AMC 8 · 2015 · #23
학년 6 logicarithmetic문제
톰(Tom)은 종이쪽지 12장을 가지고 있고, 이를 A, B, C, D, E라고 이름 붙인 다섯 개의 컵에 나누어 담으려고 합니다. 톰은 각 컵에 담긴 쪽지들에 적힌 수의 합이 모두 정수이기를 바라고, 그 다섯 개의 정수가 A부터 E까지 차례로 1씩 커지는 연속된 정수이기를 바랍니다. 종이쪽지에 적힌 수는 2,2,2,2.5,2.5,3,3,3,3,3.5,4, 그리고 4.5입니다. 2가 적힌 쪽지 한 장이 컵 E에 들어가고 3이 적힌 쪽지 한 장이 컵 B에 들어간다면, 3.5가 적힌 쪽지는 어느 컵에 들어가야 할까요?
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 톰은 $2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5$ 가 적힌 종이 $12$ 장을 $A, B, C, D, E$ 다섯 컵에 나누어 담으려고 합니다. 각 컵에 담긴 종이 숫자들의 합은 정수여야 하고, 다섯 합은 $A$ 부터 $E$ 까지 증가하는 연속된 정수여야 합니다. 이미 $2$ 한 장이 컵 $E$ 에, $3$ 한 장이 컵 $B$ 에 들어 있습니다. $3.5$ 는 어느 컵에 들어가야 할까요?
주어진 것: 종이 묶음: $2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5$ (총 $12$ 장); 각 컵의 합은 정수여야 함; 다섯 컵의 합은 $A$ 부터 $E$ 까지 증가하는 연속된 정수; $2$ 한 장은 이미 컵 $E$ 에, $3$ 한 장은 이미 컵 $B$ 에 있음; 선택지: (A) $A$, (B) $B$, (C) $C$, (D) $D$, (E) $E$
구하는 것: $3.5$ 가 적힌 종이가 들어가야 하는 컵 ($A, B, C, D, E$ 중 하나)
이해
문제 재정리: 톰은 $2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5$ 가 적힌 종이 $12$ 장을 $A, B, C, D, E$ 다섯 컵에 나누어 담으려고 합니다. 각 컵에 담긴 종이 숫자들의 합은 정수여야 하고, 다섯 합은 $A$ 부터 $E$ 까지 증가하는 연속된 정수여야 합니다. 이미 $2$ 한 장이 컵 $E$ 에, $3$ 한 장이 컵 $B$ 에 들어 있습니다. $3.5$ 는 어느 컵에 들어가야 할까요?
주어진 것: 종이 묶음: $2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5$ (총 $12$ 장); 각 컵의 합은 정수여야 함; 다섯 컵의 합은 $A$ 부터 $E$ 까지 증가하는 연속된 정수; $2$ 한 장은 이미 컵 $E$ 에, $3$ 한 장은 이미 컵 $B$ 에 있음; 선택지: (A) $A$, (B) $B$, (C) $C$, (D) $D$, (E) $E$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
모든 배치를 한꺼번에 뒤지지 말고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계로 잘라 풉니다 — (1) 종이 전체 합을 구하고, (2) 그 합으로부터 다섯 컵의 목표 합을 확정한 뒤, (3) $3.5$ 가 어느 컵에 들어갈 수 있는지 따집니다. 다섯 컵 목표가 정해지면 세 번째 단계는 도구 #3(가능성 지우기) 의 전형 — 각 컵에 $3.5$ 를 넣어 보고, 남은 종이로 목표 합을 만들 수 없는 컵을 차례로 지웁니다. 이미 고정된 종이($E$ 의 $2$, $B$ 의 $3$)와 $.5$ 짜리 종이의 짝수 규칙이 대부분의 후보를 쳐 줍니다.
실행 — 정답: D
5.NBT.B.7 단계 1 - $12$ 장의 종이 값을 모두 더해 총합을 구합니다.
- 같은 값끼리 먼저 묶으면, $2$ 가 세 장 = $6$, $2.5$ 가 두 장 = $5$, $3$ 이 네 장 = $12$, 그리고 $3.5$, $4$, $4.5$ 가 각 한 장씩 있습니다.
💡 같은 값끼리 묶어 더하는 것은 총합을 흐트리지 않게 지켜 주는 5학년 소수 연산 방식입니다.
