AMC 8 · 2014 · #21

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

divisibility-rulesdigit-summodular-arithmetic digit-constraintsmodular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmodular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$7$ 자리 수 $\underline{7} \underline{4} \underline{A} \underline{5} \underline{2} \underline{B} \underline{1}$ 과 $\underline{3} \underline{2} \underline{6} \underline{A} \underline{B} \underline{4} \underline{C}$ 는 둘 다 $3$ 의 배수입니다. 다음 중 $C$ 가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 개의 $7$자리 수 $\underline{7}\underline{4}\underline{A}\underline{5}\underline{2}\underline{B}\underline{1}$ 과 $\underline{3}\underline{2}\underline{6}\underline{A}\underline{B}\underline{4}\underline{C}$ 가 모두 $3$ 의 배수입니다. 미지의 숫자 $A, B, C$ 는 각각 $0$ 부터 $9$ 사이의 한 자리 숫자입니다. 선택지 중 $C$ 가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

주어진 것: 첫 번째 수 $74A52B1$ 은 $3$ 의 배수; 두 번째 수 $326AB4C$ 는 $3$ 의 배수; $A, B, C$ 는 한 자리 숫자($0$~$9$); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $8$

구하는 것: 두 번째 수에 들어가는 한 자리 숫자 $C$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 제거하기, #6 추측하고 확인하기

두 미지수 $A, B$ 는 두 수에 모두 등장하지만, $C$ 는 두 번째 수에만 나타납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 첫 번째 수의 배수 조건에서 $A + B$ 에 대한 정보를 뽑고, (2) 그 정보를 두 번째 수의 조건에 넣어 $C$ 만의 조건으로 줄이는 식으로 두 단계로 나누면 깔끔합니다. 마지막에 도구 #3(가능성 제거하기)으로 다섯 개의 선택지 중 우리가 찾은 $C$ 조건을 만족하는 것 하나만 남기면 끝납니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 자연스러운 보조 수단으로, 각 선택지를 직접 배수 조건에 대입해 검증할 수 있습니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

작은 문제 1: 첫 번째 수의 배수 조건을 $A + B$ 에 대한 정보로 바꿉니다.
$74A52B1$ 의 알려진 자리 숫자를 더하면 $7 + 4 + 5 + 2 + 1 = 19$ 이고, 전체 자리합은 $19 + A + B$ 입니다.
이 합이 $3$ 의 배수가 되어야 하는데, $19 = 18 + 1$ 이고 $18$ 은 이미 $3$ 의 배수이므로 남은 $1 + A + B$ 가 $3$ 의 배수여야 합니다.

$$7 + 4 + 5 + 2 + 1 = 19,\;\; 19 + A + B = 18 + (1 + A + B) \;\Rightarrow\; 1 + A + B \text{ 가 } 3 \text{ 의 배수}$$

💡 4학년 "배수 알아보기" 그대로 — 이미 $3$ 의 배수인 부분을 떼어내면, 나머지 조각이 $3$ 의 배수일 때 전체도 $3$ 의 배수입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

작은 문제 2: 두 번째 수에도 같은 규칙을 적용합니다.
$326AB4C$ 의 알려진 자리 숫자를 더하면 $3 + 2 + 6 + 4 = 15$ 이므로 전체 자리합은 $15 + A + B + C$ 입니다.
$15$ 가 이미 $3$ 의 배수이므로 남은 $A + B + C$ 자체가 $3$ 의 배수여야 합니다.

$$3 + 2 + 6 + 4 = 15,\;\; 15 + A + B + C \text{ 가 } 3 \text{ 의 배수} \;\Rightarrow\; A + B + C \text{ 가 } 3 \text{ 의 배수}$$

💡 같은 배수 규칙, 같은 4학년 배수 알아보기 동작.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 3

두 결과를 결합합니다.
1단계에서 $1 + A + B$ 가 $3$ 의 배수이므로 $A + B$ 는 $3$ 의 배수보다 $1$ 작은 수, 즉 $3$ 으로 나눈 나머지가 $2$ 인 수입니다.
2단계에서 $A + B + C$ 는 $3$ 의 배수입니다.
두 조건을 빼면 $C = (A + B + C) - (A + B)$ 는 "$3$ 의 배수" 에서 "나머지가 $2$ 인 수" 를 뺀 것이므로, $C$ 자체의 나머지는 $0 - 2 = -2 \equiv 1$ (나머지 $0, 1, 2$ 의 순환에서) — 즉 $C$ 는 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 입니다.

$$A + B \equiv 2 \pmod{3},\;\; A + B + C \equiv 0 \pmod{3} \;\Rightarrow\; C \equiv 1 \pmod{3}$$

💡 두 조건을 서로 빼서 한 변수만 남기는 것은 6학년 "방정식을 어떤 값이 참으로 만드는지 묻는 질문으로 보기" 의 핵심 — 변수 대입 아이디어 그대로입니다.

