AMC 8 · 2013 · #10
학년 6 number-theory문제
180 과 594 의 최소공배수와 최대공약수의 비는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\dfrac{\operatorname{lcm}(180, 594)}{\gcd(180, 594)}$, 즉 $180$과 $594$의 최소공배수 대 최대공약수의 비를 구합니다.
주어진 것: 두 자연수 $180$과 $594$; 구해야 할 것은 LCM(최소공배수)을 GCF(최대공약수)로 나눈 비; 선택지: (A) $110$, (B) $165$, (C) $330$, (D) $625$, (E) $660$
구하는 것: $\operatorname{lcm}(180, 594) \div \gcd(180, 594)$ 의 값(자연수)
이해
문제 재정리: $\dfrac{\operatorname{lcm}(180, 594)}{\gcd(180, 594)}$, 즉 $180$과 $594$의 최소공배수 대 최대공약수의 비를 구합니다.
주어진 것: 두 자연수 $180$과 $594$; 구해야 할 것은 LCM(최소공배수)을 GCF(최대공약수)로 나눈 비; 선택지: (A) $110$, (B) $165$, (C) $330$, (D) $625$, (E) $660$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
이 문제 안에는 세 가지 작은 문제가 들어 있습니다 — GCF 구하기, LCM 구하기, 그리고 둘을 나누기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 단계를 분리하면, 두 수를 한 번씩만 소인수분해해도 세 문제가 모두 풀립니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 보조로 씁니다 — $12$와 $18$ 같은 작은 수로 먼저 시험해 보면 $\dfrac{\operatorname{lcm}}{\gcd} = \dfrac{a \cdot b}{\gcd^2}$ 라는 깔끔한 지름길이 보이고, 이걸 마지막 검산에 쓸 수 있습니다. 도구 #13(대수) 으로 가지 않는 이유는, 모든 단계가 6학년이 직접 확인할 수 있는 작은 산수 동작으로 끝나기 때문입니다.
실행 — 정답: C
4.OA.B.4 단계 1 - 작은 문제 1: $180$ 을 소인수분해합니다.
- 더 이상 나눌 수 없을 때까지 작은 소수로 계속 나눕니다.
💡 자연수의 소수 부품을 찾는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 작은 문제 2: $594$ 도 같은 방식으로 소인수분해합니다.
💡 가장 작은 소수부터 차례로 나누는 것이 표준 인수분해 절차입니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 작은 문제 3: GCF를 읽어 냅니다.
- 두 분해에 "공통으로" 등장하는 소수마다 작은 쪽 지수를 골라 곱합니다.
- $2$: $\min(2,1)=1$.
- $3$: $\min(2,3)=2$.
- $5$와 $11$ 은 한쪽에만 나오므로 GCF에 들어가지 않습니다.
💡 GCF는 "두 수가 공유하는 부분" 입니다 — 공통 소수만, 그리고 두 쪽이 모두 가진 만큼만.
6.NS.B.4 단계 4 - 작은 문제 4: LCM을 읽어 냅니다.
- "둘 중 한쪽에라도" 등장하는 소수마다 큰 쪽 지수를 골라 곱합니다.
- $2$: $\max(2,1)=2$.
- $3$: $\max(2,3)=3$.
- $5$ 는 $180$ 에만 있으므로 $5^1$, $11$ 은 $594$ 에만 있으므로 $11^1$ 을 그대로 가져옵니다.
💡 LCM은 "두 수가 모두 나누는 가장 작은 수" 이므로 각 소수마다 두 쪽 모두에 충분한 개수를 넣어 줘야 합니다.
6.EE.A.1 단계 5 - 작은 문제 5: 비를 만듭니다.
- LCM을 먼저 곱해서 큰 수를 만들지 말고, 같은 밑끼리 지수를 빼는 방식으로 바로 나눠 줍니다.
💡 같은 밑의 나눗셈은 지수의 뺄셈으로 정리됩니다 — $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11 = 5940$ 을 먼저 곱한 다음 $18$ 로 나누는 것보다 훨씬 깔끔합니다.
4.OA.B.4 단계 6 남은 네 개의 작은 소수를 곱해 마무리합니다.
💡 한 줄의 곱셈 사슬로 큰 수 없이 답이 나옵니다.
4.OA.B.4 작은 문제 1: $180$ 을 소인수분해합니다. 더 이상 나눌 수 없을 때까지 작은 소수로 계속 나눕니다. 4.OA.B.4 작은 문제 2: $594$ 도 같은 방식으로 소인수분해합니다. 6.NS.B.4 작은 문제 3: GCF를 읽어 냅니다. 두 분해에 "공통으로" 등장하는 소수마다 작은 쪽 지수를 골라 곱합니다. $2$: $\min(2,1)=1 6.NS.B.4 작은 문제 4: LCM을 읽어 냅니다. "둘 중 한쪽에라도" 등장하는 소수마다 큰 쪽 지수를 골라 곱합니다. $2$: $\max(2,1)=2$. 6.EE.A.1 작은 문제 5: 비를 만듭니다. LCM을 먼저 곱해서 큰 수를 만들지 말고, 같은 밑끼리 지수를 빼는 방식으로 바로 나눠 줍니다. 4.OA.B.4 남은 네 개의 작은 소수를 곱해 마무리합니다. 검토
합리성 확인: $\operatorname{lcm}(a, b) \cdot \gcd(a, b) = a \cdot b$ 라는 성질로 따로 검산해 봅시다: $\dfrac{\operatorname{lcm}}{\gcd} = \dfrac{a \cdot b}{\gcd^2} = \dfrac{180 \cdot 594}{18^2} = \dfrac{180}{18} \cdot \dfrac{594}{18} = 10 \cdot 33 = 330$. 서로 다른 두 방법이 같은 $330$ 을 주므로 답 (C) 는 확실합니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) — 같은 질문을 $12$ 와 $18$ 에 먼저 적용해 봅시다. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$ 이므로 $\gcd = 2 \cdot 3 = 6$, $\operatorname{lcm} = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. 비는 $36 / 6 = 6 = 2 \cdot 3$ 으로, 두 분해에서 "지수가 서로 다른" 소수들의 곱과 정확히 같습니다. 같은 규칙을 $180$ 과 $594$ 에 적용하면 살아남는 소수는 $2, 3, 5, 11$ 이고 곱은 $330$. 답 (C) 일치.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4자연수의 모든 인수쌍 찾기; 배수와 약수 알아보기 ($180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ 와 $594 = 2 \cdot 3^3 \cdot 11$ 의 소인수분해, 그리고 마지막 곱셈 $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 330$ 에 사용.)6.NS.B.4두 자연수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (공통 소수의 작은 지수에서 $\gcd(180, 594) = 18$ 을, 등장하는 모든 소수의 큰 지수에서 $\operatorname{lcm}(180, 594) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11$ 을 읽어 내는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 쓰기와 계산 (같은 밑의 거듭제곱끼리 나눌 때 지수를 빼는 규칙으로 $2^{2-1} \cdot 3^{3-2} \cdot 5 \cdot 11$ 로 정리.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해만으로 풀 수 있어요 — 두 수를 한 번씩 분해해 두면 GCF 와 LCM 을 같은 인수표에서 그대로 읽을 수 있습니다.
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해만으로 풀 수 있어요 — 두 수를 한 번씩 분해해 두면 GCF 와 LCM 을 같은 인수표에서 그대로 읽을 수 있습니다.
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