AMC 8 · 2013 · #7

학년 6 rate-ratioarithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

rateunit-conversionestimation dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

트레이(Trey)와 엄마는 기차가 지나가는 동안 철도 건널목 앞에 멈춰 섰습니다. 기차가 지나가기 시작하자, 트레이는 처음 $10$ 초 동안 화차 $6$ 칸을 세었습니다. 기차가 일정한 속도로 건널목을 완전히 지나가는 데에는 $2$ 분 $45$ 초가 걸렸습니다. 다음 중 이 기차의 화차 칸 수로 가장 가능성 높은 값은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

120

(E)

140

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 기차가 일정한 속도로 건널목을 지나갑니다. 트레이는 처음 $10$ 초 동안 $6$ 칸을 셌고, 기차 전체가 건널목을 다 지나가는 데에는 $2$ 분 $45$ 초가 걸렸습니다. 보기 중에서 기차 전체 칸 수에 가장 가까운 값은 무엇일까요?

주어진 것: 처음 $10$ 초 동안 $6$ 칸이 지나감; 기차 속도는 일정함; 기차 전체가 지나가는 데 걸린 시간 $= 2$ 분 $45$ 초; 선택지: (A) $60$, (B) $80$, (C) $100$, (D) $120$, (E) $140$

구하는 것: 기차 전체 칸 수에 가장 가까운 선택지

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

겉모습은 다르지만 결국 비율(rate) 문제입니다. "초당 몇 칸" 이라는 단위율을 구하고, 거기에 총 시간을 곱하면 전체 칸 수가 나옵니다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 한쪽은 칸/초, 다른 쪽은 초로 맞춰 두면 "초" 가 약분되고 "칸" 만 남습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로는 풀이를 세 조각 — (1) 비율 구하기, (2) $2$ 분 $45$ 초를 한 단위(초)로 환산, (3) 곱하기 — 로 나눠서 한 번에 하나씩 처리합니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 1

초당 칸 수(단위율)를 구합니다.
$10$ 초 동안 $6$ 칸이 지나갔으므로 칸 수를 시간으로 나눕니다.

$$\text{비율} = \dfrac{6 \text{ 칸}}{10 \text{ 초}} = 0.6 \tfrac{\text{칸}}{\text{초}}$$

💡 개수를 걸린 시간으로 나누는 것이 바로 6학년에서 정의하는 단위율(unit rate) 입니다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 2

비율의 단위와 맞추기 위해 총 시간을 초 단위로 환산합니다.
$2$ 분은 $2 \times 60 = 120$ 초, 거기에 $45$ 초를 더합니다.

$$2 \text{ 분 } 45 \text{ 초} = 2 \times 60 + 45 = 120 + 45 = 165 \text{ 초}$$

💡 같은 시간 체계 안에서 분을 초로 바꾸는 것은 5학년 "표준 측정 단위 환산" 표준입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

비율에 총 시간을 곱합니다.
분모의 "초" 와 시간의 "초" 가 약분되어 "칸" 만 남습니다.
$0.6$ 을 $\tfrac{3}{5}$ 로 쓰면 계산이 깔끔합니다.

$$\text{전체 칸 수} = 0.6 \tfrac{\text{칸}}{\text{초}} \times 165 \text{ 초} = \tfrac{3}{5} \times 165 = 3 \times 33 = 99 \text{ 칸}$$

💡 단위율에 시간을 곱해 전체 개수를 구하는 것은 6학년 비율·비례 추론 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

계산값을 가장 가까운 선택지에 맞춥니다.
다섯 보기 $60, 80, 100, 120, 140$ 중에서 $99$ 와 차이가 $1$ 뿐인 값은 $100$ 입니다.

$$99 \approx 100 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 AMC 의 "가장 가까운" 유형은 계산값을 구한 뒤 보기 중 제일 가까운 수를 고르면 됩니다.

[1] #8 6.RP.A.2 초당 칸 수(단위율)를 구합니다. $10$ 초 동안 $6$ 칸이 지나갔으므로 칸 수를 시간으로 나눕니다.

[2] #8 5.MD.A.1 비율의 단위와 맞추기 위해 총 시간을 초 단위로 환산합니다. $2$ 분은 $2 \times 60 = 120$ 초, 거기에 $45$ 초를 더합니다

[3] #8 6.RP.A.3 비율에 총 시간을 곱합니다. 분모의 "초" 와 시간의 "초" 가 약분되어 "칸" 만 남습니다. $0.6$ 을 $\tfrac{3}{5}$ 로 쓰면

[4] #7 6.RP.A.3 계산값을 가장 가까운 선택지에 맞춥니다. 다섯 보기 $60, 80, 100, 120, 140$ 중에서 $99$ 와 차이가 $1$ 뿐인 값은 $1

검토

합리성 확인: 더 거친 어림으로 확인해 봅시다. $10$ 초당 $6$ 칸은 곧 분당 $36$ 칸입니다. 기차는 거의 $3$ 분 ($2$ 분 $45$ 초) 동안 지나가니까 대략 $36 \times 3 = 108$ 칸 — 그런데 실제 시간은 $3$ 분에서 $\tfrac{1}{4}$ 분 모자라므로 $36 \times \tfrac{1}{4} = 9$ 칸 정도를 빼면 약 $99$ 칸이 됩니다. 정확한 답과 맞고, 다른 어떤 선택지보다 $100$ 에 훨씬 가깝습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 거꾸로 대입합니다. 기차 칸 수를 $N$ 이라 하면, $165$ 초 동안 $N$ 칸이 지나간 비율은 $\tfrac{N}{165}$ 칸/초이고, 이는 관측값 $0.6$ 칸/초와 같아야 합니다. $\tfrac{N}{165} = 0.6$ 을 풀면 $N = 99$ 이고, 보기 중 (C) $100$ 이 가장 가깝습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 ($2$ 분 $45$ 초를 하나의 단위(초, $165$ 초) 로 환산해 비율과 시간의 단위를 맞추는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위율(unit rate) 의 개념 이해 ("$10$ 초당 $6$ 칸" 을 단위율 $0.6$ 칸/초로 바꾸는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (단위율에 총 시간을 곱해 전체 칸 수($0.6 \times 165 = 99$) 를 어림하고, 가장 가까운 선택지에 맞추는 데 사용.)

⭐ 몇 초 동안 지나간 개수를 세면 "초당 비율" 이 나오고, 거기에 전체 시간을 곱하면 전체 개수가 나옵니다 — 6학년 비율 추론으로 풀리는 문제예요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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