AMC 8 · 2012 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var logical-deductionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

양의 정수 $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $6$ , $7$ , $x$ 의 평균(mean), 중앙값(median), 그리고 유일한 최빈값(unique mode)이 모두 같습니다. $x$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}5$

(B)

$hspace{.05in}6$

(C)

$hspace{.05in}7$

(D)

$hspace{.05in}11$

(E)

$hspace{.05in}12$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $7$ 개 $3, 4, 5, 6, 6, 7, x$ 의 평균, 중앙값, 그리고 유일한 최빈값이 모두 같습니다. $x$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 주어진 $7$ 개의 수: $3, 4, 5, 6, 6, 7, x$; 평균 $=$ 중앙값 $=$ 최빈값; 최빈값은 유일함 (가장 많이 나오는 수가 정확히 하나); 모든 값은 양의 정수; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: $x$ 의 값

이해

문제 재정리: 양의 정수 $7$ 개 $3, 4, 5, 6, 6, 7, x$ 의 평균, 중앙값, 그리고 유일한 최빈값이 모두 같습니다. $x$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #7 작은 문제로 쪼개기

평균·중앙값·유일한 최빈값이 한꺼번에 같아야 합니다. 가장 깔끔한 길은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 먼저 최빈값을 확정하고(스스로 묶이는 조건이라 가장 쉬움), 그 값으로 평균 조건을 풀면 됩니다. $6$ 이 이미 두 번 등장하고 다른 수는 한 번씩이므로 최빈값은 자동으로 $6$ 으로 강제됩니다 — 이 한 번의 관찰로 문제 절반이 풀립니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식이라 자연스러운 보조 — 선택지 다섯 개 중 동률 최빈값을 만들거나 평균을 $6$ 에서 벗어나게 하는 후보를 빠르게 지웁니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보 $x$ 를 원래 목록에 넣어 마무리 검산합니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

작은 문제 1: 최빈값 정하기.
주어진 $3, 4, 5, 6, 6, 7$ 만 봐도 $6$ 은 이미 두 번, 나머지 수는 한 번씩 나옵니다.
최빈값이 유일하려면 $x$ 가 다른 수를 $6$ 의 빈도($2$ 번)와 같게 만들면 안 됩니다.
즉 $x = 6$ ($6$ 이 세 번 등장) 이거나, $x$ 가 목록에 없던 새 값($6$ 은 여전히 두 번, 나머지는 한 번 유지) 이어야 합니다.
어느 경우든 유일한 최빈값은 $6$ 입니다.

$$\text{최빈값} = 6$$

💡 세 조건을 따로 떼어서 가장 쉬운 "최빈값" 부터 정리하는 게 도구 #7 의 핵심 — 한 부분만 잠그면 나머지 식이 한결 가벼워집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

작은 문제 2: 평균 조건 풀기.
평균 $=$ 최빈값 $= 6$ 이고 수가 $7$ 개이므로 전체 합은 $7 \times 6 = 42$ 입니다.
알려진 여섯 수의 합은 $3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 = 31$ 이므로 $x = 42 - 31 = 11$ 입니다.

$$\dfrac{3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + x}{7} = 6 \;\Rightarrow\; 31 + x = 42 \;\Rightarrow\; x = 11$$

💡 평균은 "합 $\div$ 개수". 양변에 개수를 곱하면 평균 조건이 "합 $= 42$" 라는 단순한 덧셈 문제로 바뀝니다.

#3 가능성 지우기 6.SP.B.5 단계 3

유일 최빈값 조건으로 나머지 선택지를 지웁니다.
(A) $x=5$ 면 $5$ 가 두 번 나와 $6$ 과 동률 — 최빈값 안 유일.
(B) $x=6$ 이면 최빈값은 $6$ (유일) 이지만 평균은 $37/7 \ne 6$.
(C) $x=7$ 이면 $7$ 이 $6$ 과 동률 — 안 유일.
(E) $x=12$ 면 최빈값은 $6$ (유일) 이지만 평균은 $43/7 \ne 6$.
살아남는 건 (D) $x = 11$ 뿐입니다.

