AMC 8 · 2015 · #19

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-trianglesarea-rectanglesfraction-arithmetic coordinate-geometryarea-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

세 꼭짓점이 $A=(1,3)$ , $B=(5,1)$ , $C=(4,4)$ 인 삼각형이 $6\times5$ 격자 위에 그려져 있습니다. 삼각형이 격자 전체에서 차지하는 부분은 몇 분의 몇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{6}$

(B)

$frac{1}{5}$

(C)

$frac{1}{4}$

(D)

$frac{1}{3}$

(E)

$frac{1}{2}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6 \times 5$ 격자 위에 꼭짓점이 $A=(1,3)$, $B=(5,1)$, $C=(4,4)$ 인 삼각형이 있습니다. 이 삼각형이 격자 전체에서 차지하는 넓이의 비율은 얼마일까요?

주어진 것: 격자 크기: 가로 $6$, 세로 $5$ — 격자 전체 넓이 $= 30$; 삼각형 꼭짓점 좌표: $A=(1,3)$, $B=(5,1)$, $C=(4,4)$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{1}{5}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{2}$

구하는 것: $\dfrac{\triangle ABC \text{의 넓이}}{6 \times 5 \text{ 격자의 넓이}}$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기), #7 작은 문제로 쪼개기

삼각형이 기울어져 있어 밑변·높이를 그림에서 바로 읽을 수 없습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 삼각형에 딱 맞는 가장 작은 축 정렬 직사각형(bounding rectangle)을 그려 두면, 그 안은 $\triangle ABC$ 와 모서리의 직각삼각형 $3$ 개로 깔끔히 나뉩니다. 그러면 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합으로 세기)이 자연스럽게 들어옵니다 — 기울어진 삼각형을 직접 구하는 대신, 쉬운 직각삼각형 $3$ 개를 구해서 빼면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 마지막 질문을 두 단계로 나눕니다 — 먼저 삼각형 넓이, 그다음 격자 넓이로 나눠 비율을 구합니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

최종 비율의 분모가 될 격자 전체 넓이를 먼저 구합니다.

$$\text{격자 넓이} = 6 \times 5 = 30$$

💡 격자를 하나의 직사각형으로 보고 넓이를 구하는 것은 3학년 "직사각형의 넓이" 그대로이고, 이를 별도 부분문제로 떼어 두는 것이 도구 #7의 핵심입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 2

삼각형을 감싸는 가장 작은 축 정렬 직사각형을 그립니다.
$A, B, C$ 의 $x$좌표는 $\{1, 5, 4\}$ 이므로 가로는 $5 - 1 = 4$, $y$좌표는 $\{3, 1, 4\}$ 이므로 세로는 $4 - 1 = 3$ 입니다.

$$\text{직사각형 넓이} = (5-1) \times (4-1) = 4 \times 3 = 12$$

💡 세 점을 좌표평면에 찍고 그 주위를 박스로 두르는 것은 6학년 좌표기하의 대표 동작 — 좌표를 이용해 가로·세로 변의 길이를 구합니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기) 5.G.A.2 단계 3

이 직사각형은 $\triangle ABC$ 와 모서리에 있는 직각삼각형 $3$ 개로 채워집니다.
$\triangle ABC$ 의 두 꼭짓점과 그 사이의 직사각형 모서리 한 점을 묶어 각각의 직각삼각형을 정의합니다.

$T_1: A(1,3), C(4,4), (1,4)$ \;\; $T_2: C(4,4), B(5,1), (5,4)$ \;\; $T_3: A(1,3), B(5,1), (1,1)$

💡 기울어진 삼각형 자체가 아니라 주위의 "쉬운" 직각삼각형으로 시선을 옮기는 것이 도구 #16의 핵심이고, 모서리 좌표를 좌표평면에서 직접 읽어 내는 것은 5학년 표준입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기) 6.G.A.1 단계 4

각 모서리 직각삼각형은 두 변이 수평·수직이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{변}\cdot\text{변}$ 으로 바로 구할 수 있습니다.

