AMC 8 · 2012 · #20
학년 6 arithmetic문제
세 수 195, 217, 239 을 작은 값부터 큰 값 순서로 올바르게 정렬한 것은 무엇일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 분수 $\frac{5}{19}$, $\frac{7}{21}$, $\frac{9}{23}$ 을 작은 값부터 큰 값 순서로 정렬하고, 그 순서에 맞는 선택지를 고르는 문제입니다.
주어진 것: 세 분수 $\frac{5}{19}$, $\frac{7}{21}$, $\frac{9}{23}$; 선택지는 이 세 분수의 가능한 다섯 가지 순서를 나열한 것; $\frac{7}{21}$ 은 분자·분모가 모두 $7$ 의 배수라 약분됨
구하는 것: 세 분수를 오름차순으로 나열한 순서 — (A)부터 (E) 중 하나
이해
문제 재정리: 세 분수 $\frac{5}{19}$, $\frac{7}{21}$, $\frac{9}{23}$ 을 작은 값부터 큰 값 순서로 정렬하고, 그 순서에 맞는 선택지를 고르는 문제입니다.
주어진 것: 세 분수 $\frac{5}{19}$, $\frac{7}{21}$, $\frac{9}{23}$; 선택지는 이 세 분수의 가능한 다섯 가지 순서를 나열한 것; $\frac{7}{21}$ 은 분자·분모가 모두 $7$ 의 배수라 약분됨
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
계산을 시작하기 전에 세 분수의 구조를 먼저 봅니다. 분자는 $5, 7, 9$ 이고 분모는 $19, 21, 23$ — 모든 분모가 분자보다 정확히 $14$ 만큼 큽니다. 그래서 세 분수는 모두 $\frac{n}{n+14}$ 라는 한 가족에 속하는 셈입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 이 가족의 성질 하나만 관찰하면 세 분수를 일일이 짝지어 가위곱하지 않고도 순서를 결정할 수 있습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 보조 — $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ 이라는 친숙한 기준점으로 줄여서, 나머지 두 분수가 $\frac{1}{3}$ 보다 큰지 작은지로 답을 검증합니다.
실행 — 정답: B
4.NF.A.1 단계 1 - 공통 구조를 찾습니다.
- 각 분모를 (분자) $+ 14$ 로 다시 적으면 $\frac{5}{19} = \frac{5}{5+14}$, $\frac{7}{21} = \frac{7}{7+14}$, $\frac{9}{23} = \frac{9}{9+14}$.
- 세 분수 모두 $\frac{n}{n+14}$ 꼴입니다.
💡 공통 형태에 이름을 붙이는 게 도구 #5 의 핵심 — 패턴을 정의하면 규칙 하나로 세 분수를 한꺼번에 정렬할 수 있습니다.
5.NF.B.3 단계 2 - 이 가족을 비교하기 쉬운 모양으로 다시 씁니다.
- $\frac{n}{n+14} = 1 - \frac{14}{n+14}$ 라는 항등식을 쓰면, 빼는 조각 $\frac{14}{n+14}$ 의 분자는 $14$ 로 고정되고 분모만 $n+14$ 로 변합니다.
💡 분수를 "$1$ 에서 일부를 뺀 모양" 으로 바꾸면, 원래 분수의 순서가 빼는 조각의 순서로 단순해집니다.
4.NF.A.2 단계 3 - 빼는 조각의 크기를 비교합니다.
- $n$ 이 $5, 7, 9$ 로 커지면 분모 $n+14$ 도 $19, 21, 23$ 으로 커지므로 $\frac{14}{n+14}$ 는 작아집니다.
- $1$ 에서 작은 값을 빼면 결과는 커집니다.
💡 "분자가 같으면 분모가 클수록 분수는 작아진다" 는 4학년 분수 감각을, 이번에는 큰 수에 그대로 적용한 것뿐입니다.
6.NS.C.7 단계 4 - 빼는 조각의 순서를 원래 분수의 순서로 되돌립니다.
- 빼는 조각이 작을수록 원래 값은 크므로, $n$ 이 클수록 $\frac{n}{n+14}$ 가 커집니다.
💡 한 개의 변하는 양($\frac{14}{n+14}$)의 순서로부터 여러 수의 순서를 결정하는 것은 6학년 유리수 정렬 표준입니다.
4.NF.A.2 단계 5 - 도구 #9 로 가운데 분수를 친숙한 기준점에 맞춰 검증합니다.
- $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$.
