AMC 8 · 2012 · #18
학년 6 number-theory문제
소수도 아니고 제곱수도 아니며, 50 보다 작은 소인수를 하나도 갖지 않는 가장 작은 양의 정수는 무엇일까요?
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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다음 네 조건을 모두 만족하는 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구하세요. (i) $N$ 은 양의 정수이다, (ii) $N$ 은 소수가 아니다, (iii) $N$ 은 제곱수가 아니다, (iv) $N$ 의 모든 소인수가 $50$ 이상이다.
주어진 것: $N$ 은 양의 정수; $N$ 은 소수가 아님 (즉, 합성수); $N$ 은 제곱수가 아님; $N$ 의 모든 소인수가 $50$ 이상; 선택지: (A) $3127$, (B) $3133$, (C) $3137$, (D) $3139$, (E) $3149$
구하는 것: 네 조건을 모두 만족하는 가장 작은 $N$
이해
문제 재정리: 다음 네 조건을 모두 만족하는 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구하세요. (i) $N$ 은 양의 정수이다, (ii) $N$ 은 소수가 아니다, (iii) $N$ 은 제곱수가 아니다, (iv) $N$ 의 모든 소인수가 $50$ 이상이다.
주어진 것: $N$ 은 양의 정수; $N$ 은 소수가 아님 (즉, 합성수); $N$ 은 제곱수가 아님; $N$ 의 모든 소인수가 $50$ 이상; 선택지: (A) $3127$, (B) $3133$, (C) $3137$, (D) $3139$, (E) $3149$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #3 가능성 지우기
"$50$ 미만 소인수가 없는 가장 작은 정수" 는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 전형적인 무대입니다. 허용되는 소수 ($53, 59, 61, \ldots$) 를 순서대로 나열하고, 그 소수들로 만들 수 있는 곱을 작은 순서대로 적으면 됩니다. $N$ 이 합성수여야 하므로 후보는 $53 \times 53,\ 53 \times 59,\ 53 \times 61, \ldots$ 처럼 차례대로 검토하면 충분합니다. 객관식이므로 도구 #3(가능성 지우기) 로 마무리합니다 — 유효한 후보가 보기 중 하나와 맞으면 더 작은 보기들은 직접 확인해 제거하면 됩니다.
실행 — 정답: A
4.OA.B.4 단계 1 - 허용되는 소인수를 나열합니다.
- 조건 (iv) 에 따라 모든 소인수가 $50$ 이상이어야 합니다.
- $50$ 바로 위의 소수들은 $53, 59, 61, 67, \ldots$ 입니다 ($51 = 3 \times 17$, $57 = 3 \times 19$ 는 소수가 아님에 주의).
💡 $50$ 대의 수에서 소수와 합성수를 구별하는 것은 4학년 "인수와 소수" 그대로입니다.
6.NS.B.4 단계 2 - $N$ 은 소수가 아니므로 위 목록의 소수 두 개 이상 (중복 허용) 의 곱이어야 합니다.
- $N$ 을 가장 작게 만들려면 가장 작은 소수부터 써야 하므로 검토할 후보는 $53 \times 53,\ 53 \times 59,\ 53 \times 61, \ldots$ 의 순서가 됩니다.
💡 가장 작은 소인수부터 합성수를 조립해 보는 것은 6학년 소인수분해 추론입니다.
6.EE.A.1 단계 3 - 첫 후보에 조건 (iii) 을 적용합니다.
- $53 \times 53 = 53^2 = 2809$ 는 모든 소인수가 $50$ 이상이지만 제곱수이므로 탈락입니다.
💡 $p \times p = p^2$ 을 제곱수로 알아보는 것은 6학년 지수 정의 그대로입니다.
6.NS.B.4 단계 4 - 다음 후보 $N = 53 \times 59 = 3127$ 을 네 조건에 대입합니다.
- 양수이고, 두 소수의 곱이므로 합성수이며, 두 소인수가 서로 달라 각 지수가 $1$ 이라 제곱수가 아니며, 소인수 $53, 59$ 가 모두 $50$ 이상입니다.
- 네 조건이 모두 통과합니다.
