AMC 8 · 2014 · #11

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basiclattice-pathscomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

잭(Jack)은 자기 집에서 동쪽으로 $3$ 블록, 북쪽으로 $2$ 블록 떨어진 질(Jill)의 집까지 자전거를 타고 가려고 합니다. 한 블록을 갈 때마다 잭은 동쪽 또는 북쪽으로 계속 갈 수 있는데, 자기 집에서 동쪽으로 $1$ 블록, 북쪽으로 $1$ 블록 떨어진 위험한 교차로는 반드시 피해야 합니다. 총 $5$ 블록을 자전거로 달려 질의 집에 도착하는 방법은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 잭은 자기 집에서 동쪽 $3$ 블록, 북쪽 $2$ 블록 떨어진 질의 집까지 자전거를 탑니다. 한 블록을 갈 때마다 동쪽 또는 북쪽 중 하나만 선택할 수 있고(되돌아가기 없음), 전체 길이는 정확히 $5$ 블록입니다. 잭의 집에서 동쪽으로 $1$ 블록, 북쪽으로 $1$ 블록 떨어진 모퉁이는 위험하므로 반드시 피해야 합니다. 위 조건을 만족하는 $5$ 블록 경로는 몇 가지일까요?

주어진 것: 잭의 집은 $(0,0)$, 질의 집은 $(3,2)$; 매 블록마다 동(E) 또는 북(N) 으로만 이동 — 서·남 이동 없음; 전체 이동은 정확히 $3 + 2 = 5$ 블록; 피해야 하는 모퉁이: $(1,1)$ — 잭의 집에서 동쪽 $1$, 북쪽 $1$; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$

구하는 것: $(1,1)$ 을 지나지 않으면서 $(0,0)$ 에서 $(3,2)$ 까지 가는 $5$ 블록 경로의 수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기, #16 관점 바꾸기 (여사건)

전체 경로가 $10$ 가지밖에 안 되니, 조합 공식 없이도 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 모두 적을 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 $3 \times 2$ 격자를 그려서 각 경로를 눈으로 따라가고, 도구 #3(가능성 지우기) 로 $(1,1)$ 을 지나는 경로를 지우면 됩니다. 도구 #16(여사건) 은 검토용으로 자연스럽습니다 — 안전 경로 대신 "나쁜" 경로를 세어서 $10$ 에서 빼는 방식입니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

잭의 집 $(0,0)$ 을 왼쪽 아래, 질의 집 $(3,2)$ 를 오른쪽 위로 두는 $3 \times 2$ 격자를 그립니다.
위험한 모퉁이 $(1,1)$ 에는 X 표시를 합니다.
모든 경로는 $(0,0)$ 에서 $(3,2)$ 까지 가는 E(동쪽, 오른쪽) 와 N(북쪽, 위쪽) 의 계단 모양입니다.

격자: $x = 0, 1, 2, 3$ (열 $4$ 개) $\times$ $y = 0, 1, 2$ (행 $3$ 개). 금지 지점: $(1,1)$.

💡 집과 위험 지점을 좌표평면에 찍으면, 길 이름이 잔뜩 나오는 문장이 손가락으로 짚을 수 있는 점들로 바뀝니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

각 경로는 E $3$ 개와 N $2$ 개를 어떤 순서로 늘어놓은 $5$ 글자 문자열입니다.
사전 순(E 가 N 보다 앞) 으로 모두 적습니다.
두 N 의 위치를 왼쪽부터 차례로 선택하는 방식을 정렬 규칙으로 잡습니다.
총 $\binom{5}{2} = 10$ 가지이지만 공식 없이 그냥 나열해도 충분합니다.

전체 $10$ 가지 경로 (두 N 의 위치를 대괄호로 표시):\n$1)\ \text{NNEEE}\ [1,2]$\n$2)\ \text{NENEE}\ [1,3]$\n$3)\ \text{NEENE}\ [1,4]$\n$4)\ \text{NEEEN}\ [1,5]$\n$5)\ \text{ENNEE}\ [2,3]$\n$6)\ \text{ENENE}\ [2,4]$\n$7)\ \text{ENEEN}\ [2,5]$\n$8)\ \text{EENNE}\ [3,4]$\n$9)\ \text{EENEN}\ [3,5]$\n$10)\ \text{EEENN}\ [4,5]$

💡 정렬 규칙(두 N 의 위치를 작은 쪽부터) 을 먼저 정해 두면 빠진 경로도, 겹치는 경로도 없습니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 3

어떤 경로가 $(1,1)$ 을 지나려면 도중에 "E $1$ 번, N $1$ 번" 을 끝낸 순간이 있어야 합니다.
그건 처음 두 글자가 $\{E, N\}$ 한 번씩일 때 — 즉 EN...
또는 NE...
로 시작할 때만 일어납니다.
각 경로의 첫 두 글자를 보고 분류합니다.

