AMC 8 · 2015 · #5
학년 6 arithmetic문제
빌리(Billy)의 농구팀이 시즌의 첫 11경기에서 다음과 같이 점수를 얻었습니다. 만약 12번째 경기에서 40점을 얻는다면, 다음 통계량 중 값이 증가하는 것은 무엇일까요?
42,47,53,53,58,58,58,61,64,65,73
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 빌리네 농구팀이 $11$ 경기에서 $42, 47, 53, 53, 58, 58, 58, 61, 64, 65, 73$ 점을 얻었습니다. $12$ 번째 경기에서 $40$ 점을 추가했을 때, 다섯 통계량 — 범위(range), 중앙값(median), 평균(mean), 최빈값(mode), 중간범위(mid-range) — 중 $12$ 경기 데이터에서 값이 더 커지는 것은 어떤 것인가요?
주어진 것: 원래 $11$ 점수(오름차순): $42, 47, 53, 53, 58, 58, 58, 61, 64, 65, 73$; 새로 추가된 $12$ 번째 점수: $40$; 선택지: (A) 범위, (B) 중앙값, (C) 평균, (D) 최빈값, (E) 중간범위
구하는 것: $40$ 을 추가했을 때 값이 엄격히 증가하는 통계량 하나
이해
문제 재정리: 빌리네 농구팀이 $11$ 경기에서 $42, 47, 53, 53, 58, 58, 58, 61, 64, 65, 73$ 점을 얻었습니다. $12$ 번째 경기에서 $40$ 점을 추가했을 때, 다섯 통계량 — 범위(range), 중앙값(median), 평균(mean), 최빈값(mode), 중간범위(mid-range) — 중 $12$ 경기 데이터에서 값이 더 커지는 것은 어떤 것인가요?
주어진 것: 원래 $11$ 점수(오름차순): $42, 47, 53, 53, 58, 58, 58, 61, 64, 65, 73$; 새로 추가된 $12$ 번째 점수: $40$; 선택지: (A) 범위, (B) 중앙값, (C) 평균, (D) 최빈값, (E) 중간범위
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
다섯 가지 통계량 중 "증가하는 것" 을 찾는 전형적인 도구 #3(가능성 지우기) 문제입니다 — 각 통계량을 추가 전과 후로 계산해, 변하지 않거나 줄어든 것은 후보에서 지워냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 다섯 통계량을 각각 공식이 분명한 작은 문제로 떼어내어 계산을 깔끔하게 정리해 줍니다. 시작 전부터 두 가지 구조적 사실로 부담을 절반으로 줄일 수 있어요 — $40$ 은 새 최솟값이라 최솟값에 의존하는 양만 영향을 받고, $40$ 은 기존 평균보다 작아 평균을 끌어내립니다. 따라서 평균과 중간범위는 감소가 거의 확정이고, 남는 유력 후보는 범위입니다.
실행 — 정답: A
6.SP.B.5 단계 1 - **범위**(최댓값 $-$ 최솟값)부터 확인.
- 최댓값은 $73$ 그대로, 최솟값은 $42$ 에서 $40$ 으로 내려가므로 범위는 커집니다.
💡 새 최솟값이 기존 최솟값보다 작으면 데이터의 흩어진 폭은 늘어날 수밖에 없습니다.
6.SP.B.5 단계 2 - **중앙값** 확인.
- $11$ 개일 때는 $6$ 번째 값이 중앙값, $12$ 개일 때는 $6$ 번째와 $7$ 번째의 평균이 중앙값입니다.
- $40$ 이 맨 앞에 들어오면 기존 값들은 한 칸씩 뒤로 밀립니다.
💡 $58$ 이 세 번 등장하며 중앙을 감싸고 있어, 중앙값은 $58$ 에 고정됩니다.
5.NBT.B.7 단계 3 - **평균** 확인.
- $11$ 점수의 합에 $40$ 을 더한 뒤 새 평균을 계산합니다.
