AMC 8 · 2015 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

angle-sum-trianglearea-trianglesarea-rectanglesexponents identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglesangle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에서 육각형 $ABCDEF$ 는 등각이고, $ABJI$ 와 $FEHG$ 는 각각 넓이가 $18$ , $32$ 인 정사각형이며, $\triangle JBK$ 는 정삼각형이고 $FE=BC$ 입니다. $\triangle KBC$ 의 넓이는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6\sqrt{2}$

(B)

(C)

(D)

$9\sqrt{2}$

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 육각형 $ABCDEF$ 는 모든 내각이 같은 등각 육각형입니다. 변 $AB$ 위에는 넓이 $18$ 인 정사각형 $ABJI$, 변 $FE$ 위에는 넓이 $32$ 인 정사각형 $FEHG$ 가 붙어 있습니다. 첫 정사각형의 변 $JB$ 위에는 정삼각형 $\triangle JBK$ 가 새로 만들어졌고, $FE = BC$ 라는 조건이 주어집니다. $\triangle KBC$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 육각형 $ABCDEF$ 는 등각 육각형; 정사각형 $ABJI$ 의 넓이 $= 18$ 이므로 $AB = JB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$; 정사각형 $FEHG$ 의 넓이 $= 32$ 이므로 $FE = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$; $\triangle JBK$ 는 정삼각형이므로 $BK = JB = 3\sqrt{2}$; $FE = BC$ 이므로 $BC = 4\sqrt{2}$; 선택지: (A) $6\sqrt{2}$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $9\sqrt{2}$, (E) $32$

구하는 것: $\triangle KBC$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

$\triangle KBC$ 의 넓이를 구하려면 두 변 $BK$, $BC$ 의 길이와 그 사이 각 $\angle KBC$ 가 필요합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 으로 문제를 세 개의 작은 질문 — (1) 정사각형 넓이에서 $BC$ 와 $BK$ 찾기, (2) $B$ 주변 네 각의 합 $360^\circ$ 에서 $\angle KBC$ 찾기, (3) 삼각형 넓이 공식 적용 — 로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 역할로, $B$ 주변의 네 각을 그림에 표시해 두면 합이 정확히 $360^\circ$ 라는 점이 한눈에 보이고, 나머지 셋을 빼서 $\angle KBC$ 가 자연스럽게 나옵니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 1

정사각형의 넓이에서 두 변의 길이를 구합니다.
정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 $BC = FE = \sqrt{32}$, $BK = JB = AB = \sqrt{18}$.
각 근호를 가장 큰 완전제곱 인수로 정리해 줍니다.

$$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}, \quad BK = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$$

💡 넓이가 $A$ 인 정사각형의 한 변은 $\sqrt{A}$ — 8학년 제곱근 개념입니다. $32$ 에서 $16$, $18$ 에서 $9$ 라는 완전제곱을 꺼내면 깔끔한 $\sqrt{2}$ 가 남아서 나중에 정리됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

등각 육각형의 내각을 구합니다.
육각형의 내각 합은 $(6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$ 이고, 등각이므로 여섯 각이 모두 같아 각각 $720^\circ / 6 = 120^\circ$.
따라서 $\angle ABC = 120^\circ$.

$$\angle ABC = \dfrac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \dfrac{720^\circ}{6} = 120^\circ$$

💡 내각 공식 $(n-2) \cdot 180^\circ / n$ 은 어떤 등각 다각형의 한 각이든 같은 방식으로 구할 수 있습니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 3

이미 알고 있는 도형으로부터 $B$ 주변의 다른 두 각을 읽어 냅니다.
정사각형 $ABJI$ 에서 $\angle JBA = 90^\circ$, 정삼각형 $\triangle JBK$ 에서 $\angle KBJ = 60^\circ$.

$$\angle JBA = 90^\circ, \quad \angle KBJ = 60^\circ$$

💡 정사각형의 모서리 각은 항상 $90^\circ$, 정삼각형의 모서리 각은 항상 $60^\circ$ — 4학년 도형 분류 표준의 기본 사실입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 4

$B$ 주변의 네 각 $\angle ABC$, $\angle JBA$, $\angle KBJ$, $\angle KBC$ 는 빈틈도 겹침도 없이 한 점을 둘러싸므로 합이 $360^\circ$.
이를 풀어 $\angle KBC$ 를 구합니다.

$$120^\circ + 90^\circ + 60^\circ + \angle KBC = 360^\circ \;\Rightarrow\; \angle KBC = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$$

💡 한 점 주위 각의 합은 항상 $360^\circ$. 빼기 한 번으로 빠진 각이 나오고, 여기서는 정확히 $90^\circ$ 라서 $\triangle KBC$ 가 $B$ 에서 직각인 직각삼각형이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

$\angle KBC = 90^\circ$ 이므로 $BK$ 와 $BC$ 가 직각을 낀 두 변(직각변) 입니다.
넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot \text{직각변}_1 \cdot \text{직각변}_2$ 공식을 씁니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot BK \cdot BC = \tfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\sqrt{2}$ 두 개가 곱해져서 $2$ 가 되며 근호가 사라지고, 깔끔한 정수 답이 나옵니다.

