AMC 8 · 2013 · #22

학년 4 countingpattern

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticpattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

이쑤시개를 사용해서 가로로 이쑤시개 $60$ 개, 세로로 이쑤시개 $32$ 개가 들어가는 격자를 만듭니다. 사용된 이쑤시개는 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1920

(B)

1952

(C)

1980

(D)

2013

(E)

3932

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이쑤시개를 끝과 끝을 이어 직사각형 격자를 만듭니다. 격자의 길이(가로 방향)는 이쑤시개 $60$ 개, 너비(세로 방향)는 이쑤시개 $32$ 개입니다. 각 작은 칸의 모든 변은 이쑤시개 한 개로 이루어지며, 두 칸이 공유하는 이쑤시개는 한 개로만 셉니다. 격자 전체에는 이쑤시개가 모두 몇 개 쓰일까요?

주어진 것: 격자의 길이 $= 60$ (가로 방향 칸 수); 격자의 너비 $= 32$ (세로 방향 칸 수); 단위 칸의 각 변은 이쑤시개 한 개이고, 두 칸이 공유하는 이쑤시개는 두 번 세지 않는다; 선택지: (A) $1920$, (B) $1952$, (C) $1980$, (D) $2013$, (E) $3932$

구하는 것: 격자 전체를 만드는 데 사용되는 이쑤시개의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #1 그림 그리기

$3932$ 개를 한꺼번에 세는 건 불가능하니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 써서 모든 이쑤시개를 '가로 이쑤시개'와 '세로 이쑤시개' 두 무더기로 갈라 따로 센 뒤 더합니다. 그런데 '$n$ 칸짜리 격자에 왜 세로줄이 $n+1$ 개 필요한가?'를 보려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 딱입니다 — $2 \times 3$ 같은 작은 격자로 줄여서 직접 세 보면 규칙이 바로 보입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 '$n$ 칸 = $n+1$ 줄' 이 울타리 기둥(fencepost) 규칙임을 눈으로 확인시켜 줍니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

먼저 더 쉬운 문제 — 길이가 $3$, 너비가 $2$ 인 격자 — 를 그려서 직접 세어 봅니다.
가로줄은 $2$ 칸 위에 $1$ 줄 더해 $3$ 줄이고, 각 줄에 이쑤시개가 $3$ 개씩 있으니 가로 이쑤시개 $= 3 \times 3 = 9$ 개.
세로줄은 $3$ 칸 옆에 $1$ 줄 더해 $4$ 줄이고, 각 줄에 이쑤시개 $2$ 개씩 있으니 세로 이쑤시개 $= 4 \times 2 = 8$ 개.
총 $17$ 개.

$$\text{가로} = (2+1) \times 3 = 9, \quad \text{세로} = (3+1) \times 2 = 8, \quad \text{총합} = 17$$

💡 작은 격자를 직접 만들어 보면 '$n$ 칸이면 $n+1$ 줄' 이라는 울타리 기둥 규칙이 한눈에 보입니다 — 4학년 패턴 발견 기술 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

작은 사례에서 얻은 규칙을 일반화합니다.
길이가 $L$, 너비가 $W$ 인 격자에서 가로 이쑤시개 $= (W+1) \times L$, 세로 이쑤시개 $= (L+1) \times W$.
두 방향을 따로 세고 마지막에 더하는 것이 핵심 쪼개기입니다.

$$\text{총합} = (W+1) \cdot L + (L+1) \cdot W$$

💡 '가로 무더기' 와 '세로 무더기' 로 나눠 따로 풀고 합치는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 3

실제 격자($L = 60$, $W = 32$)에서 세로 이쑤시개를 셉니다.
세로줄은 $60 + 1 = 61$ 개(오른쪽 끝 한 줄 추가)이고, 각 줄의 길이는 $32$ 개입니다.

$$\text{세로} = 61 \times 32 = 1952$$

💡 두 자리 수 곱하기 두 자리 수 계산은 4학년 다자리 곱셈 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4

이어서 가로 이쑤시개를 셉니다.
가로줄은 $32 + 1 = 33$ 개(위쪽 끝 한 줄 추가)이고, 각 줄의 길이는 $60$ 개입니다.

$$\text{가로} = 33 \times 60 = 1980$$

💡 세로 계산과 같은 두 자리 곱셈이며, 길이와 너비의 역할만 바뀐 형태입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 5

두 무더기를 합쳐 전체 이쑤시개 수를 구합니다.
이것이 쪼개기의 마지막 '합치는' 단계입니다.

$$1952 + 1980 = 3932 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 두 곱을 더하는 것은 도구 #7 의 마무리 단계 — 각 조각을 푼 뒤 합치는 동작입니다.

