AMC 8 · 2012 · #19

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

systems-of-equationslinear-equations-two-varlogical-deduction convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

빨간색, 초록색, 파란색 구슬들이 들어 있는 항아리에서, $6$ 개를 제외한 나머지는 모두 빨강이고, $8$ 개를 제외한 나머지는 모두 초록이고, $4$ 개를 제외한 나머지는 모두 파랑입니다. 항아리 안에 있는 구슬은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}6$

(B)

$hspace{.05in}8$

(C)

$hspace{.05in}9$

(D)

$hspace{.05in}10$

(E)

$hspace{.05in}12$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 병 안에는 빨강, 초록, 파랑 구슬만 들어 있습니다. 세 가지 단서가 주어집니다 — "$6$ 개만 빼면 모두 빨강", "$8$ 개만 빼면 모두 초록", "$4$ 개만 빼면 모두 파랑." 병에 들어 있는 구슬의 총 개수를 구하세요.

주어진 것: 구슬은 빨강·초록·파랑 세 색뿐 (다른 색 없음); $6$ 개만 빼면 모두 빨강 $\;\Rightarrow\;$ 빨강이 아닌 구슬은 $6$ 개; $8$ 개만 빼면 모두 초록 $\;\Rightarrow\;$ 초록이 아닌 구슬은 $8$ 개; $4$ 개만 빼면 모두 파랑 $\;\Rightarrow\;$ 파랑이 아닌 구슬은 $4$ 개; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$

구하는 것: 병 안의 구슬 총 개수 $T$

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

단서들은 모두 "여집합" 으로 적혀 있습니다 — "$6$ 개만 빼면 모두 빨강" 은 빨강의 개수가 아니라 "빨강이 아닌 것" 의 개수가 $6$ 이라는 뜻입니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 이렇게 "$k$ 개만 빼면 모두 X" 를 "X 가 아닌 것의 개수 $= k$" 로 다시 읽는 도구입니다. 그 다음 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 $T$, $r$, $g$, $b$ 에 이름을 붙이고 세 여집합 식을 더하면, 왼쪽은 $3T - (r+g+b) = 3T - T = 2T$, 오른쪽은 $6 + 8 + 4 = 18$ 이 되어 $T$ 가 한 줄에 나옵니다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.2 단계 1

각 단서를 여집합 개수로 다시 씁니다.
"$6$ 개만 빼면 모두 빨강" 은 빨강이 아닌 구슬이 $6$ 개라는 뜻이고, 빨강이 아닌 구슬은 초록과 파랑이므로 $g + b = 6$, 즉 $T - r = 6$ 입니다.
나머지 두 단서도 같은 방식으로 식을 세웁니다.

$$T - r = 6, \quad T - g = 8, \quad T - b = 4$$

💡 "$k$ 개만 빼면 모두 X" 는 "X 가 아닌 것의 개수가 $k$" 라는 여집합 진술입니다.

#13 대수로 바꾸기 4.OA.A.3 단계 2

세 여집합 식을 그대로 더합니다.
왼쪽은 $3T - (r + g + b)$, 오른쪽은 $6 + 8 + 4 = 18$ 이 됩니다.

$$(T - r) + (T - g) + (T - b) = 6 + 8 + 4$$

💡 깔끔한 세 식을 더하면 세 단서가 $T$ 에 대한 한 문장으로 묶입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

$r + g + b = T$ 를 이용해 왼쪽을 정리하면 $3T - (r + g + b) = 3T - T = 2T$ 입니다.
따라서 $2T = 18$, $T = 9$ 입니다.

$$3T - T = 18 \;\Rightarrow\; 2T = 18 \;\Rightarrow\; T = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $r + g + b$ 를 $T$ 로 바꾸면 미지수 셋이 하나로 줄고, 한 단계 일차방정식이면 답이 나옵니다.

[1] #16 6.EE.A.2 각 단서를 여집합 개수로 다시 씁니다. "$6$ 개만 빼면 모두 빨강" 은 빨강이 아닌 구슬이 $6$ 개라는 뜻이고, 빨강이 아닌 구슬은 초록과

[2] #13 4.OA.A.3 세 여집합 식을 그대로 더합니다. 왼쪽은 $3T - (r + g + b)$, 오른쪽은 $6 + 8 + 4 = 18$ 이 됩니다.

[3] #13 6.EE.B.7 $r + g + b = T$ 를 이용해 왼쪽을 정리하면 $3T - (r + g + b) = 3T - T = 2T$ 입니다. 따라서 $2T = 1

검토

합리성 확인: 각 색의 개수를 되살려 봅니다 — $r = T - 6 = 3$, $g = T - 8 = 1$, $b = T - 4 = 5$. 합은 $3 + 1 + 5 = 9$. 단서도 확인 — 빨강이 아닌 것 $= 1 + 5 = 6$ ✓, 초록이 아닌 것 $= 3 + 5 = 8$ ✓, 파랑이 아닌 것 $= 3 + 1 = 4$ ✓. 세 단서가 모두 맞고, 개수가 모두 $0$ 이상의 정수이므로 $T = 9$ 는 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅니다. 각 후보 $T$ 에 대해 $r = T - 6$, $g = T - 8$, $b = T - 4$ 를 구하고 $r + g + b = T$ 가 맞는지 확인. $T = 6$: $0 + (-2) + 2 = 0 \neq 6$ (게다가 $g < 0$). $T = 8$: $2 + 0 + 4 = 6 \neq 8$. $T = 9$: $3 + 1 + 5 = 9$ ✓. $T = 10$: $4 + 2 + 6 = 12 \neq 10$. $T = 12$: $6 + 4 + 8 = 18 \neq 12$. (C) 만 맞습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 사용한 자연수 다단계 문장제 해결 (세 식의 우변 $6 + 8 + 4 = 18$ 을 더해 자연수 단서들을 하나의 산술 문장으로 묶는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 ($T$, $r$, $g$, $b$ 에 이름을 붙이고 각 "$k$ 개만 빼면 모두" 단서를 $T - (\text{색 개수}) = k$ 형태로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (일차방정식 $2T = 18$ 을 풀어 $T = 9$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 문제에 "$k$ 개만 빼면" 이 나오면 "반대쪽" 을 세고 있는 거예요 — 그렇게 적어서 더하면 총 개수가 한 줄에 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기