AMC 8 · 2014 · #5

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

rateunit-conversionmulti-digit-arithmetic dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticrate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

마지(Margie)의 차는 휘발유 $1$ 갤런으로 $32$ 마일을 갈 수 있고, 휘발유는 지금 갤런당 $\textdollar 4$ 입니다. 마지가 $\textdollar 20$ 어치 휘발유를 넣으면 몇 마일을 달릴 수 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

128

(C)

160

(D)

320

(E)

640

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마지(Margie)의 차는 휘발유 $1$ 갤런으로 $32$ 마일을 갈 수 있습니다. 휘발유는 갤런당 $\$4$ 입니다. 마지가 $\$20$ 어치 휘발유를 넣으면 몇 마일을 달릴 수 있을까요?

주어진 것: 연비 = 갤런당 $32$ 마일; 휘발유 가격 = 갤런당 $\$4$; 사용할 돈 = $\$20$; 선택지: (A) $64$, (B) $128$, (C) $160$, (D) $320$, (E) $640$ (마일)

구하는 것: $\$20$ 어치 휘발유로 달릴 수 있는 총 거리(마일)

이해

주어진 것: 연비 = 갤런당 $32$ 마일; 휘발유 가격 = 갤런당 $\$4$; 사용할 돈 = $\$20$; 선택지: (A) $64$, (B) $128$, (C) $160$, (D) $320$, (E) $640$ (마일)

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

"몇 마일?" 이라는 질문은 달러, 갤런, 마일 세 단위를 잇는 문제라, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 나눠 풉니다 — 먼저 $\$20$ 을 갤런으로 바꾸고, 그다음 갤런을 마일로 바꿉니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 각 단계에서 단위가 맞는지 점검해 줍니다: $\$ \div (\$/\text{갤런}) = \text{갤런}$, $\text{갤런} \times (\text{마일}/\text{갤런}) = \text{마일}$. 단위가 깔끔하게 약분되니 연산도 맞다는 확신이 섭니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.6 단계 1

작은 문제 1: $\$20$ 으로 몇 갤런을 살 수 있을지 구합니다. 한 갤런이 $\$4$ 이므로, 총금액을 갤런당 가격으로 나눕니다.

$\dfrac{\$20}{\$4/\text{갤런}} = 5 \text{ 갤런}$

💡 달러를 (달러/갤런) 으로 나누면 달러가 약분되고 갤런만 남습니다. 계산 자체($20 \div 4 = 5$)도 4학년 나눗셈입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 2

작은 문제 2: 그 $5$ 갤런을 마일로 바꿉니다.
차가 갤런당 $32$ 마일을 가니까, 갤런 수에 연비를 곱합니다.

$$5 \text{ 갤런} \times 32 \tfrac{\text{마일}}{\text{갤런}} = 160 \text{ 마일}$$

💡 두 번째 작은 문제는 첫 번째 답을 그대로 받아 씁니다. 갤런 $\times$ (마일/갤런) 에서 갤런이 약분되어 마일만 남고, 곱셈 자체는 4학년 곱셈 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

두 작은 문제 결과를 합치면 최종 답이 나옵니다.
$160$ 마일은 선택지 (C) 와 일치합니다.

$$160 \text{ 마일} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\$ \to \text{갤런} \to \text{마일}$ 전체 흐름은 단위율 문제입니다. 갤런당 $\$4$, 갤런당 $32$ 마일이면 $\$1$ 로 $8$ 마일을 갈 수 있고, $\$20 \times 8 = 160$ 입니다.

[1] #8 4.NBT.B.6 작은 문제 1: $\$20$ 으로 몇 갤런을 살 수 있을지 구합니다. 한 갤런이 $\$4$ 이므로, 총금액을 갤런당 가격으로 나눕니다.

[2] #7 4.NBT.B.5 작은 문제 2: 그 $5$ 갤런을 마일로 바꿉니다. 차가 갤런당 $32$ 마일을 가니까, 갤런 수에 연비를 곱합니다.

[3] #7 6.RP.A.3 두 작은 문제 결과를 합치면 최종 답이 나옵니다. $160$ 마일은 선택지 (C) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 간단히 점검해 봅시다. $\$1$ 은 $\tfrac{1}{4}$ 갤런을 사고, $\tfrac{1}{4}$ 갤런은 $\tfrac{32}{4} = 8$ 마일을 갑니다. 즉 $\$1 = 8$ 마일이므로 $\$20 = 20 \times 8 = 160$ 마일. 같은 답이 다른 방법으로도 나옵니다. 갤런당 $\$4$ 라는 가격에서 $\$20$ 으로 몇백 마일 가는 것도 현실적인 크기입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지에 직접 대입해 봅니다. 달러당 마일 수는 $32/4 = 8$ 이어야 하므로 총 거리는 $20 \times 8 = 160$. 다섯 선택지 중 (C) $160$ 만 맞고, (A) $64$ 는 달러당 $3.2$ 마일, (B) $128$ 은 달러당 $6.4$ 마일, (D) $320$ 은 달러당 $16$ 마일, (E) $640$ 은 달러당 $32$ 마일이 되어 모두 문제가 요구하는 "달러당 $8$ 마일" 과 어긋납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수와 한 자리 제수의 자연수 몫과 나머지 구하기 ($\$20$ 을 갤런당 $\$4$ 로 나누어 $5$ 갤런을 얻는 데 사용.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 자연수와 한 자리 자연수의 곱셈 ($5$ 갤런과 갤런당 $32$ 마일을 곱해 $160$ 마일을 얻는 데 사용.)
4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 (달러 → 갤런 → 마일로 이어지는 실생활 문장제 흐름을 한 번에 세우는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (두 비율(갤런당 $\$4$, 갤런당 $32$ 마일) 을 하나의 단위율(달러당 $8$ 마일) 로 묶어 $\$20$ 에 적용하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 나눗셈·곱셈에 6학년 "비율" 개념만 얹으면 풀려요 — 작은 문제 두 개로 쪼개기만 하면 답이 바로 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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