[1] #9 4.OA.C.5 먼저 더 쉬운 문제 — 길이가 $3$, 너비가 $2$ 인 격자 — 를 그려서 직접 세어 봅니다. 가로줄은 $2$ 칸 위에 $1$ 줄 더해 $3$

[2] #7 4.OA.A.3 작은 사례에서 얻은 규칙을 일반화합니다. 길이가 $L$, 너비가 $W$ 인 격자에서 가로 이쑤시개 $= (W+1) \times L$, 세로 이쑤

[3] #7 4.NBT.B.5 실제 격자($L = 60$, $W = 32$)에서 세로 이쑤시개를 셉니다. 세로줄은 $60 + 1 = 61$ 개(오른쪽 끝 한 줄 추가)이고,

[4] #7 4.NBT.B.5 이어서 가로 이쑤시개를 셉니다. 가로줄은 $32 + 1 = 33$ 개(위쪽 끝 한 줄 추가)이고, 각 줄의 길이는 $60$ 개입니다.

[5] #7 3.OA.A.1 두 무더기를 합쳐 전체 이쑤시개 수를 구합니다. 이것이 쪼개기의 마지막 '합치는' 단계입니다.

검토

합리성 확인: 어림 검산: $60 \times 32$ 격자에는 칸이 $1920$ 개 있고, 칸마다 변이 $4$ 개씩이라 공유 없이 세면 최대 $1920 \times 4 = 7680$ 개. 그런데 거의 모든 내부 변은 두 칸이 공유하므로 실제 값은 이 절반($3840$)보다 약간 큰 $4000$ 근처가 나와야 자연스럽습니다. 답 $3932$ 는 정확히 그 범위 안에 들어옵니다. 함정 선택지 $1920, 1952, 1980$ 은 풀이 중간에 우리가 계산한 값들(칸 수, 세로, 가로)이라, 한 단계만 빼먹으면 그대로 잘못된 답이 되도록 설계돼 있습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) $+$ 도구 #5(패턴 찾기): $1\times1$, $2\times1$, $2\times2$, $3\times2$ 같이 가장 작은 격자들을 그려 총 이쑤시개 수를 표로 정리해 보면, $T(L, W) = (W+1)L + (L+1)W = 2LW + L + W$ 라는 식이 보입니다. 이를 대입하면 $T(60, 32) = 2(60)(32) + 60 + 32 = 3840 + 92 = 3932$ — 선택지 (E) 와 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 자연수의 곱셈의 의미를 해석하기 ($61 \times 32$ 와 $33 \times 60$ 을 '한 줄에 들어가는 이쑤시개 수 $\times$ 줄 수' 로 해석하고 마지막에 두 곱을 더하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (격자를 '가로 무더기' 와 '세로 무더기' 로 나눠 각각 세고 합치는 다단계 문장제 구조에 사용.)
4.OA.C.5 패턴 만들기와 분석하기 ($3 \times 2$ 작은 격자에서 '$n$ 칸이면 $n+1$ 줄' (울타리 기둥 규칙) 패턴을 발견해 $L = 60$, $W = 32$ 에도 확장하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 다자리 자연수의 곱셈 (두 자리 $\times$ 두 자리 포함) (두 자리 곱셈 $61 \times 32 = 1952$ 와 $33 \times 60 = 1980$ 의 실제 계산에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 둘로 쪼개기만 하면 단순해져요 — 가로 이쑤시개 세고, 세로 이쑤시개 세고, 더하면 끝. 새로운 아이디어는 '$n$ 칸이면 $n+1$ 줄' 이라는 울타리 기둥 규칙 하나뿐이고, 이건 4학년 패턴이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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