AMC 8 · 2015 · #22
학년 6 number-theory문제
6월 1일에 한 무리의 학생들이 각 줄에 15명씩 줄을 서 있습니다. 6월 2일에는 같은 무리의 학생 모두가 한 줄로 길게 서 있습니다. 6월 3일에는 각 줄에 학생이 한 명씩만 서 있습니다. 6월 4일에는 각 줄에 6명씩 서 있습니다. 이런 식으로 6월 12일까지 매일 한 줄에 서는 학생 수를 다르게 정해서 섭니다. 그런데 6월 13일에는 더 이상 새로운 방법을 찾을 수 없었습니다. 이 무리의 학생 수로 가능한 가장 작은 값은 얼마일까요?
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 무리의 학생들이 모든 줄에 같은 인원으로 늘어섭니다. 6월 1일에는 한 줄에 $15$ 명, 6월 2일에는 모두 한 줄로(긴 한 줄로) 늘어서고, 6월 3일에는 한 줄에 $1$ 명, 6월 4일에는 한 줄에 $6$ 명입니다. 6월 12일까지 매일 *새로운* 인원 수로 줄을 짤 수 있었지만, 6월 13일에는 더 이상 새 방식을 찾지 못합니다. 학생 수가 될 수 있는 가장 작은 값은 얼마일까요?
주어진 것: 한 줄에 $k$ 명씩 세우는 배치는 $k$ 가 학생 수 $N$ 의 약수일 때만 가능; 반드시 가능한 배치: 한 줄에 $15$ 명, $N$ 명(모두 한 줄), $1$ 명, $6$ 명; 6월 1일부터 12일까지 $12$ 개의 서로 다른 $k$ 값이 가능 — $N$ 의 약수가 최소 $12$ 개; 6월 13일에는 새 값이 없음 — $N$ 의 약수가 최대 $12$ 개; 선택지: (A) $21$, (B) $30$, (C) $60$, (D) $90$, (E) $1080$
구하는 것: 학생 수 $N$ 의 가능한 가장 작은 값
이해
문제 재정리: 한 무리의 학생들이 모든 줄에 같은 인원으로 늘어섭니다. 6월 1일에는 한 줄에 $15$ 명, 6월 2일에는 모두 한 줄로(긴 한 줄로) 늘어서고, 6월 3일에는 한 줄에 $1$ 명, 6월 4일에는 한 줄에 $6$ 명입니다. 6월 12일까지 매일 *새로운* 인원 수로 줄을 짤 수 있었지만, 6월 13일에는 더 이상 새 방식을 찾지 못합니다. 학생 수가 될 수 있는 가장 작은 값은 얼마일까요?
주어진 것: 한 줄에 $k$ 명씩 세우는 배치는 $k$ 가 학생 수 $N$ 의 약수일 때만 가능; 반드시 가능한 배치: 한 줄에 $15$ 명, $N$ 명(모두 한 줄), $1$ 명, $6$ 명; 6월 1일부터 12일까지 $12$ 개의 서로 다른 $k$ 값이 가능 — $N$ 의 약수가 최소 $12$ 개; 6월 13일에는 새 값이 없음 — $N$ 의 약수가 최대 $12$ 개; 선택지: (A) $21$, (B) $30$, (C) $60$, (D) $90$, (E) $1080$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
매일의 배치는 $N$ 의 약수 하나에 대응하므로, "$12$ 일은 되지만 $13$ 일째는 안 된다" 는 곧 $N$ 의 약수가 정확히 $12$ 개라는 조건입니다. 이렇게 조건이 한 줄로 정리되면 다음은 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 선택지를 걸러 내면 됩니다 — 약수 조건($15 \mid N$, $6 \mid N$, 즉 $30 \mid N$) 을 어기는 것, 그리고 약수 개수가 $12$ 가 아닌 것을 차례로 지웁니다. 약수 개수는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 후보별 약수를 작은 것부터 차례로 짝지어 적고 세면 빠뜨림 없이 확인할 수 있습니다. 작은 선택지부터 차례로 검사하면 두 조건을 모두 통과하는 첫 후보가 답입니다.
실행 — 정답: C
4.OA.B.4 단계 1 - 문제를 약수 언어로 옮깁니다.
- "한 줄에 $k$ 명씩 $r$ 줄" 은 $N = r \times k$ 이므로 $k$ 는 반드시 $N$ 의 *약수* 입니다.
- 따라서 매일 가능한 배치의 가짓수는 $N$ 의 양의 약수의 개수와 같습니다.
💡 직사각형 배열은 곱셈 짝(factor pair) 과 같다 — 4학년 "약수·배수" 개념 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 약수 개수를 정확히 읽어냅니다.
- $12$ 일 동안($6$월 $1$~$12$일) 새 배치를 찾았고 $13$일째에는 더 이상 없으므로, $N$ 의 양의 약수는 더도 덜도 아닌 정확히 $12$ 개입니다.
