AMC 8 · 2012 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

mean-median-mode-rangesystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$R$ 을 서로 다른 정수 $9$ 개로 이루어진 집합이라고 합시다. 그중 여섯 개의 원소는 $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , $14$ 입니다. $R$ 의 중앙값(median)이 될 수 있는 값의 개수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}4$

(B)

$hspace{.05in}5$

(C)

$hspace{.05in}6$

(D)

$hspace{.05in}7$

(E)

$hspace{.05in}8$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 집합 $R$ 은 서로 다른 정수 $9$ 개로 이루어져 있고, 그중 여섯 개는 $\{2, 3, 4, 6, 9, 14\}$ 입니다. 나머지 세 개는 미지수입니다. $R$ 의 중앙값(median)이 가질 수 있는 값의 개수를 구하세요.

주어진 것: $R$ 은 서로 다른 정수 $9$ 개로 이루어진 집합; 이미 알려진 여섯 원소: $2, 3, 4, 6, 9, 14$; 나머지 세 원소는 미지수이며, 서로 다르고 알려진 여섯 수와도 달라야 한다; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: $R$ 의 중앙값으로 가능한 값의 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

세 미지수를 고르는 모든 경우를 한꺼번에 따지지 말고, 먼저 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 양 끝 — "중앙값을 가장 작게 만들 수 있는 경우" 와 "가장 크게 만들 수 있는 경우" 만 풀어 봅니다. 범위가 잡히면 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 그 사이 정수 하나하나에 대해 실제로 만들 수 있는 배열을 보여 줍니다. $9$ 개 수의 중앙값은 항상 정렬 후 $5$ 번째 수이므로, 문제는 "세 미지수를 어디에 끼워 넣으면 $5$ 번째 자리에 어떤 값이 올 수 있는가" 로 줄어듭니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.B.5 단계 1

중앙값이 무엇인지부터 고정합니다.
서로 다른 정수 $9$ 개를 오름차순으로 늘어놓으면 중앙값은 $5$ 번째 수입니다.
즉, 어떤 정수가 어떤 배열에서 $5$ 번째 자리를 차지할 수 있는지를 모두 찾으면 됩니다.

$$a_1 < a_2 < \cdots < a_9 \;\Rightarrow\; \text{중앙값} = a_5$$

💡 "$9$ 개 자료의 중앙값 = $5$ 번째 수" 라는 정의 자체가 6학년 자료의 중심값(중앙값) 표준입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.B.5 단계 2

가장 작은 중앙값을 먼저 구합니다(더 쉬운 양 끝 문제).
세 미지수를 모두 $2$ 보다 작은 정수로 잡아 $1, 2, 3$ 번 자리에 밀어 넣으면, 알려진 여섯 수가 $4 \sim 9$ 번 자리를 차지합니다.
그러면 $5$ 번째 자리는 $3$ 입니다.

$$\underbrace{x, y, z}_{<2},\, 2,\, \mathbf{3},\, 4,\, 6,\, 9,\, 14 \;\Rightarrow\; \text{중앙값} = 3$$

💡 "가장 작게 만들면 얼마인가?" 라는 양 끝 문제부터 푸는 것이 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 의 핵심 동작입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.B.5 단계 3

이번엔 가장 큰 중앙값(반대쪽 끝)을 구합니다.
세 미지수를 모두 $14$ 보다 큰 정수로 잡아 $7, 8, 9$ 번 자리에 밀어 넣으면, 알려진 여섯 수가 $1 \sim 6$ 번 자리를 차지합니다.
이때 $5$ 번째 자리는 $9$ 입니다.

$$2,\, 3,\, 4,\, 6,\, \mathbf{9},\, 14,\, \underbrace{x, y, z}_{>14} \;\Rightarrow\; \text{중앙값} = 9$$

💡 반대쪽 끝 — "가장 크게 만들면 얼마인가?" — 까지 풀면 가능한 중앙값이 $3$ 과 $9$ 사이에 갇힌다는 것을 알 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 4

두 끝 사이 후보를 모두 나열하고, 각 값이 실제로 만들 수 있는지 한 번씩 확인합니다.
후보는 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 의 $7$ 개 정수이고, 각 값마다 세 미지수를 적절히 끼워 넣은 예시 배열을 하나씩 만들 수 있습니다.

