AMC 8 · 2014 · #24

학년 6 arithmeticlogic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeoptimization-countingbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어느 날 비버리지 반(Beverage Barn)이라는 가게가 손님 $100$ 명에게 탄산음료 $252$ 캔을 팔았고, 모든 손님이 최소 한 캔은 샀습니다. 그날 손님 한 명당 산 탄산음료 수의 중앙값이 가질 수 있는 최댓값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2.5

(B)

3.0

(C)

3.5

(D)

4.0

(E)

4.5

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 날 $100$ 명의 손님이 총 $252$ 캔의 음료를 샀고, 모든 손님이 적어도 $1$ 캔은 샀습니다. 손님별 캔 수를 작은 순서대로 늘어놓아 $c_1 \le c_2 \le \ldots \le c_{100}$ 이라 할 때, 중앙값(median) 은 $c_{50}$ 과 $c_{51}$ 의 평균입니다. 이 중앙값이 가질 수 있는 최댓값은 얼마일까요?

주어진 것: 손님 수는 $100$ 명이므로 정렬된 목록의 중앙값은 $\dfrac{c_{50} + c_{51}}{2}$; 총 판매 캔 수 $= 252$, 즉 $c_1 + c_2 + \cdots + c_{100} = 252$; 모든 손님은 최소 $1$ 캔을 샀음: 모든 $i$ 에 대해 $c_i \ge 1$; 선택지: (A) $2.5$, (B) $3.0$, (C) $3.5$, (D) $4.0$, (E) $4.5$

구하는 것: 중앙값 $\dfrac{c_{50} + c_{51}}{2}$ 의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$c_{50}, c_{51}$ 을 가능한 크게 만들고 싶지만 $252$ 캔이라는 예산은 $100$ 명이 함께 나눠 씁니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 질문을 뒤집습니다 — "중앙 두 명을 얼마나 크게?" 가 아니라 "나머지를 얼마나 작게?" 로 봅니다. 다른 사람에게서 아낀 캔이 곧 중앙 두 명에게 줄 수 있는 캔이기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 정렬된 목록을 세 덩어리 — 중앙 아래 $49$ 명, 중앙쌍 $(c_{50}, c_{51})$, 중앙 위 $49$ 명 — 으로 나눠 각각 다루게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 작은 버전(예: 손님 $6$ 명, 캔 $14$ 개)에서 같은 논리를 확인해 본 뒤 $100$ 명짜리에 적용하기 위한 검증용입니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

정렬된 목록을 세 덩어리로 나눕니다: 중앙 아래 "낮은" 손님 $49$ 명($c_1 \sim c_{49}$), 중앙쌍 ($c_{50}, c_{51}$), 중앙 위 "높은" 손님 $49$ 명($c_{52} \sim c_{100}$).
총합 $252$ 는 이 세 덩어리의 합입니다.

$$\underbrace{c_1 + \cdots + c_{49}}_{\text{낮은 49}} + \underbrace{c_{50} + c_{51}}_{\text{중앙쌍}} + \underbrace{c_{52} + \cdots + c_{100}}_{\text{높은 49}} = 252$$

💡 중앙값을 기준으로 자르는 것은 6학년 통계의 자연스러운 움직임 — 중앙값은 정렬된 위치로 정의되므로, "앞 / 중앙 / 뒤" 가 곧 작은 문제 분할입니다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 2

도구 #16 을 낮은 덩어리에 적용합니다.
중앙쌍에 가장 많은 캔을 남기려면 낮은 $49$ 명의 값을 최소화해야 합니다.
모든 $c_i \ge 1$ 이므로 각자에게 가능한 최소는 $1$, 따라서 낮은 덩어리의 합은 $49 \times 1 = 49$ 캔입니다.

$$c_1 = c_2 = \cdots = c_{49} = 1, \quad \text{합} = 49 \times 1 = 49$$

💡 "중앙을 키우려면 바닥을 규칙이 허락하는 만큼 낮추라" — 4학년 다단계 문장제 추론(허용된 최솟값 찾기 → 합 계산) 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

총합에서 낮은 덩어리를 빼서 중앙쌍 $+$ 높은 덩어리(총 $51$ 명) 에 남는 캔 수를 구합니다.

$$c_{50} + c_{51} + \cdots + c_{100} = 252 - 49 = 203$$

💡 낮은 덩어리를 확정한 뒤 남은 캔이 나머지 $51$ 명의 몫 — 분할에서 자연스럽게 나오는 뺄셈 한 단계입니다.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.B.6 단계 4

이번에는 도구 #16 을 "높은" 덩어리에 거꾸로 적용합니다.
정렬된 목록이므로 중앙 위 손님은 모두 $c_i \ge c_{51}$ 을 만족합니다.
$c_{51}$ 을 최대한 크게 유지하려면 높은 덩어리에 캔을 "낭비" 하지 말아야 하므로 $c_{52} = c_{53} = \cdots = c_{100} = c_{51}$ 로 둡니다.
결국 위쪽 $51$ 명이 $203$ 캔을 최대한 고르게 나눠 가지되, 필요하면 $c_{50}$ 만 하나 적게 가질 수 있습니다.

$$203 \div 51 = 3 \text{ 나머지 } 50, \quad \text{즉 } 203 = 50 \times 4 + 1 \times 3$$

💡 $203 \div 51$ 을 몫과 나머지로 나누는 것은 5학년 긴 나눗셈 — 몫 $3$, 나머지 $50$ 은 "$50$ 명이 한 캔씩 더 받는다" 는 뜻입니다.