#3 가능성 제거하기 4.OA.B.4 단계 4

"$C$ 는 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 조건을 다섯 개의 선택지에 적용합니다.
각 선택지를 $3$ 으로 나눈 나머지를 계산해 $1$ 인 것만 남깁니다.

$1 \div 3 \to r = 1$,\; $2 \div 3 \to r = 2$,\; $3 \div 3 \to r = 0$,\; $5 \div 3 \to r = 2$,\; $8 \div 3 \to r = 2$

💡 각 후보의 나머지를 요구되는 나머지와 맞춰 보는 것은 4학년 "인수와 배수" 를 가능성 제거 형태로 쓰는 것.

#3 가능성 제거하기 6.EE.B.5 단계 5

$3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 인 선택지는 $C = 1$ 하나뿐이므로 답은 (A) 입니다.

$$C = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 제거 후 유일하게 살아남은 선택지를 읽어내는 것은 "어떤 값이 식을 참으로 만드는가" 질문에 답하는 마지막 6학년 단계.

[1] #7 4.OA.B.4 작은 문제 1: 첫 번째 수의 배수 조건을 $A + B$ 에 대한 정보로 바꿉니다. $74A52B1$ 의 알려진 자리 숫자를 더하면 $7 + 4

[2] #7 4.OA.B.4 작은 문제 2: 두 번째 수에도 같은 규칙을 적용합니다. $326AB4C$ 의 알려진 자리 숫자를 더하면 $3 + 2 + 6 + 4 = 15$

[3] #7 6.EE.B.5 두 결과를 결합합니다. 1단계에서 $1 + A + B$ 가 $3$ 의 배수이므로 $A + B$ 는 $3$ 의 배수보다 $1$ 작은 수, 즉 $3

[4] #3 4.OA.B.4 "$C$ 는 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 조건을 다섯 개의 선택지에 적용합니다. 각 선택지를 $3$ 으로 나눈 나머지를 계산해 $

[5] #3 6.EE.B.5 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 인 선택지는 $C = 1$ 하나뿐이므로 답은 (A) 입니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 $A, B$ 로 검산해 봅시다. $A = 1, B = 1$ 로 두면 $A + B = 2$ ($3$ 으로 나눈 나머지 $2$, 1단계 조건 만족). 첫 번째 수 $7411521$ 의 자리합은 $7+4+1+1+5+2+1 = 21 = 3 \times 7$ 로 $3$ 의 배수. $C = 1$ 을 넣은 두 번째 수 $3261141$ 의 자리합은 $3+2+6+1+1+4+1 = 18 = 3 \times 6$ 으로 역시 $3$ 의 배수. 두 검산이 모두 통과하므로 $C = 1$ 이 실제로 작동하며, 답 (A) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지에 바로 대입해 봅시다. $A + B \equiv 2 \pmod 3$ 을 만족하는 아무 예시($A = B = 1$)를 골라, 두 번째 수의 자리합 $15 + 1 + 1 + C = 17 + C$ 가 $3$ 의 배수가 되는 $C$ 를 선택지에서 찾으면 됩니다. $17+1=18$ (가능), $17+2=19$ (불가), $17+3=20$ (불가), $17+5=22$ (불가), $17+8=25$ (불가) — 오직 (A) $C = 1$ 만 통과합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 인수쌍 찾기와 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($3$ 의 배수 판정 규칙(자리합이 $3$ 의 배수)을 두 개의 $7$ 자리 수에 모두 적용하고, $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 인 선택지를 가려내는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식 풀이를 "주어진 값들 중 어떤 것이 식을 참으로 만드는지" 묻는 과정으로 이해 (첫 번째 조건($A+B \equiv 2 \pmod 3$)을 두 번째 조건($A+B+C \equiv 0 \pmod 3$)에서 빼서 $C$ 만의 조건을 얻고, 다섯 개 선택지 중 그 조건을 만족하는 값을 식별하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "자리합으로 $3$ 의 배수 알아보기" 와 6학년의 "두 조건을 동시에 만족하는 값 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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