AMC 8 · 2012 · #23
학년 7 geometry-2d문제
정삼각형과 정육각형의 둘레가 같습니다. 정삼각형의 넓이가 4 일 때, 정육각형의 넓이는 얼마일까요?
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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정삼각형과 정육각형의 둘레가 같습니다. 정삼각형의 넓이가 $4$ 일 때 정육각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 넓이가 $4$ 인 정삼각형; 정육각형 하나; 정삼각형의 둘레 $=$ 정육각형의 둘레; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $4\sqrt{3}$, (E) $6\sqrt{3}$
구하는 것: 정육각형의 넓이
이해
문제 재정리: 정삼각형과 정육각형의 둘레가 같습니다. 정삼각형의 넓이가 $4$ 일 때 정육각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 넓이가 $4$ 인 정삼각형; 정육각형 하나; 정삼각형의 둘레 $=$ 정육각형의 둘레; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $4\sqrt{3}$, (E) $6\sqrt{3}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
그림이 주어지지 않은 평면 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발입니다. 정육각형을 직접 그려 보면 핵심 사실이 보입니다 — 정육각형은 중심을 기준으로 $6$ 개의 작은 정삼각형으로 정확히 쪼개진다는 점입니다. 그 순간 "정육각형 넓이 $= 6 \times$ 작은 정삼각형 넓이" 라는 합으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 풀이를 두 단계로 나눠 줍니다 — (a) 큰 정삼각형의 변과 작은 정삼각형의 변의 관계를 구하고, (b) 그 변의 비를 이용해 작은 정삼각형 넓이를 구한 뒤 $6$ 배 하면 끝. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 변의 비 → 넓이의 비 관계를 책임집니다 — 모든 정삼각형은 닮은 도형이므로 변이 $2$ 배가 되면 넓이는 $2^2 = 4$ 배가 됩니다. $\tfrac{\sqrt{3}}{4} s^2$ 공식이 전혀 필요 없습니다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.7 단계 1 - 둘레를 맞춰 변의 관계를 구합니다.
- 정삼각형의 한 변을 $s_t$, 정육각형의 한 변을 $s_h$ 라 하면 삼각형은 변이 $3$ 개, 육각형은 변이 $6$ 개이고 둘레가 같으므로 $3 s_t = 6 s_h$, 즉 $s_t = 2 s_h$ 입니다.
- 정삼각형의 한 변은 정육각형 한 변의 $2$ 배입니다.
💡 둘레가 같다는 조건에서 한 줄 방정식을 세워 $s_t$ 를 푸는 것은 6학년 1단계 방정식 그대로입니다.
6.G.A.1 단계 2 - 정육각형을 그려 $6$ 개의 합동인 정삼각형으로 쪼갭니다.
- 정육각형은 중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 한 변이 모두 $s_h$ 인 정삼각형 $6$ 개로 정확히 나뉩니다.
- 따라서 정육각형의 넓이는 작은 정삼각형 하나 넓이의 $6$ 배입니다.
💡 다각형을 삼각형으로 분해해서 넓이를 구하는 것은 6학년 "분해·결합으로 넓이 구하기" 표준입니다.
7.G.A.1 단계 3 - 작은 정삼각형(한 변 $s_h$)과 큰 정삼각형(한 변 $s_t = 2 s_h$)을 비교합니다.
- 둘 다 정삼각형이라 서로 닮음이고 변의 비는 $2 : 1$ 입니다.
- 닮은 도형에서 넓이의 비는 변의 비의 제곱이므로, 큰 정삼각형의 넓이는 작은 정삼각형 넓이의 $2^2 = 4$ 배입니다.
💡 "변이 $k$ 배 $\Rightarrow$ 넓이가 $k^2$ 배" 라는 규칙은 7학년 축소·확대(scale drawing) 의 핵심으로, $\tfrac{\sqrt{3}}{4} s^2$ 같은 공식을 쓰지 않고도 정삼각형 넓이 비를 바로 알 수 있게 해 줍니다.
6.EE.B.7 단계 4 - 주어진 큰 정삼각형 넓이를 대입해 작은 정삼각형의 넓이를 구합니다.
- 큰 정삼각형의 넓이는 $4$ 이고, 그것이 작은 정삼각형 넓이의 $4$ 배이므로 작은 정삼각형의 넓이는 $1$ 입니다.
💡 $4 \cdot A_{\text{작}} = 4$ 를 $A_{\text{작}}$ 에 대해 푸는 6학년 1단계 방정식입니다.
6.G.A.1 단계 5 - 마지막으로 $6$ 을 곱해 정육각형의 넓이를 얻습니다.
- 정육각형 안에는 합동인 작은 정삼각형이 $6$ 개이고 각각의 넓이가 $1$ 입니다.