6.EE.B.7 단계 2 - "합이 $35$ 인 연속된 다섯 정수" 를 각 컵의 목표로 바꿉니다.
- 연속된 다섯 정수의 평균은 한가운데 값과 같으므로, 가운데 정수는 $35 \div 5 = 7$ 입니다.
- 따라서 다섯 합은 $5, 6, 7, 8, 9$ — 컵 $A = 5$, $B = 6$, $C = 7$, $D = 8$, $E = 9$ 입니다.
💡 평균을 이용해 연속된 정수를 복원하는 것은 $n+(n+1)+\dots+(n+4)=35$ 같은 식을 빠르게 푸는 6학년 방정식 추론입니다.
5.NBT.B.7 단계 3 - $3.5$ 를 컵 $A$ (목표 $5$) 에 넣어 봅니다.
- 컵 $A$ 의 나머지 종이들 합은 $5 - 3.5 = 1.5$ 가 되어야 합니다.
- 남은 종이 중 가장 작은 값이 $2$ 이므로, 어떤 부분집합도 $1.5$ 를 만들 수 없습니다.
- 컵 $A$ 는 탈락.
💡 필요한 나머지 합과 남은 종이의 최솟값을 비교하는 것이 가장 빠르게 후보 컵을 죽이는 방법입니다.
5.NBT.B.7 단계 4 - $3.5$ 를 컵 $B$ (목표 $6$) 에 넣어 봅니다.
- 컵 $B$ 에는 이미 $3$ 이 있으므로 $3.5$ 를 더하면 진행 합이 $6.5$ 가 되어 목표 $6$ 을 이미 초과합니다.
- 컵 $B$ 는 탈락.
💡 부분 합이 이미 목표를 넘으면 종이를 더 넣어도 살릴 수 없습니다 — 종이를 더할수록 합은 커지기만 하니까요.
5.NBT.B.7 단계 5 - $3.5$ 를 컵 $C$ (목표 $7$) 에 넣어 봅니다.
- 컵 $C$ 의 나머지 합은 $7 - 3.5 = 3.5$ 가 되어야 합니다.
- 합을 반정수(0.5 단위) 로 만들려면 $.5$ 짜리 종이가 정확히 한 장 필요한데, $2.5$ 한 장으로는 $2.5$ 밖에 안 되고, $2.5$ 에 다른 종이를 더해 $3.5$ 가 되려면 $3.5 - 2.5 = 1$ 짜리가 있어야 하지만 그런 종이는 없습니다.
- 컵 $C$ 는 탈락.
💡 반정수 합을 맞추려면 $.5$ 짜리 종이가 홀수 장 필요합니다 — 가능한 $.5$ 조합을 따져 보면 후보가 빠르게 줄어듭니다.
5.NBT.B.7 단계 6 - $3.5$ 를 컵 $E$ (목표 $9$) 에 넣어 봅니다.
- 컵 $E$ 에는 이미 $2$ 가 있으므로 $E$ 의 나머지 종이들은 $9 - 2 - 3.5 = 3.5$ 를 만들어야 합니다.
- 이는 방금 컵 $C$ 에서 불가능하다고 확인한 것과 같은 요구라서 컵 $E$ 도 탈락.
💡 방금 막혔던 나머지 합이 또 나오면 같은 논리로 한 번에 지울 수 있어 두 번 검사할 필요가 없습니다.
5.NBT.B.7 단계 7 - 남은 후보는 컵 $D$ (목표 $8$) 뿐.
- 확인해 봅니다: $8 - 3.5 = 4.5$, 그리고 $4.5$ 짜리 종이가 마침 정확히 한 장 있습니다.
- $\{3.5, 4.5\}$ 를 컵 $D$ 에 함께 넣으면 목표 합 $8$ 이 정확히 만들어집니다.
- 따라서 $3.5$ 는 컵 $D$ 에 들어가야 합니다.
💡 지우고 나서 유일하게 살아남은 선택지가 답이며 — 빠른 존재 확인으로 실제로 성립함을 한 번 더 확인합니다.
