AMC 8 · 2013 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlespythagorean-theoremreflection-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$1 \times 2$ 직사각형이 한 반원에 내접해 있고, 긴 변이 반원의 지름 위에 놓여 있습니다. 이 반원의 넓이는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{2}$

(B)

$\frac{2\pi}{3}$

(C)

$\pi$

(D)

$\frac{4\pi}{3}$

(E)

$\frac{5\pi}{3}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1 \times 2$ 직사각형이 반원 안에 들어가 있고, 긴 변(길이 $2$)이 반원의 지름 위에 놓여 있습니다. 이 반원의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 직사각형의 크기는 $1 \times 2$; 긴 변(길이 $2$)이 반원의 지름 위에 놓여 있음; 직사각형의 위쪽 두 꼭짓점이 반원의 호에 닿아 있음; 선택지: (A) $\tfrac{\pi}{2}$, (B) $\tfrac{2\pi}{3}$, (C) $\pi$, (D) $\tfrac{4\pi}{3}$, (E) $\tfrac{5\pi}{3}$

구하는 것: 반원의 넓이

이해

문제 재정리: $1 \times 2$ 직사각형이 반원 안에 들어가 있고, 긴 변(길이 $2$)이 반원의 지름 위에 놓여 있습니다. 이 반원의 넓이를 구하세요.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

전형적인 2D 기하 문제라서, 도구 #1(그림 그리기) 로 시작하는 게 정석입니다 — 반원, 직사각형, 지름의 중심을 빠르게 그리면 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 바로 보입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 두 조각으로 나눕니다: (1) 그 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 $r^2$ 구하기, (2) $r^2$ 을 반원 넓이 공식에 대입하기. 직사각형의 대칭성이 직각삼각형을 그대로 내어 주기 때문에 굳이 대수(도구 #13)를 꺼낼 필요는 없습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

그림을 그리고 좌표를 잡습니다.
지름의 중심을 원점 $(0,0)$ 에 놓으면, 대칭성에 의해 직사각형도 원점을 중심으로 놓이므로 아래쪽 꼭짓점은 $(-1, 0)$ 과 $(1, 0)$, 호 위에 닿는 위쪽 꼭짓점은 $(-1, 1)$ 과 $(1, 1)$ 이 됩니다.

$$\text{아래쪽: } (-1,0), (1,0); \quad \text{호 위의 위쪽: } (-1,1), (1,1)$$

💡 네 꼭짓점을 좌표평면에 찍는 것은 5학년의 "좌표평면 위 점 그리기" 그대로이고, 덕분에 기하 문제가 "잴 수 있는 문제" 로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.2 단계 2

직각삼각형을 찾습니다.
중심 $(0,0)$ 에서 위쪽 꼭짓점 $(1,1)$ 까지 그은 반지름은, 가로 다리 $1$ ($(0,0)$ 에서 $(1,0)$ 까지) 과 세로 다리 $1$ ($(1,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지) 을 갖는 직각삼각형의 빗변이 됩니다.

$$\text{두 다리} = 1 \text{ 과 } 1; \quad \text{빗변} = r$$

💡 그림을 "직사각형 + 반지름이 빗변인 직각삼각형" 으로 쪼개는 게 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 반지름을 그리기 전까진 직각삼각형이 보이지 않습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

이 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용해서 $r^2$ 을 바로 구합니다.
넓이 공식은 $r^2$ 만 쓰므로 $r$ 자체는 구할 필요도 없습니다.

$$r^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$

💡 직각삼각형에 $a^2 + b^2 = c^2$ 을 쓰는 것은 8학년 피타고라스 정리 표준이고, 여기서는 직사각형의 변들이 그대로 두 다리가 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

$r^2 = 2$ 를 반원 넓이 공식에 대입합니다.
반원은 원의 절반이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \pi r^2$ 입니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \pi r^2 = \tfrac{1}{2} \pi (2) = \pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 원의 넓이 $A = \pi r^2$ 을 알고 반원이면 절반을 취하는 것이 7학년 "원의 넓이" 표준이며, 3단계에서 구한 $r^2$ 가 그대로 대입됩니다.

[1] #1 5.G.A.2 그림을 그리고 좌표를 잡습니다. 지름의 중심을 원점 $(0,0)$ 에 놓으면, 대칭성에 의해 직사각형도 원점을 중심으로 놓이므로 아래쪽 꼭짓점은

[2] #7 5.G.A.2 직각삼각형을 찾습니다. 중심 $(0,0)$ 에서 위쪽 꼭짓점 $(1,1)$ 까지 그은 반지름은, 가로 다리 $1$ ($(0,0)$ 에서 $(1,

[3] #7 8.G.B.7 이 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용해서 $r^2$ 을 바로 구합니다. 넓이 공식은 $r^2$ 만 쓰므로 $r$ 자체는 구할 필요도 없습니다.

[4] #7 7.G.B.4 $r^2 = 2$ 를 반원 넓이 공식에 대입합니다. 반원은 원의 절반이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \pi r^2$ 입니다.

검토

합리성 확인: 크기가 합리적인지 점검합니다. 지름은 $2r = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ 으로 직사각형의 밑변 $2$ 보다 충분히 크므로 — 좋습니다, 직사각형이 들어갑니다. 반원의 넓이 $\pi \approx 3.14$ 는 직사각형의 넓이 $1 \times 2 = 2$ 보다는 커야 하고($3.14 > 2$ ✓), 반원을 감싸는 외접 직사각형 $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} \approx 4$ 보다는 작아야 합니다($3.14 < 4$ ✓). 답 (C) $\pi$ 가 적당한 범위에 들어 옵니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 따져 봅니다. 모든 선택지가 $\pi$ 의 배수이므로, 사실은 $\tfrac{1}{2} r^2$ 의 값을 고르는 문제입니다. (A) $\tfrac{\pi}{2}$ 는 $r^2 = 1$ 이 필요한데 반지름 $1$ 로는 폭 $2$ 짜리 직사각형이 들어가지 않습니다 — 불가능. (E) $\tfrac{5\pi}{3}$ 은 $r^2 = \tfrac{10}{3}$ 으로, 꼭 맞게 끼인 그림과 비교하면 너무 큽니다. 꼭짓점 $(1,1)$ 에 딱 닿는 반지름과 맞는 건 (C) 의 $r^2 = 2$ 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 좌표평면 제1사분면에 점을 그려 실생활·수학 문제 표현하기 (지름의 중심을 원점에 두고 직사각형의 꼭짓점을 $(\pm 1, 0)$, $(\pm 1, 1)$ 좌표로 읽어, 숨어 있던 직각삼각형을 드러내는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 변의 길이 구하기 (직사각형의 밑변의 절반과 높이를 두 다리로 갖는 직각삼각형에서 $r^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ 를 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용하기 ($r^2 = 2$ 를 $\tfrac{1}{2} \pi r^2$ 에 대입해 반원의 넓이 $= \pi$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 그림을 그려서 안에 숨은 직각삼각형을 찾고 나면, 피타고라스 정리와 원의 넓이 공식이 나머지를 끝내 줍니다 — 깔끔한 5학년 좌표 세팅 위에 올린 8학년 한 줄짜리 아이디어예요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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