💡 분해된 정육각형의 $6$ 조각을 모두 더하면 전체 넓이가 바로 나옵니다.
6.EE.B.7 둘레를 맞춰 변의 관계를 구합니다. 정삼각형의 한 변을 $s_t$, 정육각형의 한 변을 $s_h$ 라 하면 삼각형은 변이 $3$ 개, 육각형은 6.G.A.1 정육각형을 그려 $6$ 개의 합동인 정삼각형으로 쪼갭니다. 정육각형은 중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 한 변이 모두 $s_h$ 인 정삼각형 7.G.A.1 작은 정삼각형(한 변 $s_h$)과 큰 정삼각형(한 변 $s_t = 2 s_h$)을 비교합니다. 둘 다 정삼각형이라 서로 닮음이고 변의 비는 $ 6.EE.B.7 주어진 큰 정삼각형 넓이를 대입해 작은 정삼각형의 넓이를 구합니다. 큰 정삼각형의 넓이는 $4$ 이고, 그것이 작은 정삼각형 넓이의 $4$ 배이 6.G.A.1 마지막으로 $6$ 을 곱해 정육각형의 넓이를 얻습니다. 정육각형 안에는 합동인 작은 정삼각형이 $6$ 개이고 각각의 넓이가 $1$ 입니다. 검토
합리성 확인: 큰 정삼각형은 긴 변 $3$ 개로 넓이 $4$ 를 만들고, 정육각형은 더 짧은 변 ($s_h = \tfrac{1}{2} s_t$) 이지만 $6$ 개로 둘러싸여 모양이 원에 훨씬 더 가깝습니다. 같은 둘레라면 원에 가까운 모양일수록 넓이가 더 크다는 직관과 맞아떨어지므로, 정육각형의 넓이가 $4$ 보다 커지는 것은 자연스럽습니다. 답 $6$ 은 "정육각형 $=$ 단위 정삼각형 $6$ 개" 그림과도 완벽히 일치합니다. 나머지 선택지는 이 그림과 맞지 않습니다 — $4$ 는 변화가 없다는 뜻이고, $5$ 는 $6$ 등분과 어긋나며, $\sqrt{3}$ 이 들어간 선택지들은 $\tfrac{\sqrt{3}}{4} s^2$ 공식을 잘못 적용한 결과로 보입니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 공식을 그대로 써도 풀 수 있습니다. 정삼각형 한 변을 $s_t$ 라 하면 $\tfrac{\sqrt{3}}{4} s_t^2 = 4$ 에서 $s_t^2 = \tfrac{16}{\sqrt{3}}$. 정육각형 한 변은 $s_h = \tfrac{s_t}{2}$ 이고, 정육각형 넓이 공식을 쓰면 $\tfrac{3\sqrt{3}}{2} s_h^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \tfrac{s_t^2}{4} = \tfrac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \tfrac{16}{\sqrt{3}} = 6$. 결과는 같지만 우리 풀이는 $\sqrt{3}$ 을 한 번도 다루지 않는다는 점에서 더 깔끔합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.B.7$px = q$ 형태의 방정식을 세우고 푸는 실생활·수학 문제 해결 (둘레가 같다는 조건에서 $3 s_t = 6 s_h$ 를 세우고 $s_t = 2 s_h$ 를 얻는 데, 그리고 $4 \cdot A_{\text{작}} = 4$ 를 풀어 $A_{\text{작}} = 1$ 을 얻는 데 사용.)6.G.A.1직사각형으로 결합하거나 삼각형으로 분해하여 다각형의 넓이 구하기 (정육각형을 $6$ 개의 합동인 정삼각형으로 분해한 뒤 각 조각의 넓이를 합쳐 정육각형 전체 넓이를 구하는 데 사용.)7.G.A.1축소·확대 도형 문제 해결 (변의 길이와 넓이 계산 포함) (변이 $2$ 배가 되면 넓이가 $2^2 = 4$ 배가 된다는 닮음 도형 규칙을 적용해, 작은 정삼각형의 넓이가 큰 정삼각형 넓이의 $\tfrac{1}{4}$ 임을 얻는 데 사용.)
⭐ 정육각형을 작은 정삼각형 $6$ 개로 잘라 보면 됩니다. 큰 정삼각형은 그 작은 삼각형과 모양은 같고 변만 $2$ 배라서 넓이는 $4$ 배. 그러니 작은 정삼각형 넓이는 $1$, 정육각형은 $6 \times 1 = 6$ 입니다.
⭐ 정육각형을 작은 정삼각형 $6$ 개로 잘라 보면 됩니다. 큰 정삼각형은 그 작은 삼각형과 모양은 같고 변만 $2$ 배라서 넓이는 $4$ 배. 그러니 작은 정삼각형 넓이는 $1$, 정육각형은 $6 \times 1 = 6$ 입니다.
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