- $\frac{5}{19}$ 와 $\frac{1}{3}$ 비교: $5 \times 3 = 15 < 19 \times 1 = 19$ 이므로 $\frac{5}{19} < \frac{1}{3}$.
- $\frac{9}{23}$ 와 $\frac{1}{3}$ 비교: $9 \times 3 = 27 > 23 \times 1 = 23$ 이므로 $\frac{9}{23} > \frac{1}{3}$.
- 두 검증 모두 패턴 결과와 일치합니다.
💡 가운데 분수를 익숙한 $\frac{1}{3}$ 로 줄여서 쉬운 비교부터 하는 것이 도구 #9 — 작은 문제를 먼저 풀어 큰 결론을 뒷받침합니다.
4.NF.A.1 공통 구조를 찾습니다. 각 분모를 (분자) $+ 14$ 로 다시 적으면 $\frac{5}{19} = \frac{5}{5+14}$, $\frac{ 5.NF.B.3 이 가족을 비교하기 쉬운 모양으로 다시 씁니다. $\frac{n}{n+14} = 1 - \frac{14}{n+14}$ 라는 항등식을 쓰면, 빼는 4.NF.A.2 빼는 조각의 크기를 비교합니다. $n$ 이 $5, 7, 9$ 로 커지면 분모 $n+14$ 도 $19, 21, 23$ 으로 커지므로 $\frac{ 6.NS.C.7 빼는 조각의 순서를 원래 분수의 순서로 되돌립니다. 빼는 조각이 작을수록 원래 값은 크므로, $n$ 이 클수록 $\frac{n}{n+14}$ 가 4.NF.A.2 도구 #9 로 가운데 분수를 친숙한 기준점에 맞춰 검증합니다. $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$. $\frac{5}{19}$ 검토
합리성 확인: 소수로 빠르게 다시 확인합니다. $\frac{5}{19} \approx 0.263$, $\frac{7}{21} = \frac{1}{3} \approx 0.333$, $\frac{9}{23} \approx 0.391$. 세 소수가 깔끔하게 오름차순이라 $\frac{5}{19} < \frac{7}{21} < \frac{9}{23}$ 와 일치하고, 선택지 (B) 가 확정됩니다. 또한 세 값 모두 $1$ 보다 작고 $n$ 이 커질수록 $1$ 에 가까워지는 $\frac{n}{n+14}$ 의 성질과도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 식으로 세 분수를 쌍별 가위곱 해도 됩니다. $\frac{5}{19}$ 와 $\frac{7}{21}$: $5 \times 21 = 105$, $7 \times 19 = 133$ → $\frac{5}{19} < \frac{7}{21}$. $\frac{7}{21}$ 과 $\frac{9}{23}$: $7 \times 23 = 161$, $9 \times 21 = 189$ → $\frac{7}{21} < \frac{9}{23}$. 두 결과를 이으면 $\frac{5}{19} < \frac{7}{21} < \frac{9}{23}$, 똑같이 (B). 계산은 많지만 패턴 인식 없이도 풀립니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NF.A.1동치 분수와 분수 구조 이해 (세 분수를 모두 $\frac{n}{n+14}$ 라는 공통 형태로 다시 적어 공유 구조를 드러내는 데 사용.)4.NF.A.2분자·분모가 서로 다른 두 분수 비교 ($\frac{14}{19}, \frac{14}{21}, \frac{14}{23}$ 처럼 분자가 같을 때 분모가 클수록 분수가 작아진다는 성질을 적용하고, 기준점 $\frac{1}{3}$ 과의 가위곱 검증에도 사용.)5.NF.B.3분수를 나눗셈·동치 표현으로 다시 쓰기 ($\frac{n}{n+14} = 1 - \frac{14}{n+14}$ 로 바꿔, 원래 분수의 순서를 더 단순한 빼는 조각의 순서 문제로 변환.)6.NS.C.7유리수의 순서·절댓값 이해 (빼는 조각 $\frac{14}{n+14}$ 의 순서를 원래 세 유리수의 순서로 되돌려 $\frac{5}{19} < \frac{7}{21} < \frac{9}{23}$ 의 최종 사슬을 작성.)
⭐ 계산 전에 숨은 구조부터 보세요 — 세 분수가 모두 $\frac{n}{n+14}$ 라는 걸 알아채는 순간, 정렬은 6학년 한 줄짜리 관찰로 끝납니다.
⭐ 계산 전에 숨은 구조부터 보세요 — 세 분수가 모두 $\frac{n}{n+14}$ 라는 걸 알아채는 순간, 정렬은 6학년 한 줄짜리 관찰로 끝납니다.
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