AMC 8 · 2014 · #8

학년 5 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

divisibility-rulesdigit-sumplace-value digit-constraintssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesplace-value

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

중학교 수학 동아리 회원 $11$ 명이 모임에 초청한 강연자에게 강연료로 같은 금액씩 나누어 냈습니다. 이들이 강연자에게 지불한 총액은 $\textdollar\underline{1} \underline{A} \underline{2}$ 였습니다. 이 $3$ 자리 수에서 빠진 숫자 $A$ 는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수학 동아리 회원 $11$ 명이 초청 강연자에게 각자 같은 금액(달러 단위 정수)을 내서 총 $\$\overline{1A2}$ 를 지불했습니다. 여기서 $A$ 는 한 자리 숫자입니다. $A$ 를 구하세요.

주어진 것: 회원 수 $= 11$ 명; 각 회원이 낸 금액은 모두 같음; 총 지불액 $= \$\overline{1A2}$, 즉 백의 자리 $1$, 십의 자리 $A$, 일의 자리 $2$ 인 $3$ 자리 수; $A$ 의 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 총액 조건을 만족하는 한 자리 숫자 $A$ ($0$ 부터 $9$ 사이)

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

$A$ 의 후보는 $0, 1, 2, 3, 4$ 다섯 개뿐이고, 따라서 가능한 총액도 $102, 112, 122, 132, 142$ 다섯 개로 제한됩니다. 후보가 작고 유한할 때 AMC 객관식 문제에서 가장 자연스러운 첫 수는 도구 #3(가능성 지우기) — 각 후보를 $11$ 로 나눠 떨어지지 않으면 지우면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 그 안에서 후보를 $11$ 로 직접 나눠 정수가 되는지를 확인하는 엔진 역할을 합니다. 대수도 $11$ 의 배수 판정법도 필요 없이, $5$ 학년이 이해할 수 있는 직접 계산만으로 가장 빠르게 답에 도달합니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 1

문장제를 수학 조건으로 옮깁니다.
"$11$ 명이 똑같이 나눠 내서 총 $\$\overline{1A2}$" 라는 말은, $\$\overline{1A2}$ 를 $11$ 등분했을 때 나머지가 없어야 한다는 뜻입니다.
즉 $\overline{1A2}$ 는 $11$ 의 배수여야 합니다.

$$\overline{1A2} = 11 \times (\text{한 사람이 낸 금액})$$

💡 "같은 금액 $\times$ 사람 수 $=$ 총액" 형태의 문장제를 알아보는 것은 4학년 다단계 문장제 표준입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 2

선택지마다 후보 총액을 하나씩 적어 다섯 개의 후보 목록을 만듭니다.
$A$ 에 $0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 대입한 결과입니다.

$$\{102,\ 112,\ 122,\ 132,\ 142\}$$

💡 후보를 먼저 모두 적어 두는 것은 "열린" 문제를 유한한 체크리스트로 바꾸는, 도구 #3 의 핵심 동작입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.5 단계 3

후보 범위 근처의 $11$ 의 배수를 직접 만들어 비교 대상을 확보합니다.
$11$ 을 차례로 곱하면 $11, 22, \ldots, 99, 110, 121, 132, 143$ 이고, 이 중에서 후보 집합 $\{102, 112, 122, 132, 142\}$ 에 들어가는 것은 $132$ 뿐입니다.

$$11 \times 10 = 110,\ \ 11 \times 11 = 121,\ \ 11 \times 12 = 132,\ \ 11 \times 13 = 143$$

💡 $11$ 단을 차근차근 만들어 보는 것은 4학년 여러 자리 곱셈이며, 일치하는 값이 눈에 바로 들어옵니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.6 단계 4

남은 후보 $132$ 를 $11$ 로 직접 나눠 정수로 나누어떨어지는지 확인합니다.

$$132 \div 11 = 12 \quad (\text{나머지 } 0)$$

💡 $3$ 자리 수를 $2$ 자리 수로 나누어 나머지 $0$ 을 확인하는 것은 5학년 나눗셈 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 5

맞아떨어지는 총액에서 십의 자리를 읽습니다.
총액이 $132$ 이므로 $A = 3$ 이고, 답은 $\textbf{(D)}$ 입니다.

$$\overline{1A2} = 132 \;\Rightarrow\; A = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 다섯 후보 중 넷이 지워지면 남은 하나가 정답 — 도구 #3 의 가장 순수한 마무리입니다.