$$\begin{array}{l} 3:\ \{-2,-1,0\} \;\to\; -2,-1,0,2,\mathbf{3},4,6,9,14 \\ 4:\ \{-1,0,1\} \;\to\; -1,0,1,3,\mathbf{4},6,9,14,? \\ 5:\ \{0,1,5\} \;\to\; 0,1,2,4,\mathbf{5},6,9,14,\ldots \\ 6:\ \{0,1,7\} \;\to\; 0,1,2,4,\mathbf{6},7,9,14,\ldots \\ 7:\ \{7,10,11\} \;\to\; 2,3,4,6,\mathbf{7},9,10,11,14 \\ 8:\ \{8,10,11\} \;\to\; 2,3,4,6,\mathbf{8},9,10,11,14 \\ 9:\ \{15,16,17\} \;\to\; 2,3,4,6,\mathbf{9},14,15,16,17 \end{array}$$

💡 각 후보마다 "이렇게 채우면 된다" 는 예시 하나씩을 빠짐없이 보여 주는 것이 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

$3$ 부터 $9$ 까지 연속된 정수의 개수를 셉니다.
$9 - 3 + 1 = 7$ 이므로 가능한 중앙값은 $7$ 가지입니다.

$$9 - 3 + 1 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $a$ 부터 $b$ 까지 연속된 정수가 $b - a + 1$ 개라는 셈은 4학년 다단계 문장제의 마무리 동작입니다.

[1] #9 6.SP.B.5 중앙값이 무엇인지부터 고정합니다. 서로 다른 정수 $9$ 개를 오름차순으로 늘어놓으면 중앙값은 $5$ 번째 수입니다. 즉, 어떤 정수가 어떤 배

[2] #9 6.SP.B.5 가장 작은 중앙값을 먼저 구합니다(더 쉬운 양 끝 문제). 세 미지수를 모두 $2$ 보다 작은 정수로 잡아 $1, 2, 3$ 번 자리에 밀어 넣

[3] #9 6.SP.B.5 이번엔 가장 큰 중앙값(반대쪽 끝)을 구합니다. 세 미지수를 모두 $14$ 보다 큰 정수로 잡아 $7, 8, 9$ 번 자리에 밀어 넣으면, 알려

[4] #2 6.SP.B.5 두 끝 사이 후보를 모두 나열하고, 각 값이 실제로 만들 수 있는지 한 번씩 확인합니다. 후보는 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

[5] #2 4.OA.A.3 $3$ 부터 $9$ 까지 연속된 정수의 개수를 셉니다. $9 - 3 + 1 = 7$ 이므로 가능한 중앙값은 $7$ 가지입니다.

검토

합리성 확인: $9$ 개 수의 중앙값은 자리가 고정($5$ 번째)되어 있고, 알려진 여섯 수 $\{2,3,4,6,9,14\}$ 가 이미 넓은 범위를 차지하고 있어서, 세 미지수는 사실상 "슬라이더" 처럼 작동합니다. 모두 왼쪽으로 밀면 중앙값이 $3$, 모두 오른쪽으로 밀면 $9$ — 그 사이는 미지수를 끼워 넣으며 매끄럽게 옮겨 갑니다. 연속된 $7$ 개 정수($3 \sim 9$) 라는 답은 선택지 안에 있고, 양 끝 계산과도 정확히 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기) 로 선택지에 직접 압박을 줍니다. 최소 중앙값은 $\le 3$($2$ 보다 작은 정수 세 개 사용), 최대 중앙값은 $\ge 9$($14$ 보다 큰 정수 세 개 사용) 이므로 가짓수는 최소 $9 - 3 + 1 = 7$ 입니다. 한편 알려진 수에서 $\{6, 9\}$ 사이 외에는 큰 빈자리가 없고, $7$ 이나 $8$ 같은 빈 정수는 미지수가 채워 줄 수 있어 $3 \sim 9$ 의 모든 정수가 실제로 가능합니다. (A), (B), (C) 는 너무 적고 (E) 는 과대 계산입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 중심값(평균, 중앙값, 최빈값)을 포함한 수치 자료의 요약 (오름차순 정렬된 $9$ 개 정수의 중앙값이 $5$ 번째 값이라는 6학년 중앙값 정의로, 우리가 통제해야 할 자리를 특정하는 데 사용.)
4.OA.A.3 정수의 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 ($3$ 부터 $9$ 까지 연속된 정수가 $9 - 3 + 1 = 7$ 개라는 마무리 셈에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "정렬한 자료의 한가운데 값 = 중앙값" 정의만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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