$$\text{합: } 5 \to 36,\; 6 \to 37,\; 7 \to 38,\; 11 \to 42,\; 12 \to 43;\; \text{필요 } 42$$

💡 객관식에서는 도구 #3(가능성 지우기) — 조건 하나만 어겨도 후보는 탈락. 네 개가 순식간에 사라집니다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.B.5 단계 4

중앙값을 검산합니다.
$x = 11$ 이면 정렬한 목록은 $3, 4, 5, 6, 6, 7, 11$.
가운데(4번째) 값은 $6$ 으로 평균·최빈값과 일치합니다.
세 조건이 모두 만족됩니다.

$$\text{정렬: } 3, 4, 5, \mathbf{6}, 6, 7, 11 \;\Rightarrow\; \text{중앙값} = 6$$

💡 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 마무리 — 후보를 원래 목록에 다시 넣어, 사용하지 않은 조건(여기서는 중앙값)까지 모두 맞는지 확인합니다. 답: $\textbf{(D)}\ 11$.

[1] #7 6.SP.B.5 작은 문제 1: 최빈값 정하기. 주어진 $3, 4, 5, 6, 6, 7$ 만 봐도 $6$ 은 이미 두 번, 나머지 수는 한 번씩 나옵니다. 최빈

[2] #7 6.SP.B.5 작은 문제 2: 평균 조건 풀기. 평균 $=$ 최빈값 $= 6$ 이고 수가 $7$ 개이므로 전체 합은 $7 \times 6 = 42$ 입니다.

[3] #3 6.SP.B.5 유일 최빈값 조건으로 나머지 선택지를 지웁니다. (A) $x=5$ 면 $5$ 가 두 번 나와 $6$ 과 동률 — 최빈값 안 유일. (B) $x=

[4] #6 6.SP.B.5 중앙값을 검산합니다. $x = 11$ 이면 정렬한 목록은 $3, 4, 5, 6, 6, 7, 11$. 가운데(4번째) 값은 $6$ 으로 평균·최빈

검토

합리성 확인: 세 통계량이 모두 $6$ 에 모입니다 — 최빈값 $6$ (두 번 등장, 다른 어떤 수보다 많음), 정렬한 가운데 값 $6$, 평균 $42/7 = 6$. $x = 11$ 은 다른 어떤 수보다 크지만 문제될 게 없습니다 — 정렬했을 때 맨 끝에 가서 합을 정확히 $42$ 로 끌어올릴 뿐입니다. 빠른 점검: 알려진 여섯 수의 평균은 $31/6 \approx 5.17$ 로 $6$ 보다 작으므로, 일곱 번째 수가 평균을 $6$ 까지 끌어올리려면 $x$ 가 $6$ 보다 커야 합니다 — 이 한 줄로 (A), (B), (C) 가 계산 없이 제외됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 만으로 선택지를 통째로 대입: 각 후보 $x$ 에 대해 합을 구하고 $7$ 로 나눕니다. (A) $36/7$, (B) $37/7$, (C) $38/7$, (D) $42/7 = 6$, (E) $43/7$. 정수 평균 $6$ 을 주는 건 (D) 뿐입니다. 최빈값 논리를 건드리지 않고 세 줄 만에 답이 나오는 전형적인 AMC 시간 절약 풀이입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 자료의 중심 측도(평균, 중앙값, 최빈값) 등을 이용해 수치 자료 요약하기 (반복되는 값으로부터 유일 최빈값이 $6$ 임을 확인하고, 합 $\div$ 개수로 평균을 다루며, 정렬된 목록의 중앙값을 검산 — 한 자료에서 세 가지 중심 측도를 모두 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 형태의 식을 세우고 실생활·수학 문제 해결 (평균 조건을 $31 + x = 42$ 라는 일차식으로 옮겨 $x = 11$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 최빈값이 $6$ 으로 강제된다는 걸 알아채면, 나머지는 6학년 "합 $=$ 개수 $\times$ 평균" 한 줄 계산이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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