ 시간(오르막 $2.5$ mph), $20 \to 35$ 마일을 $3$ 시간($5$ mph). 합계 $5 + 10 + 5 + 15 = 35$ 마일, $1 + 1 + 2 + 3 = 7$ 시간이므로 $35 / 7 = 5$ mph 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 함정을 걸러 봅시다. 구간 속력을 단순 평균 내면 $\tfrac{5 + 10 + 2.5 + 5}{4} = 5.625$ mph 가 나오는데, 이 값은 선택지에 아예 없습니다 — "평균 속력" 이 "속력들의 평균" 과 다르다는 경고입니다. 선택지에 맞는 값은 $\dfrac{\text{전체 거리}}{\text{전체 시간}}$ 으로 계산한 $5$ mph 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.2 1사분면에 점을 찍어 실생활·수학 문제 표현하기 (거리-시간 그래프에서 끝점 $(7, 35)$ 을 읽어 전체 시간($7$ 시간) 과 전체 거리($35$ 마일)를 추출하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (평균 속력을 단위율 $35 \div 7 = 5$ 시속 마일로 계산하는 데 사용.)

⭐ 평균 속력은 항상 전체 거리 $\div$ 전체 시간 이에요 — 가는 동안의 속력들을 평균 낸 값이 아니에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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