AMC 8 · 2013 · #12

학년 6 arithmeticrate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-arithmeticmental-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticpercentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$2013$ 년 위니베이고 카운티 페어(Winnebago County Fair)에서 한 상인이 샌들에 대해 "박람회 특가"를 진행하고 있습니다. 첫 번째 샌들 한 켤레는 정상 가격 $\$50$ 에 사고, 두 번째 켤레는 $40\%$ 할인 가격에, 세 번째 켤레는 정상 가격의 반값에 살 수 있습니다. 하비에르(Javier)는 이 "박람회 특가"를 이용해 샌들 세 켤레를 모두 샀습니다. 그는 세 켤레의 정상 가격 합인 $\$150$ 중 몇 퍼센트를 절약했을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 샌들 한 켤레의 정가가 $\$50$ 인 가게의 "박람회 특가" 는 이렇게 적용됩니다 — 첫 켤레는 정가, 둘째 켤레는 $40\%$ 할인, 셋째 켤레는 반값. 하비에르가 이 특가로 세 켤레를 모두 샀습니다. 세 켤레의 정가 합은 $\$150$ 인데, 그는 이 $\$150$ 중 몇 퍼센트를 아꼈을까요?

주어진 것: 한 켤레 정가 $= \$50$; 첫 켤레: 정가 ($\$50$); 둘째 켤레: $40\%$ 할인; 셋째 켤레: 반값 ($50\%$ 할인); 세 켤레 정가 합 $= \$150$; 선택지: (A) $25$, (B) $30$, (C) $33$, (D) $40$, (E) $45$ (절약한 비율, %)

구하는 것: 정가 $\$150$ 중에서 하비에르가 절약한 금액의 비율(%)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

세 켤레에 적용되는 할인 규칙이 모두 다르기 때문에, 가장 깔끔한 길은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 입니다 — 켤레마다 가격을 따로 구한 뒤 더해서 합계를 내고, 그것을 정가 $\$150$ 와 비교하면 됩니다. 대수가 필요 없고, 각 부분문제는 한 줄짜리 소수·분수 계산입니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 자연스러운 검산용입니다 — $30\%$ 라는 답이 나오면 다섯 개 선택지 중 절약액 $\$45 / \$150$ 와 맞는 (B) 만 남는 것을 확인합니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

부분문제 1 — 첫 켤레 가격.
첫 켤레는 할인 없이 정가로 판매됩니다.

$\text{첫 켤레} = \$50$

💡 첫 부분문제의 이름과 답을 한 줄로 적는 것이 도구 #7 의 핵심 — 여러 단계짜리 질문을 한 줄짜리 조각들로 쪼개는 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 2

부분문제 2 — 둘째 켤레 가격.
$40\%$ 할인이면 하비에르는 $100\% - 40\% = 60\%$ 를 냅니다.
$0.60$ 을 곱해서 $50$ 의 $60\%$ 를 구합니다.

$\text{둘째 켤레} = 0.60 \times \$50 = \$30$

💡 "$40\%$ 할인" 을 "$60\%$ 만 지불" 로 뒤집어 보는 것이 할인 계산의 표준 지름길입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.4 단계 3

부분문제 3 — 셋째 켤레 가격.
"반값" 은 정가의 $\tfrac{1}{2}$ 입니다.

$\text{셋째 켤레} = \tfrac{1}{2} \times \$50 = \$25$

💡 어떤 양의 절반을 구하는 것은 4학년 "전체의 분수" 계산 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

세 부분문제의 답을 더해서 하비에르가 실제로 낸 총액을 구합니다.

$\$50 + \$30 + \$25 = \$105$

💡 부분문제를 각각 풀고 나면, 덧셈이 조각들을 다시 전체 답으로 이어 붙여 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 5

절약액을 구합니다 — 정가 합에서 실제로 낸 금액을 뺍니다.

$\$150 - \$105 = \$45 \text{ 절약}$

💡 절약액 $=$ (정가로 냈을 금액) $-$ (실제로 낸 금액). 정의 그대로의 뺄셈입니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 6

$\$45$ 의 절약액을 정가 $\$150$ 의 몇 퍼센트인지로 바꿉니다 — 비율을 구해서 $100\%$ 를 곱합니다.

$$\dfrac{45}{150} = \dfrac{3}{10} = 0.30 = 30\% \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 절약 비율은 "부분 $\div$ 전체" 를 $100$ 분율로 표현한 것 — 6학년 백분율의 핵심 개념입니다. 그 다음 도구 #3 으로 (B) 만 일치함을 확인합니다.

[1] #7 4.OA.A.3 부분문제 1 — 첫 켤레 가격. 첫 켤레는 할인 없이 정가로 판매됩니다.

[2] #7 5.NBT.B.7 부분문제 2 — 둘째 켤레 가격. $40\%$ 할인이면 하비에르는 $100\% - 40\% = 60\%$ 를 냅니다. $0.60$ 을 곱해서 $

[3] #7 4.NF.B.4 부분문제 3 — 셋째 켤레 가격. "반값" 은 정가의 $\tfrac{1}{2}$ 입니다.

[4] #7 4.OA.A.3 세 부분문제의 답을 더해서 하비에르가 실제로 낸 총액을 구합니다.

[5] #7 4.OA.A.3 절약액을 구합니다 — 정가 합에서 실제로 낸 금액을 뺍니다.

[6] #3 6.RP.A.3 $\$45$ 의 절약액을 정가 $\$150$ 의 몇 퍼센트인지로 바꿉니다 — 비율을 구해서 $100\%$ 를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 다른 각도에서 확인해 봅시다. 같은 정가의 세 켤레에 적용된 할인율은 각각 $0\%, 40\%, 50\%$ 입니다. 평균 할인율은 $\tfrac{0 + 40 + 50}{3} = \tfrac{90}{3} = 30\%$ — 정가 $\$150$ 대비 절약 비율과 정확히 같습니다. (B) 와 일치하고, 선택지 범위($25$ ~ $45$) 의 중앙에 위치해 현실적인 값입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다 — 각 퍼센트는 (퍼센트) $\times \$150$ 의 절약액에 대응합니다. 선택지별 절약액은 $\$37.50, \$45, \$49.50, \$60, \$67.50$ 으로, $\$150 - \$105 = \$45$ 와 일치하는 것은 (B) 뿐입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 $p = \tfrac{150 - (50 + 0.6 \cdot 50 + 0.5 \cdot 50)}{150} \cdot 100\% = 30\%$ 로 풀어도 같은 답이지만, 이 문제에서는 부분문제 풀이가 더 단순합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 해결 (구매를 세 켤레별 부분문제로 쪼개고, 세 가격($\$50 + \$30 + \$25 = \$105$) 을 합산한 뒤 $\$150 - \$105 = \$45$ 의 뺄셈으로 절약액을 구하는 데 사용.)
4.NF.B.4 분수와 자연수의 곱셈 (셋째 켤레 가격을 $\tfrac{1}{2} \times \$50 = \$25$ 로 계산.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (둘째 켤레 가격을 $0.60 \times \$50 = \$30$ 로, 소수와 자연수의 곱으로 계산.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결(백분율 포함) ($\$45$ 의 절약액을 정가 $\$150$ 에 대한 백분율 $\tfrac{45}{150} = 30\%$ 로 표현하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 결국 "켤레마다 가격 구하고, 다 더하고, 절약액을 퍼센트로 바꾸기" 입니다 — 새로 필요한 건 6학년 백분율 한 가지뿐이고, 나머지는 차분한 부분문제 풀이입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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