AMC 8 · 2015 · #20

학년 6 algebraarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-diophantinesystems-of-equationssystematic-enumeration systematic-enumerationconvert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

랄프(Ralph)는 가게에서 양말 $12$ 켤레를 사고 모두 $\$24$ 를 냈습니다. 산 양말 중 어떤 것은 한 켤레에 $\$1$ , 어떤 것은 한 켤레에 $\$3$ , 어떤 것은 한 켤레에 $\$4$ 였습니다. 세 종류 모두 적어도 한 켤레씩 샀다면, 랄프가 산 $\$1$ 짜리 양말은 몇 켤레일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 랄프는 양말 $12$ 켤레를 사서 총 $\$24$ 를 냈습니다. 한 켤레 가격은 $\$1$, $\$3$, $\$4$ 중 하나이고, 세 가격 모두 적어도 한 켤레씩 샀습니다. $\$1$ 짜리 양말은 몇 켤레 샀을까요?

주어진 것: 총 켤레 수 $= 12$; 총 비용 $= \$24$; 한 켤레 가격은 $\$1$, $\$3$, $\$4$ 중 하나; 세 가격 모두 적어도 한 켤레씩 샀음; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 랄프가 산 $\$1$ 짜리 양말의 켤레 수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

가격은 세 가지뿐이고 총 켤레 수도 $12$ 로 작아서 후보가 많지 않습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $\$4$ 켤레 수를 순서대로 늘려가며 가능한 $(y, z)$ 만 추려내면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 지름길을 줍니다 — 모든 $12$ 켤레가 $\$1$ 라면 총액은 $\$12$ 에 불과하므로, 비싼 양말로 바꿔서 $\$12$ 의 "추가 비용" 을 만들어 줘야 합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망입니다 — 선택지 A~E가 $\$1$ 켤레 수를 직접 주므로, 필요하면 후보를 하나씩 대입해 확인할 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.3 단계 1

"추가 비용" 아이디어를 세웁니다.
$12$ 켤레가 모두 $\$1$ 라면 총액은 $12 \times \$1 = \$12$. 실제 총액은 $\$24$ 이므로, 비싼 양말들이 $\$1$ 기준선 위로 $\$24 - \$12 = \$12$ 만큼의 추가 비용을 만들어 줘야 합니다.

$12 \times 1 = 12$, $\quad 24 - 12 = 12 \text{ 달러의 추가 비용 필요}$

💡 "모두 $\$1$ 이라면" 이라는 가짜 상황과 실제 총액을 비교하는 것이 도구 #9 의 동작입니다 — 세 가지 가격이 섞인 복잡한 문제를 머리로 더할 수 있는 문제로 바꿔 줍니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 2

비싼 양말이 추가하는 비용을 세립니다.
$\$3$ 한 켤레는 $\$1$ 보다 $\$2$ 비싸므로 추가 비용 $\$2$.
$\$4$ 한 켤레는 $\$1$ 보다 $\$3$ 비싸므로 추가 비용 $\$3$.
$y$ = $\$3$ 켤레 수, $z$ = $\$4$ 켤레 수라 하면 추가 비용 식은 $2y + 3z = 12$.

$$\underbrace{(3-1)}_{=2} y + \underbrace{(4-1)}_{=3} z = 12 \;\Rightarrow\; 2y + 3z = 12$$

💡 미지수 세 개·식 두 개에서 미지수 두 개·식 한 개로 줄이는 것은 4학년 다단계 문장제의 기본 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

$y \ge 1$, $z \ge 1$ 인 양의 정수 해 $(y, z)$ 를 $2y + 3z = 12$ 에서 빠짐없이 나열합니다.
$z = 1, 2, 3, \ldots$ 을 순서대로 대입하며 $y$ 가 양의 정수일 때만 남깁니다.

$$\begin{array}{c|c|c} z & 2y = 12 - 3z & y \\ \hline 1 & 9 & 4.5 \text{ (탈락: 정수 아님)} \\ 2 & 6 & 3 \text{ (채택)} \\ 3 & 3 & 1.5 \text{ (탈락: 정수 아님)} \\ 4 & 0 & 0 \text{ (탈락: } z\ge1, y\ge1 \text{ 위반)} \end{array}$$

