AMC 8 · 2012 · #15

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

lcmmodular-arithmeticprime-factorizationdivisibility-rules identify-subproblemsmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorizationlcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

$3$ , $4$ , $5$ , $6$ 으로 나누었을 때 모두 나머지가 $2$ 인, $2$ 보다 큰 가장 작은 수는 다음 중 어느 범위에 속할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}40\text{ and }50$

(B)

$hspace{.05in}51\text{ and }55$

(C)

$hspace{.05in}56\text{ and }60$

(D)

$hspace{.05in}61\text{ and }65$

(E)

$hspace{.05in}66\text{ and }99$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3$, $4$, $5$, $6$ 으로 각각 나눴을 때 모두 나머지가 $2$ 가 되는, $2$ 보다 큰 가장 작은 자연수를 구하고, 그 수가 보기의 어느 범위 안에 있는지 고르는 문제입니다.

주어진 것: 찾고자 하는 수 $N$ 은 $2$ 보다 크다; $N$ 을 $3$ 으로 나누면 나머지가 $2$; $N$ 을 $4$ 로 나누면 나머지가 $2$; $N$ 을 $5$ 로 나누면 나머지가 $2$; $N$ 을 $6$ 으로 나누면 나머지가 $2$; 선택지(범위): (A) $40$–$50$, (B) $51$–$55$, (C) $56$–$60$, (D) $61$–$65$, (E) $66$–$99$

구하는 것: 조건을 만족하는 가장 작은 $N$; 그 $N$ 이 들어가는 보기의 범위

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

문제는 네 가지 나눗셈 조건을 한꺼번에 묶어 놓았는데, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 깔끔하게 한 단계로 단순해집니다 — 공통 나머지 $2$ 를 빼고 "$3$, $4$, $5$, $6$ 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 자연수" 즉 최소공배수(LCM) 문제로 바꾸는 것이죠. 그다음 도구 #5(패턴 찾기) 로 조건을 만족하는 $N$ 의 규칙 — $60k + 2$ — 을 읽고 가장 작은 $k$ 를 고른 뒤, 도구 #3(가능성 지우기) 로 보기 다섯 개에 그 값을 대 봐 네 범위를 솎아냅니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이나 모듈러 연산 표기는 "$2$ 만큼 옮기기" 라는 쪼개기 동작 덕분에 굳이 쓸 필요가 없습니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

공통된 나머지를 분리합니다.
"$N$ 을 $d$ 로 나누면 나머지가 $2$" 라는 말은 "$N - 2$ 가 $d$ 의 배수" 라는 말과 같습니다.
네 가지 나누는 수에 대해 이 변환을 동시에 적용하면, 원래 문제가 "$3$, $4$, $5$, $6$ 모두의 배수가 되는 $N - 2$ 중 가장 작은 양의 값을 찾아라" 라는 훨씬 쉬운 문제로 바뀝니다.

$N$ 을 $3,4,5,6$ 으로 나눈 나머지가 모두 $2 \;\Longleftrightarrow\; N - 2$ 는 $3,4,5,6$ 각각의 배수

💡 공통 나머지를 떼어내는 것이 도구 #7 의 핵심 동작 — 어려운 한 문제가 쉬운 한 문제로 줄어듭니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

$3$, $4$, $5$, $6$ 의 배수 가운데 가장 작은 양수, 즉 최소공배수를 구합니다.
소인수분해로 $3 = 3$, $4 = 2^2$, $5 = 5$, $6 = 2 \times 3$ 이고, 등장하는 각 소수의 가장 높은 거듭제곱을 곱하면 됩니다.

$$\mathrm{LCM}(3,4,5,6) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$$

💡 $6 = 2 \times 3$ 은 이미 $4$ 의 $2$ 와 $3$ 의 $3$ 안에 들어 있으므로 새 소인수를 더하지 않습니다 — 그래서 "공짜".