[1] #7 8.EE.A.2 정사각형의 넓이에서 두 변의 길이를 구합니다. 정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 $BC = FE = \sqrt{32}$, $BK = JB

[2] #7 8.G.A.5 등각 육각형의 내각을 구합니다. 육각형의 내각 합은 $(6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$ 이고, 등각이므로 여섯 각이

[3] #1 4.G.A.2 이미 알고 있는 도형으로부터 $B$ 주변의 다른 두 각을 읽어 냅니다. 정사각형 $ABJI$ 에서 $\angle JBA = 90^\circ$,

[4] #7 7.G.B.5 $B$ 주변의 네 각 $\angle ABC$, $\angle JBA$, $\angle KBJ$, $\angle KBC$ 는 빈틈도 겹침도 없이

[5] #7 6.G.A.1 $\angle KBC = 90^\circ$ 이므로 $BK$ 와 $BC$ 가 직각을 낀 두 변(직각변) 입니다. 넓이 $= \tfrac{1}{2}

검토

합리성 확인: 두 정사각형의 넓이 $18$ 과 $32$ 의 비는 약 $1 : 1.78$ 이고, 두 직각변 $3\sqrt{2}$ 와 $4\sqrt{2}$ 의 비는 $3 : 4$ 로 자연스럽습니다. 직각변이 $3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}$ 인 직각삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}(3\sqrt{2})(4\sqrt{2}) = 12$ 로, 두 정사각형 넓이 $18, 32$ 사이에 들어가 시각적으로도 일치합니다. 선택지 중 근호가 없는 깔끔한 정수는 $(C)\;12$ 뿐이고, 이는 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ 로 근호가 사라지는 구조와도 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 빠르게 좁힐 수 있습니다. $\triangle KBC$ 의 두 변에 모두 $\sqrt{2}$ 가 들어가니 곱은 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ 로 유리수 — 따라서 근호가 남은 $(A)\;6\sqrt{2}$ 와 $(D)\;9\sqrt{2}$ 는 즉시 탈락. $(E)\;32$ 는 큰 정사각형과 같은 넓이라 불가능. 남은 $(B)\;9$ 와 $(C)\;12$ 중, 두 변 $3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}$ 와 직각이 결합하면 $\tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 = 12$ — 정답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행선·수직선·특정 크기의 각의 존재 여부로 이차원 도형을 분류 (정사각형 $ABJI$ 의 모서리에서 $\angle JBA = 90^\circ$, 정삼각형 $\triangle JBK$ 의 모서리에서 $\angle KBJ = 60^\circ$ 를 바로 읽어 내는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형, 일반 삼각형, 특수 사각형의 넓이 구하기 (직각삼각형 $\triangle KBC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot BK \cdot BC = \tfrac{1}{2}(3\sqrt{2})(4\sqrt{2}) = 12$ 로 계산.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·이웃각 등의 각 관계를 활용한 문제 해결 (한 점 $B$ 주위의 이웃한 네 각의 합이 $360^\circ$ 라는 사실로 $120^\circ + 90^\circ + 60^\circ + \angle KBC = 360^\circ$ 를 풀어 $\angle KBC = 90^\circ$ 를 얻음.)
8.G.A.5 다각형의 내각 합에 관한 비형식적 논증 (등각 육각형의 한 내각을 $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$ 로 유도하여 $\angle ABC = 120^\circ$ 를 얻음.)
8.EE.A.2 $x^2 = p$ 형태의 해를 제곱근 기호로 표현하고 작은 완전제곱의 제곱근을 계산 (정사각형 넓이 $32$ 와 $18$ 에서 변의 길이를 $BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $BK = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ 로 복원.)

⭐ 복잡한 그림은 작게 쪼개세요 — 정사각형 넓이에서 변의 길이를, 한 점 주위 $360^\circ$ 에서 빠진 각을, 마지막으로 깔끔한 직각삼각형 넓이 공식을 차례대로 적용하면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

비슷한 유형 더 풀어보기