나쁜 시작: $\text{EN}\ldots$ 또는 $\text{NE}\ldots$.\n위 목록에서: $\#2\ \text{NE}\ldots,\ \#3\ \text{NE}\ldots,\ \#4\ \text{NE}\ldots,\ \#5\ \text{EN}\ldots,\ \#6\ \text{EN}\ldots,\ \#7\ \text{EN}\ldots$ — 총 $6$ 가지.

💡 $5$ 글자 E/N 경로가 $(1,1)$ 에 닿는 유일한 길은 "두 번째 이동 후 거기 있는 것" 뿐이라, 첫 두 글자만 보면 됩니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

$10$ 가지 중 위 $6$ 가지를 지웁니다.
남는 것이 안전한 경로입니다.
$\#1$ NNEEE (먼저 위로 두 번 올라가서 $(1,1)$ 위쪽으로 지나감), $\#8$ EENNE, $\#9$ EENEN, $\#10$ EEENN (모두 EE 로 시작해 $(2,0)$ 을 거치므로 $(1,1)$ 옆을 비껴감) — 총 $4$ 가지.

안전 경로: $\{\text{NNEEE},\ \text{EENNE},\ \text{EENEN},\ \text{EEENN}\}$ $\Rightarrow$ 개수 $= 4$.

💡 지우고 난 뒤에는 그냥 남은 것을 세면 끝입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

답: 안전한 경로는 $4$ 가지, 선택지 (A).

안전 경로 수 $= 10 - 6 = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$

💡 체계적인 목록이 곧 답이 됩니다.

[1] #1 5.G.A.1 잭의 집 $(0,0)$ 을 왼쪽 아래, 질의 집 $(3,2)$ 를 오른쪽 위로 두는 $3 \times 2$ 격자를 그립니다. 위험한 모퉁이 $(

[2] #2 7.SP.C.8 각 경로는 E $3$ 개와 N $2$ 개를 어떤 순서로 늘어놓은 $5$ 글자 문자열입니다. 사전 순(E 가 N 보다 앞) 으로 모두 적습니다.

[3] #3 4.OA.A.3 어떤 경로가 $(1,1)$ 을 지나려면 도중에 "E $1$ 번, N $1$ 번" 을 끝낸 순간이 있어야 합니다. 그건 처음 두 글자가 ${E,

[4] #3 4.OA.A.3 $10$ 가지 중 위 $6$ 가지를 지웁니다. 남는 것이 안전한 경로입니다. $\#1$ NNEEE (먼저 위로 두 번 올라가서 $(1,1)$ 위

[5] #2 4.OA.A.3 답: 안전한 경로는 $4$ 가지, 선택지 (A).

검토

합리성 확인: 위험 모퉁이 $(1,1)$ 이 출발점에 매우 가깝기 때문에 많은 경로를 가로막습니다 — $10$ 중 $6$ 개. 처음부터 위로 두 번 올라가거나(NN...), 처음부터 동쪽으로 두 번 가야(EE...) $(1,1)$ 을 피할 수 있고, 그런 경로가 딱 $4$ 개라는 결과는 작은 격자에서 직관적으로 자연스럽습니다. (A) $4$ 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #16(여사건) 으로 검토: 안전 경로를 세는 대신 "나쁜" 경로(즉 $(1,1)$ 을 지나는 경로) 를 셉니다. $(0,0) \to (1,1)$ 경로는 EN, NE 두 가지, $(1,1) \to (3,2)$ 경로는 EEN, ENE, NEE 세 가지. 곱의 법칙으로 나쁜 경로 $= 2 \times 3 = 6$. 전체 $10$ 에서 빼면 $10 - 6 = 4$ — 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.G.A.1 수직인 두 수직선(좌표계) 을 이용해 점의 위치를 나타내기 (잭의 집을 $(0,0)$, 질의 집을 $(3,2)$, 위험 모퉁이를 $(1,1)$ 로 좌표평면에 찍어 문제를 그림으로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수 사칙연산을 활용한 여러 단계 문장제 해결 (각 경로를 따라가며 동·북 이동 횟수를 누적해 "$(1,1)$ 을 지나지 않을 것" 조건을 점검.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (가능한 $10$ 가지 E/N 경로 전체를 알파벳 순의 조직적 목록으로 빠짐없이·중복 없이 나열.)

⭐ 전체 경우의 수가 작을 때($10$ 개) 는 조합 공식 없이도, 7학년식 "정리된 목록" 으로 모든 경로를 적고 나쁜 것을 지워서 답을 얻을 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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