#16 관점 바꾸기 6.SP.B.5 단계 5

캔을 나눕니다: 위쪽 $51$ 명 중 $50$ 명이 $4$ 캔, 나머지 $1$ 명이 $3$ 캔을 받습니다.
정렬 순서를 지키려면 $3$ 캔을 받는 한 명은 이 덩어리의 맨 앞, 즉 $c_{50}$ 에 와야 합니다.
그래서 $c_{50} = 3$, $c_{51} = c_{52} = \cdots = c_{100} = 4$.
점검: $c_{49} = 1 \le c_{50} = 3 \le c_{51} = 4$ — 정렬 조건 OK.

$$c_{50} = 3, \quad c_{51} = 4, \quad \text{중앙값} = \dfrac{3 + 4}{2} = 3.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 짝수 개수 자료의 중앙값을 가운데 두 값의 평균으로 계산하는 것은 6학년 통계의 핵심 표준입니다.

[1] #7 6.SP.B.5 정렬된 목록을 세 덩어리로 나눕니다: 중앙 아래 "낮은" 손님 $49$ 명($c_1 \sim c_{49}$), 중앙쌍 ($c_{50}, c_{5

[2] #16 4.OA.A.3 도구 #16 을 낮은 덩어리에 적용합니다. 중앙쌍에 가장 많은 캔을 남기려면 낮은 $49$ 명의 값을 최소화해야 합니다. 모든 $c_i \ge

[3] #7 4.OA.A.3 총합에서 낮은 덩어리를 빼서 중앙쌍 $+$ 높은 덩어리(총 $51$ 명) 에 남는 캔 수를 구합니다.

[4] #16 5.NBT.B.6 이번에는 도구 #16 을 "높은" 덩어리에 거꾸로 적용합니다. 정렬된 목록이므로 중앙 위 손님은 모두 $c_i \ge c_{51}$ 을 만족합니

[5] #16 6.SP.B.5 캔을 나눕니다: 위쪽 $51$ 명 중 $50$ 명이 $4$ 캔, 나머지 $1$ 명이 $3$ 캔을 받습니다. 정렬 순서를 지키려면 $3$ 캔을 받

검토

합리성 확인: 검산: 평균은 $252 / 100 = 2.52$ 입니다. 중앙값이 평균보다 커지려면 아래쪽을 짓누르고 위쪽을 평평하게 들어 올려야 하는데, 그게 우리가 한 일입니다. 낮은 $49$ 명을 $1$ 로 내리면 $49 \times 1.52 \approx 75$ 캔을 아껴서, 그 캔으로 위쪽 $51$ 명을 공평한 몫 $2.52$ 에서 거의 $4$ 까지 끌어올렸습니다. 위쪽 덩어리 평균 $203/51 \approx 3.98$ 보다 약간 아래인 중앙값 $3.5$ 는 자연스럽습니다. 더 위로 못 미는 이유: 만약 $c_{50} \ge 4$ 라면 위쪽 $51$ 명 합이 최소 $4 \times 51 = 204 > 203$ 이 되어 모순입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 작은 버전을 풀어 봅시다 — 손님 $6$ 명, 캔 $14$ 개, 각자 $\ge 1$, 중앙값($= c_3, c_4$ 의 평균) 의 최댓값. 아래 $2$ 명을 최소화: $c_1 = c_2 = 1$, 남은 $12$ 캔을 $4$ 명에게. $12 \div 4 = 3$ 으로 딱 나누어 떨어지므로 $c_3 = c_4 = c_5 = c_6 = 3$, 중앙값 $3$. 절차가 똑같습니다 — "바닥을 $1$ 로 낮추고, 나머지를 최대한 고르게" — 따라서 $100$ 명짜리 본 풀이의 전략이 옳다는 게 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 수치 자료 집합을 맥락과 함께 요약하기(중앙 경향성 포함) ($100$ 개 값의 중앙값을 $\dfrac{c_{50} + c_{51}}{2}$ 로 설정하고 최종 답 $\dfrac{3 + 4}{2} = 3.5$ 를 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 활용한 자연수 다단계 문장제 해결 (아래쪽 $49$ 명을 각각 $1$ 로 최소화(합 $= 49$) 한 뒤 총합에서 빼는 단계($252 - 49 = 203$).)
5.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수와 두 자리 제수의 자연수 몫 구하기 ($203 \div 51 = 3$ 나머지 $50$ 으로 남은 $203$ 캔을 $51$ 명에게 어떻게 나눌지 결정.)

⭐ 정렬된 줄의 한가운데를 최대한 크게 만들고 싶다면, 바닥은 규칙이 허락하는 만큼 낮춰 두세요 — 그렇게 아낀 자원이 곧 가운데를 끌어올릴 힘이 됩니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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