[1] #3 4.OA.A.3 문장제를 수학 조건으로 옮깁니다. "$11$ 명이 똑같이 나눠 내서 총 $\$\overline{1A2}$" 라는 말은, $\$\overline{

[2] #3 4.OA.A.3 선택지마다 후보 총액을 하나씩 적어 다섯 개의 후보 목록을 만듭니다. $A$ 에 $0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 대입한 결과입니다.

[3] #6 4.NBT.B.5 후보 범위 근처의 $11$ 의 배수를 직접 만들어 비교 대상을 확보합니다. $11$ 을 차례로 곱하면 $11, 22, \ldots, 99, 11

[4] #6 5.NBT.B.6 남은 후보 $132$ 를 $11$ 로 직접 나눠 정수로 나누어떨어지는지 확인합니다.

[5] #3 4.OA.A.3 맞아떨어지는 총액에서 십의 자리를 읽습니다. 총액이 $132$ 이므로 $A = 3$ 이고, 답은 $\textbf{(D)}$ 입니다.

검토

합리성 확인: 한 사람이 $\$12$ 씩 냈고 $12 \times 11 = 132$ — 강연자 사례비로 자연스러운 금액이며 $A = 3$ 일 때 $\$\overline{1A2}$ 와 정확히 일치합니다. 나머지 후보들도 빠르게 지워집니다: $102 \div 11 \approx 9.27$, $112 \div 11 \approx 10.18$, $122 \div 11 \approx 11.09$, $142 \div 11 \approx 12.91$ 로 어느 것도 정수가 아닙니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 일의 자리만 봐도 됩니다. 이 범위의 $11$ 의 배수는 $110, 121, 132, 143$ 이고 일의 자리가 $0, 1, 2, 3$ 으로 한 칸씩 올라갑니다. 우리가 원하는 일의 자리는 $2$ 이므로 배수는 $132$ 로 강제되고 $A = 3$ 입니다. 더 위 학년이라면 $11$ 의 배수 판정법(번갈아 더하고 빼기) 도 가능합니다: $1 - A + 2 = 3 - A$ 가 $11$ 의 배수여야 하므로 한 자리 해는 $A = 3$ 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용하여 자연수에 관한 다단계 문장제 해결 ("$11$ 명이 같은 금액을 내서 총 $\$\overline{1A2}$" 라는 문장을 "$\overline{1A2}$ 는 $11$ 의 배수" 라는 조건으로 옮기고, 다섯 후보 총액을 나열하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 자연수와 한 자리 수의 곱셈, 두 자리 수끼리의 곱셈 ($11 \times 10 = 110$, $11 \times 11 = 121$, $11 \times 12 = 132$, $11 \times 13 = 143$ 와 같이 $11$ 단을 만들어 후보 범위 안의 $11$ 의 배수를 찾는 데 사용.)
5.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수, 두 자리 제수의 자연수 나눗셈 ($132 \div 11 = 12$, 나머지 $0$ 임을 확인하여 $11$ 명이 정수 금액으로 똑같이 나누어 낼 수 있음을 검증.)

⭐ 선택지가 다섯 개뿐이라면 배수 판정법 없이도 충분해요 — 하나씩 $11$ 로 직접 나눠 보면 끝. AMC $8$ 은 그런 5학년 나눗셈을 인정해 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

비슷한 유형 더 풀어보기