AMC 8 · 2013 · #11

학년 6 rate-ratioarithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

ratefraction-arithmeticunit-conversion dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmeticrate

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문제

테드(Ted)의 할아버지는 이번 주에 사흘 동안 트레드밀을 사용했고, 매일 $2$ 마일씩 운동했습니다. 월요일에는 시속 $5$ 마일로 조깅을 했고, 수요일에는 시속 $3$ 마일로 걸었으며, 금요일에는 시속 $4$ 마일로 걸었습니다. 만약 할아버지가 세 번 모두 시속 $4$ 마일로 걸었다면, 트레드밀에서 보낸 시간은 몇 분 더 짧았을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 테드의 할아버지는 세 날 동안 매일 $2$ 마일을 트레드밀에서 걷거나 뛰었습니다. 속도는 월요일 $5$ mph, 수요일 $3$ mph, 금요일 $4$ mph 였습니다. 만약 세 날 모두 $4$ mph 로 걸었다면, 트레드밀 위에서 보낸 시간이 몇 분 더 짧았을까요?

주어진 것: 하루 거리 $= 2$ 마일, 총 $3$ 일; 실제 속도: 월요일 $5$ mph, 수요일 $3$ mph, 금요일 $4$ mph; 가정 시나리오: 세 날 모두 $4$ mph, 거리는 그대로 매일 $2$ 마일; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$ (분)

구하는 것: 실제 총 시간과 $4$ mph 가정 시 총 시간의 차이(분 단위)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

기본 식은 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 하나지만, 문제는 세 날에 가정 시나리오까지 묶여 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하루씩 시간을 구해 합한 뒤 가정 시간과 비교하면 깔끔합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마일 $\div$ mph $=$ 시간(hr) 이 나온다는 점을 짚어 줘서, 마지막에 분으로 환산하는 단계를 잊지 않게 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

각 날의 실제 시간을 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 로 구합니다.
거리는 매일 $2$ 마일입니다.

$$t_\text{월} = \tfrac{2}{5} \text{ hr}, \quad t_\text{수} = \tfrac{2}{3} \text{ hr}, \quad t_\text{금} = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2} \text{ hr}$$

💡 거리를 속력으로 나누는 기본 비율 식을 하루 단위로 한 번씩 적용 — 도구 #7 의 "쪼개기" 그 자체입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 2

세 날의 실제 시간을 더합니다.
$5, 3, 2$ 의 최소공배수는 $30$ 이므로 분모를 $30$ 으로 통일해서 더합니다.

$$\tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{12}{30} + \tfrac{20}{30} + \tfrac{15}{30} = \tfrac{47}{30} \text{ hr}$$

💡 분모가 다른 분수를 공통분모로 맞춰 더하는 것은 5학년 분수 덧셈 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

$4$ mph 가정 시 총 시간을 구합니다.
$4$ mph 로 $2$ 마일은 하루에 $\tfrac{1}{2}$ 시간, 그런 날이 $3$ 일입니다.

$$3 \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \text{ hr}$$

💡 같은 $\text{시간} = \text{거리}/\text{속력}$ 식을 세 날 모두 같은 속도로 적용한 것뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 4

두 총 시간의 차를 구합니다.
분모를 다시 $30$ 으로 맞추면 $\tfrac{3}{2} = \tfrac{45}{30}$ 입니다.

$$\tfrac{47}{30} - \tfrac{45}{30} = \tfrac{2}{30} = \tfrac{1}{15} \text{ hr}$$

💡 공통분모로 맞춘 분수의 뺄셈도 덧셈과 똑같은 5학년 동작입니다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 5

선택지가 분 단위이므로, 절약된 시간을 시간(hr) 에서 분(min) 으로 환산합니다.

$$\tfrac{1}{15} \text{ hr} \times 60 \tfrac{\text{min}}{\text{hr}} = \tfrac{60}{15} = 4 \text{ min} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 시간(hr) 에 $60$ min/hr 를 곱하면 "hr" 가 약분되고 "min" 만 남는 단순 단위 환산입니다.

[1] #7 6.RP.A.3 각 날의 실제 시간을 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 로 구합니다. 거리는 매일 $2$ 마일입니다.

[2] #7 5.NF.A.1 세 날의 실제 시간을 더합니다. $5, 3, 2$ 의 최소공배수는 $30$ 이므로 분모를 $30$ 으로 통일해서 더합니다.

[3] #7 6.RP.A.3 $4$ mph 가정 시 총 시간을 구합니다. $4$ mph 로 $2$ 마일은 하루에 $\tfrac{1}{2}$ 시간, 그런 날이 $3$ 일입니다

[4] #7 5.NF.A.1 두 총 시간의 차를 구합니다. 분모를 다시 $30$ 으로 맞추면 $\tfrac{3}{2} = \tfrac{45}{30}$ 입니다.

[5] #8 5.MD.A.1 선택지가 분 단위이므로, 절약된 시간을 시간(hr) 에서 분(min) 으로 환산합니다.

검토

합리성 확인: 월요일은 $4$ mph 보다 빠른 $5$ mph 라 실제로는 시간이 좀 절약됐고, 수요일은 $3$ mph 로 더 느려 시간이 늘었으며, 금요일은 $4$ mph 그대로라 차이가 없습니다. 수요일의 "늘어남" 이 월요일의 "절약" 보다 커야 하는데, 수요일은 $2$ 마일이 $30$ 분 $\to$ $40$ 분으로 $10$ 분 늘고, 월요일은 $30$ 분 $\to$ $24$ 분으로 $6$ 분 줄어듭니다. 실제로 더 쓴 시간은 $10 - 6 = 4$ 분 — 답 (D) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #2(패턴 찾기 / 경우 비교) 로 각 날의 시간을 처음부터 분 단위로 계산: 월요일 $= \tfrac{2}{5} \times 60 = 24$ 분, 수요일 $= \tfrac{2}{3} \times 60 = 40$ 분, 금요일 $= \tfrac{1}{2} \times 60 = 30$ 분 — 합 $94$ 분. 가정 $= 3 \times 30 = 90$ 분. 차이 $= 94 - 90 = 4$ 분, 역시 (D). 분 단위로 먼저 환산하면 분모 $30$ 의 분수 계산을 피할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (공통분모 $30$ 으로 $\tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2}$ 를 더하고 $\tfrac{47}{30} - \tfrac{45}{30}$ 을 빼는 데 사용.)
5.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 (절약된 $\tfrac{1}{15}$ 시간을 $60$ min/hr 를 곱해 $4$ 분으로 환산.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 을 매일 $2$ 마일에 적용해 각 속도별 소요 시간을 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 식 "시간 = 거리 ÷ 속력" 과, 5학년 "분모가 다른 분수 더하기" 만 알면 풀 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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