💡 $z$ 를 작은 값부터 정해 두면 빠뜨리거나 중복 없이 모든 경우를 보게 됩니다 — 도구 #2 의 핵심이 바로 그것입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.3 단계 4

유일하게 살아남은 경우를 읽습니다 — $\$3$ 양말 $y = 3$ 켤레, $\$4$ 양말 $z = 2$ 켤레.
총 켤레 식으로 $\$1$ 양말 수 $x$ 를 구합니다.

$$x + y + z = 12 \;\Rightarrow\; x = 12 - 3 - 2 = 7$$

💡 세 개 중 두 개가 정해지면, 나머지는 총합 $12$ 에서 빼기만 하면 됩니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 5

정답 후보를 원래 문제의 조건(우리가 만든 식이 아니라)에 다시 대입해 확인합니다.

켤레 수: $7 + 3 + 2 = 12$ ✓ \quad 금액: $7(1) + 3(3) + 2(4) = 7 + 9 + 8 = 24$ ✓ \quad 각 가격 $\ge 1$ 켤레: $7, 3, 2 \ge 1$ ✓ \;\Rightarrow\; \textbf{(D)} \; 7$

💡 정답을 문제의 "말" 에 다시 끼워 보는 것이 도구 #3 의 마지막 점검 — 식 세울 때의 실수까지 잡아냅니다.

[1] #9 3.OA.A.3 "추가 비용" 아이디어를 세웁니다. $12$ 켤레가 모두 $\$1$ 라면 총액은 $12 \times \$1 = \$12$. 실제 총액은 $\$2

[2] #9 4.OA.A.3 비싼 양말이 추가하는 비용을 세립니다. $\$3$ 한 켤레는 $\$1$ 보다 $\$2$ 비싸므로 추가 비용 $\$2$. $\$4$ 한 켤레는 $

[3] #2 4.OA.A.3 $y \ge 1$, $z \ge 1$ 인 양의 정수 해 $(y, z)$ 를 $2y + 3z = 12$ 에서 빠짐없이 나열합니다. $z = 1,

[4] #2 3.OA.A.3 유일하게 살아남은 경우를 읽습니다 — $\$3$ 양말 $y = 3$ 켤레, $\$4$ 양말 $z = 2$ 켤레. 총 켤레 식으로 $\$1$ 양말

[5] #3 4.OA.A.3 정답 후보를 원래 문제의 조건(우리가 만든 식이 아니라)에 다시 대입해 확인합니다.

검토

합리성 확인: 한 켤레 평균 가격은 $\$24 \div 12 = \$2$ 로 가장 싼 $\$1$ 에 가깝고 $\$4$ 와는 멉니다. 즉 싼 양말이 가장 많아야 한다는 뜻이라, $\$1$ 켤레 수가 셋 중 최대여야 합니다 — 선택지 중 (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$ 만 그럴듯하고, 그 가운데 (D) $7$ 이 우리의 계산과 정확히 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 바로 대입해 봅시다. $x = 7$ 이면 $y + z = 5$, $3y + 4z = 24 - 7 = 17$. $3(y+z) = 15$ 를 빼면 $z = 2$, $y = 3$ — 모두 양의 정수라 (D) 성립. 반면 $x = 8$ 이면 $y + z = 4$, $3y + 4z = 16$ 에서 $z = 4$, $y = 0$ 이 나와 "각 가격 적어도 한 켤레" 조건을 어깁니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 활용한 문장제 해결 ("모두 $\$1$" 기준선($12 \times 1 = 12$)과 마지막 $\$1$ 켤레 수 계산($x = 12 - 3 - 2 = 7$) 에 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 정수 문장제 해결 (켤레 수·금액의 두 조건을 식 하나 $2y + 3z = 12$ 로 줄이고, 마지막에 $(7, 3, 2)$ 가 원래 두 총합을 모두 만족하는지 확인하는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 실제 상황의 식을 세우기 ($\$3$ 켤레 수를 $y$, $\$4$ 켤레 수를 $z$ 로 두고 각 가격이 추가하는 비용을 $2y + 3z$ 라는 식으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (양의 정수 범위에서 $2y + 3z = 12$ 를 풀어 유일한 해 $(y,z) = (3,2)$ 를 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 우리 도구함으로 풀 수 있어요 — 6학년 문장제·식 만들기 한 번에 작은 경우 나열만 더하면 답이 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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