5.NBT.B.7 $12$ 장의 종이 값을 모두 더해 총합을 구합니다. 같은 값끼리 먼저 묶으면, $2$ 가 세 장 = $6$, $2.5$ 가 두 장 = $5$, 6.EE.B.7 "합이 $35$ 인 연속된 다섯 정수" 를 각 컵의 목표로 바꿉니다. 연속된 다섯 정수의 평균은 한가운데 값과 같으므로, 가운데 정수는 $35 5.NBT.B.7 $3.5$ 를 컵 $A$ (목표 $5$) 에 넣어 봅니다. 컵 $A$ 의 나머지 종이들 합은 $5 - 3.5 = 1.5$ 가 되어야 합니다. 남 5.NBT.B.7 $3.5$ 를 컵 $B$ (목표 $6$) 에 넣어 봅니다. 컵 $B$ 에는 이미 $3$ 이 있으므로 $3.5$ 를 더하면 진행 합이 $6.5$ 5.NBT.B.7 $3.5$ 를 컵 $C$ (목표 $7$) 에 넣어 봅니다. 컵 $C$ 의 나머지 합은 $7 - 3.5 = 3.5$ 가 되어야 합니다. 합을 반정 5.NBT.B.7 $3.5$ 를 컵 $E$ (목표 $9$) 에 넣어 봅니다. 컵 $E$ 에는 이미 $2$ 가 있으므로 $E$ 의 나머지 종이들은 $9 - 2 - 5.NBT.B.7 남은 후보는 컵 $D$ (목표 $8$) 뿐. 확인해 봅니다: $8 - 3.5 = 4.5$, 그리고 $4.5$ 짜리 종이가 마침 정확히 한 장 있 검토
합리성 확인: 컵 $D = \{3.5, 4.5\}$ 가 의미하는 전체 배치가 정말 들어맞는지 확인합니다. 남은 종이: $2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 4$ (그리고 컵 $E$ 의 고정 $2$, 컵 $B$ 의 고정 $3$). 컵 $A=5$: $\{2, 3\}$. 컵 $B=6$: 이미 $3$ 이 있고 $3$ 을 더해 $6$. 컵 $C=7$: $\{2.5, 2.5, 2\}=7$. 컵 $E=9$: 이미 $2$ 가 있고 $3$ 과 $4$ 를 더해 $9$. 모든 종이가 쓰였고 모든 합이 목표와 일치합니다. (D) 와 일관됩니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 짝수 짝짓기) 로 푸는 길도 있습니다. $.5$ 짜리 종이는 $2.5, 2.5, 3.5$ 로 단 세 장. 모든 컵의 합이 정수가 되려면 각 컵이 받는 $.5$ 짜리 종이의 수가 짝수($0$ 포함) 여야 하는데, 세 장은 (한 컵에 두 장 + 다른 컵에 한 장) 또는 (한 컵에 세 장) 으로만 나뉠 수 있습니다. 세 장을 한 컵에 몰면 그 컵의 $.5$ 기여만 $2.5+2.5+3.5=8.5$ 라 어떤 컵의 목표($5$~$9$) 와도 맞지 않습니다. 따라서 두 장이 한 컵, 한 장이 다른 컵으로 가야 하고, 이를 컵 목표와 맞추면 외톨이 $3.5$ 가 컵 $D$ 에서 $4.5$ 와 짝지어지는 배치만 살아남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 ($12$ 장 종이 값을 더해 총합 $35$ 를 구하고, 각 컵의 나머지 요구치($7 - 3.5 = 3.5$, $8 - 3.5 = 4.5$ 등) 를 소수 뺄셈으로 계산하는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$ 또는 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 푸는 실생활 문제 해결 ($n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 35$ 를 세우고 $5n + 10 = 35$ 에서 $n = 5$ 를 구해 컵 목표 $5, 6, 7, 8, 9$ 를 얻는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 활용한 다단계 문장제 해결(나머지 해석 포함) (컵 $A, B, C, E$ 를 차례로 따져 탈락시키는 케이스 분석 — 각 케이스가 목표 합에 맞춰지는지 검사하는 작은 다단계 산술 점검입니다.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 컵 합을 구하는 6학년 방정식 추론과 꼼꼼한 가능성 지우기만 있으면 풀려요 — 둘 다 이미 배운 도구입니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 컵 합을 구하는 6학년 방정식 추론과 꼼꼼한 가능성 지우기만 있으면 풀려요 — 둘 다 이미 배운 도구입니다!
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