💡 소인수분해 $53^1 \cdot 59^1$ 을 읽고 "합성수이지만 제곱수는 아님" 을 확인하는 것은 6학년 인수 추론의 핵심입니다.
6.NS.B.4 단계 5 - 더 작은 후보가 없다는 것을 마무리로 확인합니다.
- 허용 소수를 $3$ 개 이상 곱한 값은 최소가 $53^3 = 148{,}877$ 로 $3127$ 보다 훨씬 큽니다.
- 또한 허용 소수 $2$ 개의 곱이 $53 \times 59$ 보다 작으려면 두 소수 모두 $53$ 이하여야 하는데, 그 경우 $53 \times 53$ 뿐이고 이미 탈락한 후보입니다.
- 따라서 $3127$ 이 최소이며, 보기 (A) 와 일치합니다.
💡 소인수분해를 비교해서 더 작은 합성수를 배제하는 것은 6학년 인수·배수 추론입니다.
4.OA.B.4 허용되는 소인수를 나열합니다. 조건 (iv) 에 따라 모든 소인수가 $50$ 이상이어야 합니다. $50$ 바로 위의 소수들은 $53, 59, 6 6.NS.B.4 $N$ 은 소수가 아니므로 위 목록의 소수 두 개 이상 (중복 허용) 의 곱이어야 합니다. $N$ 을 가장 작게 만들려면 가장 작은 소수부터 써 6.EE.A.1 첫 후보에 조건 (iii) 을 적용합니다. $53 \times 53 = 53^2 = 2809$ 는 모든 소인수가 $50$ 이상이지만 제곱수이므로 6.NS.B.4 다음 후보 $N = 53 \times 59 = 3127$ 을 네 조건에 대입합니다. 양수이고, 두 소수의 곱이므로 합성수이며, 두 소인수가 서로 6.NS.B.4 더 작은 후보가 없다는 것을 마무리로 확인합니다. 허용 소수를 $3$ 개 이상 곱한 값은 최소가 $53^3 = 148{,}877$ 로 $3127 검토
합리성 확인: $3127$ 을 직접 인수분해해 확인합시다. $3127 \div 53 = 59$ 로 떨어지고 $59$ 는 소수이므로 $3127 = 53 \times 59$ — 서로 다른 두 소수의 곱이고 모두 $50$ 이상, 제곱수도 아니고 소수도 아닙니다. 네 조건이 모두 통과합니다. 크기 감각도 맞습니다 — 두 소수가 모두 $50$ 이상이라면 곱은 적어도 $50 \times 50 = 2500$ 부근이어야 하는데 $3127$ 은 그 바로 위 값으로, 가장 작은 허용 소수 두 개를 쓴 결과로 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기를 하나씩 인수분해해 봅니다. $3127 = 53 \times 59$ — 통과. $3133 = 13 \times 241$ — $13 < 50$ 이라 탈락. $3137$ — 소수이므로 조건 (ii) 위반. $3139 = 43 \times 73$ — $43 < 50$ 이라 탈락. $3149 = 47 \times 67$ — $47 < 50$ 이라 탈락. 네 조건을 모두 만족하는 보기는 $3127$ 뿐이므로 답은 (A) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4인수쌍을 구하고 소수·합성수를 구별 ($50$ 바로 위의 소수 ($53, 59, 61, \ldots$) 를 나열하고 $51, 57$ 이 합성수임을 알아 허용 인수에서 배제.)6.NS.B.4최대공약수·최소공배수 구하기, 소인수분해 활용 ($53 \times 53,\ 53 \times 59, \ldots$ 와 같은 합성수 후보를 소인수분해로 조립하고, 같은 인수분해로 네 조건을 확인.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 표현과 계산 ($53 \times 53 = 53^2 = 2809$ 를 제곱수로 인식하고 조건 (iii) 에 의해 탈락시키는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해 추론만 있으면 풀 수 있어요 — 허용 소수를 나열하고, 가장 작은 두 개를 곱한 뒤 조건만 확인하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해 추론만 있으면 풀 수 있어요 — 허용 소수를 나열하고, 가장 작은 두 개를 곱한 뒤 조건만 확인하면 끝!
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