💡 "$12$ 개는 되고 $13$번째는 안 된다" 는 약수 개수를 가장 직접적으로 알려 주는 단서입니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 약수 조건을 어기는 선택지를 지웁니다.
- $15$ 와 $6$ 이 모두 약수이므로 $\operatorname{lcm}(15, 6) = 30$ 이 $N$ 을 나눠야 합니다.
- (A) $21$ 은 $30$ 의 배수가 아닙니다($15$ 의 배수도 아닙니다).
- 지웁니다.
- 남는 후보는 $30, 60, 90, 1080$.
💡 최소공배수(lcm) 는 두 개의 약수 조건을 하나로 합치는 6학년 방식입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - (B) $30$ 을 검사합니다.
- 작은 약수와 그 짝을 차례로 적습니다: $1 \cdot 30, 2 \cdot 15, 3 \cdot 10, 5 \cdot 6$.
💡 $k$ 와 $N / k$ 를 짝지어 가는 것이 약수를 빠뜨림 없이 나열하는 방법입니다.
4.OA.B.4 단계 5 (C) $60$ 을 같은 방식으로 검사합니다: $1 \cdot 60, 2 \cdot 30, 3 \cdot 20, 4 \cdot 15, 5 \cdot 12, 6 \cdot 10$.
💡 곱셈 짝이 $6$ 쌍 $\Rightarrow$ 약수가 정확히 $12$ 개 — $15$ 와 $6$ 도 모두 목록 안에 있습니다.
4.OA.B.4 단계 6 $60$ 은 두 조건을 모두 통과하고 $90$, $1080$ 보다 작으므로 최소 후보입니다.
💡 작은 쪽부터 차례로 검사하다가 처음 통과한 후보가 곧 최솟값입니다.
4.OA.B.4 문제를 약수 언어로 옮깁니다. "한 줄에 $k$ 명씩 $r$ 줄" 은 $N = r \times k$ 이므로 $k$ 는 반드시 $N$ 의 *약수* 4.OA.B.4 약수 개수를 정확히 읽어냅니다. $12$ 일 동안($6$월 $1$~$12$일) 새 배치를 찾았고 $13$일째에는 더 이상 없으므로, $N$ 의 6.NS.B.4 약수 조건을 어기는 선택지를 지웁니다. $15$ 와 $6$ 이 모두 약수이므로 $\operatorname{lcm}(15, 6) = 30$ 이 $ 4.OA.B.4 (B) $30$ 을 검사합니다. 작은 약수와 그 짝을 차례로 적습니다: $1 \cdot 30, 2 \cdot 15, 3 \cdot 10, 5 \ 4.OA.B.4 (C) $60$ 을 같은 방식으로 검사합니다: $1 \cdot 60, 2 \cdot 30, 3 \cdot 20, 4 \cdot 15, 5 \cd 4.OA.B.4 $60$ 은 두 조건을 모두 통과하고 $90$, $1080$ 보다 작으므로 최소 후보입니다. 검토
합리성 확인: $60$ 이 모든 단서와 맞는지 다시 확인합니다. $60 / 15 = 4$ 줄($6$월 $1$일 ✓), $60 / 1 = 60$ 줄($6$월 $2$일 ✓), $60 / 60 = 1$ 줄($6$월 $3$일 ✓), $60 / 6 = 10$ 줄($6$월 $4$일 ✓). 약수 목록 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$ 의 크기는 정확히 $12$ 이므로 $6$월 $1$~$12$일은 매일 새 배치를 얻고 $13$일에는 더 이상 남은 값이 없습니다. 조건이 모두 성립합니다.
대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기 — 여기서는 소인수의 *지수* 라는 단위) 로는 공식 한 줄로 끝납니다. $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots$ 이면 약수 개수는 $d(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots$. $d(N) = 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ 이고 $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ 가 $N$ 을 나눠야 하므로, 가장 작은 적합은 $N = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 60$, 즉 $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$. 같은 답 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4자연수의 모든 곱셈 짝(약수 짝) 찾기, 배수·약수 이해 (줄 배치를 $N$ 의 약수와 연결하고, $30$ 의 약수 $8$ 개와 $60$ 의 약수 $12$ 개를 곱셈 짝으로 빠짐없이 나열하는 데 사용.)6.NS.B.4두 자연수의 최대공약수(GCF)와 최소공배수(LCM) 구하기 ($15 \mid N$ 과 $6 \mid N$ 이라는 두 약수 조건을 $\operatorname{lcm}(15, 6) = 30 \mid N$ 하나로 합쳐 (A) $21$ 을 제외하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 약수·배수 추론만 알면 풀 수 있어요 — "줄" 을 약수로 옮기고, 선택지를 차례로 검사하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 약수·배수 추론만 알면 풀 수 있어요 — "줄" 을 약수로 옮기고, 선택지를 차례로 검사하면 끝!
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