$T_1 = \tfrac{1}{2}(3)(1) = 1.5$ \;\; $T_2 = \tfrac{1}{2}(1)(3) = 1.5$ \;\; $T_3 = \tfrac{1}{2}(4)(2) = 4$ \;\Rightarrow\; T_1+T_2+T_3 = 7$

💡 기울어진 삼각형의 넓이를 "감싼 직사각형 $-$ 모서리 직각삼각형들" 로 분해해 구하는 것은 6학년 "좌표평면에서 다각형의 넓이" 표준 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기) 6.G.A.1 단계 5

직사각형 넓이에서 모서리 삼각형 세 개의 넓이를 빼면 $\triangle ABC$ 의 넓이가 나옵니다.

$$\text{Area}(\triangle ABC) = 12 - 7 = 5$$

💡 "전체 $-$ 여집합" 이 도구 #16과 좌표기하 넓이 기법의 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 6

삼각형 넓이를 격자 넓이로 나누어 분수를 만들고, 약분합니다.

$$\dfrac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{격자 넓이}} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 분자·분모를 $5$ 로 나누어 $\tfrac{1}{6}$ 로 만드는 것은 4학년 "동치분수" 표준입니다.

[1] #7 3.MD.C.7 최종 비율의 분모가 될 격자 전체 넓이를 먼저 구합니다.

[2] #1 6.G.A.3 삼각형을 감싸는 가장 작은 축 정렬 직사각형을 그립니다. $A, B, C$ 의 $x$좌표는 $\{1, 5, 4\}$ 이므로 가로는 $5 - 1

[3] #16 5.G.A.2 이 직사각형은 $\triangle ABC$ 와 모서리에 있는 직각삼각형 $3$ 개로 채워집니다. $\triangle ABC$ 의 두 꼭짓점과 그

[4] #16 6.G.A.1 각 모서리 직각삼각형은 두 변이 수평·수직이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{변}\cdot\text{변}$ 으로 바로 구할

[5] #16 6.G.A.1 직사각형 넓이에서 모서리 삼각형 세 개의 넓이를 빼면 $\triangle ABC$ 의 넓이가 나옵니다.

[6] #7 4.NF.A.1 삼각형 넓이를 격자 넓이로 나누어 분수를 만들고, 약분합니다.

검토

합리성 확인: 삼각형은 격자의 절반보다 분명히 작고 $0$ 은 아니므로, 답은 작지만 $0$ 은 아닌 분수여야 합니다. $30$ 의 $\tfrac{1}{6}$ 은 $5$ 로, 계산한 삼각형 넓이와 정확히 일치합니다. 또, 감싼 직사각형($12$) 은 격자의 $\tfrac{12}{30} = \tfrac{2}{5}$ 이고, 삼각형은 그 직사각형의 $\tfrac{5}{12}$ 를 차지하므로 $\tfrac{2}{5} \times \tfrac{5}{12} = \tfrac{1}{6}$ 으로 두 경로가 같은 답을 줍니다.

대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기)로 신발끈(Shoelace) 공식을 쓸 수도 있습니다: $\text{Area} = \tfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| = \tfrac{1}{2}|1(1-4) + 5(4-3) + 4(3-1)| = \tfrac{1}{2}|-3 + 5 + 8| = \tfrac{1}{2}(10) = 5$. 같은 넓이 $5$ 가 나오고, 분수도 $\tfrac{5}{30} = \tfrac{1}{6}$ 으로 (A) 가 다시 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 곱셈과 넓이의 관계 · 직사각형의 넓이 구하기 (격자 전체 넓이를 $6 \times 5 = 30$ 으로 계산 — 최종 분수의 분모.)
4.NF.A.1 동치분수의 의미와 인식 ($\tfrac{5}{30}$ 의 분자·분모를 $5$ 로 나누어 $\tfrac{1}{6}$ 로 약분.)
5.G.A.2 좌표평면 제1사분면에 점을 찍어 실생활·수학 문제 표현하기 (세 꼭짓점 $A(1,3)$, $B(5,1)$, $C(4,4)$ 를 좌표평면에 찍고 감싼 직사각형의 모서리 좌표를 읽어 내는 데 사용.)
6.G.A.3 좌표가 주어진 다각형 그리기 · 좌표로 변의 길이 구하기 (꼭짓점 좌표의 최대·최소로부터 감싼 직사각형의 가로 $5-1=4$, 세로 $4-1=3$ 을 결정.)
6.G.A.1 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해 다각형 넓이 구하기 (감싼 직사각형을 $\triangle ABC$ 와 모서리 직각삼각형 $3$ 개로 분해하고 $12 - (1.5 + 1.5 + 4) = 5$ 로 삼각형 넓이를 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — 기울어진 삼각형을 박스로 감싼 뒤 쉬운 모서리 삼각형을 빼고, 마지막에 분수를 약분하면 됩니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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