AMC 8 · 2013 · #8

학년 7 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

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문제

공정한 동전을 $3$ 번 던졌을 때, 앞면이 연속해서 최소 $2$ 번 나올 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{8}$

(B)

$frac{1}{4}$

(C)

$frac{3}{8}$

(D)

$frac{1}{2}$

(E)

$frac{3}{4}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 동전을 연속으로 $3$ 번 던집니다. $3$ 번 던지는 동안 어딘가에서 앞면이 두 번 연달아 나올(즉, 결과 수열 안에 "$HH$" 가 포함될) 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 동전은 공정하므로 각 던지기는 독립적으로 $H$ 또는 $T$ 가 확률 $\tfrac{1}{2}$ 로 나옵니다; 동전을 정확히 $3$ 번 던지므로, 각 결과는 $H$ 와 $T$ 로 이루어진 길이 $3$ 의 순서 있는 문자열입니다; "앞면 두 번 연속" 은 수열 안에 부분 문자열 $HH$ 가 들어있다는 뜻입니다 ($HHH, HHT, THH$ 모두 해당); 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{3}{8}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{3}{4}$

구하는 것: $3$ 번 던진 결과 수열에 앞면 두 개가 이웃한 위치에 나타날 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건 세기

결과가 $2^3 = 8$ 가지밖에 안 되므로 표본 공간 전체를 한 줄에 적을 수 있습니다 — 가장 깔끔한 길은 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 입니다. 정해진 순서로 $3$ 번 던진 결과를 모두 적은 뒤 $HH$ 가 들어있는 것에만 표시하면 끝납니다. 도구 #16(여사건 세기) 은 검토 단계에서 교차 확인용으로 남겨 둡니다 — $HH$ 가 들어있지 "않은" 결과의 수를 세는 것도 짧고, 두 개수의 합이 정확히 $8$ 이 되는지로 검증할 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

같은 확률을 가지는 전체 결과의 수를 구합니다.
$3$ 번 던지는 각 시행이 $2$ 가지 결과를 가지고 시행이 서로 독립이므로 표본 공간의 크기는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 가지입니다.

$$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 \text{ 가지}$$

💡 복합 사건의 균등한 표본 공간을 세우는 것은 7학년 "복합 사건을 위한 조직적인 목록" 의 기본 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

모든 결과를 정해진 순서로 적어, 빠뜨리거나 중복 세지 않도록 합니다.
간단한 규칙: 각 수열을 $T = 0$, $H = 1$ 인 $3$ 자리 이진수로 보고 $000$ 부터 $111$ 까지 순서대로 적습니다.

$$TTT, \; TTH, \; THT, \; THH, \; HTT, \; HTH, \; HHT, \; HHH$$

💡 도구 #2 의 핵심 규칙: 순서를 정한 뒤 그 순서를 지키는 것. $000$ 부터 $111$ 까지 세면 $8$ 가지 수열이 정확히 한 번씩 등장합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 3

각 결과를 보면서 $HH$ 가 들어있으면 "해당", 아니면 "비해당" 으로 표시합니다.
즉, 각 문자열에서 이웃한 $H$ 두 개가 있는지 살펴봅니다.

$$TTT \to \text{비해당}, \; TTH \to \text{비해당}, \; THT \to \text{비해당}, \; THH \to \textbf{해당}, \; HTT \to \text{비해당}, \; HTH \to \text{비해당}, \; HHT \to \textbf{해당}, \; HHH \to \textbf{해당}$$

💡 각 결과를 조건에 맞춰 분류하는 것은 7학년 "확률 모형 만들기" 와 같습니다 — 모든 결과에 yes/no 라벨을 붙이는 작업입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 4

해당 결과의 개수를 세서 확률을 구합니다.
해당 결과는 $THH, HHT, HHH$ 의 $3$ 가지이고, 전체는 $8$ 가지입니다.

$$P(\text{앞면 두 번 연속}) = \dfrac{\text{해당}}{\text{전체}} = \dfrac{3}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 균등한 표본 공간에서 확률은 (해당 수) / (전체 수) — 7학년 확률의 기본 공식입니다.

[1] #2 7.SP.C.8 같은 확률을 가지는 전체 결과의 수를 구합니다. $3$ 번 던지는 각 시행이 $2$ 가지 결과를 가지고 시행이 서로 독립이므로 표본 공간의 크기

[2] #2 7.SP.C.8 모든 결과를 정해진 순서로 적어, 빠뜨리거나 중복 세지 않도록 합니다. 간단한 규칙: 각 수열을 $T = 0$, $H = 1$ 인 $3$ 자리

[3] #2 7.SP.C.7 각 결과를 보면서 $HH$ 가 들어있으면 "해당", 아니면 "비해당" 으로 표시합니다. 즉, 각 문자열에서 이웃한 $H$ 두 개가 있는지 살펴봅

[4] #2 7.SP.C.7 해당 결과의 개수를 세서 확률을 구합니다. 해당 결과는 $THH, HHT, HHH$ 의 $3$ 가지이고, 전체는 $8$ 가지입니다.

검토

합리성 확인: $\tfrac{3}{8}$ 은 $\tfrac{1}{4}$ 과 $\tfrac{1}{2}$ 사이의 값이라 직관적으로 자연스럽습니다 — 정확히 $HHH$ 가 나올 확률($\tfrac{1}{8}$) 보다는 크고, "앞면이 총 $2$ 개 이상" 인 사건(연속이 아니어도 되는 경우, $HTH$ 도 포함되어 $\tfrac{1}{2}$) 보다는 작아야 하기 때문입니다. 또한 $8$ 가지 결과 중 절반($4$ 가지) 은 $H$ 가 최대 하나뿐이라 $HH$ 가 들어갈 수 없어, 답이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작은 것도 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(여사건 세기) 으로 교차 검증해 봅시다. $HH$ 가 "들어있지 않은" 결과는 $H$ 들 사이에 적어도 하나의 $T$ 가 들어간 수열들입니다 — $TTT, TTH, THT, HTT, HTH$ 의 $5$ 가지. 따라서 $P(HH \text{ 없음}) = \tfrac{5}{8}$ 이고, $P(\text{적어도 한 번 } HH) = 1 - \tfrac{5}{8} = \tfrac{3}{8}$ 으로 (C) 가 다시 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 조직적 목록, 표, 수형도, 시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($3$ 번의 동전 던지기에 대한 $8$ 가지 표본 공간 전체를 만들고, 모든 수열을 정해진 순서로 나열해 해당 결과를 추려내는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들어 사건의 확률 구하기 ($8$ 가지 순서 있는 결과를 모두 같은 확률로 간주하고, 사건의 확률을 $\tfrac{\text{해당 수}}{\text{전체 수}} = \tfrac{3}{8}$ 로 계산하는 데 사용.)

⭐ 표본 공간이 작을 때는 모든 결과를 차근차근 나열하면 끝 — 7학년 확률은 결국 꼼꼼한 세기 작업이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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