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

조건을 만족하는 $N$ 들을 작은 순서대로 나열해, $2$ 보다 큰 첫 번째 값을 고릅니다.
$N - 2$ 는 $60$ 의 양의 배수여야 하므로 $N - 2 = 60k\;(k = 1, 2, 3, \dots)$ 으로 쓰고 패턴을 읽습니다.

$$k = 1 \Rightarrow N = 62; \;\; k = 2 \Rightarrow N = 122; \;\; k = 3 \Rightarrow N = 182; \;\dots$$

💡 "$60$ 씩 더하는" 패턴의 처음 몇 항을 적어 보면, 가장 작은 값과 다음 값 사이의 간격까지 한눈에 드러납니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 4

조건을 만족하는 가장 작은 $N$ 은 $62$ 입니다.
보기의 범위 — $40$–$50$, $51$–$55$, $56$–$60$, $61$–$65$, $66$–$99$ — 중 $62$ 가 들어가는 것은 단 하나뿐입니다.

$$61 \le 62 \le 65 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 각 범위에 $62$ 를 대 보는 것 자체가 도구 #3(가능성 지우기) 동작 — 네 개는 빗나가고 하나만 맞습니다.

[1] #7 4.OA.B.4 공통된 나머지를 분리합니다. "$N$ 을 $d$ 로 나누면 나머지가 $2$" 라는 말은 "$N - 2$ 가 $d$ 의 배수" 라는 말과 같습니다

[2] #7 6.NS.B.4 $3$, $4$, $5$, $6$ 의 배수 가운데 가장 작은 양수, 즉 최소공배수를 구합니다. 소인수분해로 $3 = 3$, $4 = 2^2$,

[3] #5 4.OA.C.5 조건을 만족하는 $N$ 들을 작은 순서대로 나열해, $2$ 보다 큰 첫 번째 값을 고릅니다. $N - 2$ 는 $60$ 의 양의 배수여야 하므로

[4] #3 1.NBT.B.3 조건을 만족하는 가장 작은 $N$ 은 $62$ 입니다. 보기의 범위 — $40$–$50$, $51$–$55$, $56$–$60$, $61$–$6

검토

합리성 확인: $N = 62$ 를 직접 확인해 봅시다. $62 = 3 \times 20 + 2$ (나머지 $2$, 통과), $62 = 4 \times 15 + 2$ (통과), $62 = 5 \times 12 + 2$ (통과), $62 = 6 \times 10 + 2$ (통과) — 네 조건 모두 성립합니다. 그리고 $62$ 보다 작은 값은 불가능합니다. 더 작은 $N$ 이 있으려면 $N - 2$ 가 $60$ 보다 작은 양의 $60$ 의 배수여야 하는데 그런 수는 없기 때문이죠. 따라서 $62$ 가 최솟값이고, $62$ 는 $61$–$65$ 범위에 들어가 답은 (D) 입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기를 바로 솎아내도 됩니다. 조건을 만족하는 $N$ 은 모두 $60k + 2$ 꼴이므로 보기 범위에 들어갈 후보는 $62$(D 범위) 와 $122$(E 범위인 $66$–$99$ 를 이미 넘어가므로 제외) 뿐입니다. (A) $40$–$50$, (B) $51$–$55$, (C) $56$–$60$ 에는 $60k + 2$ 꼴의 수가 하나도 없습니다 ($60(0) + 2 = 2$ 는 너무 작고 $60(1) + 2 = 62$ 는 이미 지나친 값). 살아남는 답은 (D) 하나뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

1.NBT.B.3 두 자리 수를 $<$, $=$, $>$ 기호로 비교 ($62$ 가 $61$ 과 $65$ 사이에 들어가는지 확인해 정답 범위를 고르는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수와 배수 찾기; 소수·합성수 판별 ("$d$ 로 나눈 나머지가 $2$" 라는 조건을 "$N - 2$ 가 $d$ 의 배수" 로 바꿔, 네 가지 조건을 한꺼번에 "배수" 의 언어로 통일.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($2$ 에 $60$ 을 반복해서 더해 조건을 만족하는 $N$ 의 목록 $62, 122, 182, \dots$ 를 생성.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\mathrm{LCM}(3, 4, 5, 6) = 60$ 을 소인수분해로 계산 — 풀이 전체를 이끄는 핵심 수.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 공통 나머지 $2$ 를 빼는 순간 "$3, 4, 5, 6$ 의 최소공배수 구하기" 라는 6학년 한 가지 개념으로 줄어들어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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