💡 기존 평균보다 작은 값을 더하면 평균은 반드시 내려갑니다.
6.SP.B.5 단계 4 - **최빈값**(가장 자주 나오는 값) 확인.
- 점수 $58$ 은 이미 $3$ 번 등장하고, $40$ 은 한 번만 등장합니다.
💡 이미 $3$ 회로 단독 선두인 값은 새 점수 한 개로는 자리를 빼앗기지 않습니다.
6.SP.B.5 단계 5 - **중간범위** ($\tfrac{\max + \min}{2}$) 확인.
- 최댓값은 $73$ 그대로, 최솟값은 $40$ 으로 내려갑니다.
💡 두 극값의 평균인 중간범위는, 최솟값만 내려가면 함께 내려갑니다.
6.SP.B.5 단계 6 - 증가하지 않은 네 선택지를 지웁니다.
- 중앙값·최빈값은 변화 없음, 평균·중간범위는 감소.
- 증가한 것은 오직 **범위**.
💡 도구 #3 의 결론 — 다섯 후보 중 넷이 지워지면 남는 하나가 정답입니다.
6.SP.B.5 **범위**(최댓값 $-$ 최솟값)부터 확인. 최댓값은 $73$ 그대로, 최솟값은 $42$ 에서 $40$ 으로 내려가므로 범위는 커집니다. 6.SP.B.5 **중앙값** 확인. $11$ 개일 때는 $6$ 번째 값이 중앙값, $12$ 개일 때는 $6$ 번째와 $7$ 번째의 평균이 중앙값입니다. $40 5.NBT.B.7 **평균** 확인. $11$ 점수의 합에 $40$ 을 더한 뒤 새 평균을 계산합니다. 6.SP.B.5 **최빈값**(가장 자주 나오는 값) 확인. 점수 $58$ 은 이미 $3$ 번 등장하고, $40$ 은 한 번만 등장합니다. 6.SP.B.5 **중간범위** ($\tfrac{\max + \min}{2}$) 확인. 최댓값은 $73$ 그대로, 최솟값은 $40$ 으로 내려갑니다. 6.SP.B.5 증가하지 않은 네 선택지를 지웁니다. 중앙값·최빈값은 변화 없음, 평균·중간범위는 감소. 증가한 것은 오직 **범위**. 검토
합리성 확인: 두 가지 구조적 확인으로 답을 검증할 수 있어요. (1) 새 점수 $40$ 은 새 최솟값이고, 최솟값에 영향을 받는 통계량은 범위와 중간범위뿐입니다. 그중 범위 $= \max - \min$ 은 최솟값이 내려가면 **커지고**, 중간범위 $= \tfrac{\max + \min}{2}$ 는 최솟값이 내려가면 **작아지므로** 증가가 가능한 것은 범위뿐입니다. (2) 평균은 감소(새 값이 기존 평균보다 작음), 중앙값과 최빈값은 세 개의 $58$ 에 묶여 있으므로, 남는 후보는 자연스럽게 범위입니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 다섯 개를 다 계산하는 대신, 기존 모든 점수보다 작은 값을 추가했을 때 어떤 통계량이 *증가할 수 있는가* 부터 묻습니다. 중앙값은 유지되거나 감소만 가능합니다. 평균은 반드시 감소합니다. 최빈값은 기존 우세 값을 유지합니다(새 값이 빈도 $3$ 이상이 되어야 바뀌는데 $40$ 은 한 번뿐). 중간범위는 최솟값이 내려가므로 감소합니다. 그러면 증가 가능성이 있는 통계량은 범위뿐이고, $33 > 31$ 계산으로 확정됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.B.5수치 데이터 집합을 요약·기술하기 (대푯값과 변산도) ($11$ 개와 $12$ 개 데이터의 범위, 중앙값, 최빈값, 중간범위를 각각 계산·비교해 어느 통계량이 증가했는지 판별.)5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (기존 평균 $\tfrac{632}{11} \approx 57.45$ 와 새 평균 $\tfrac{672}{12} = 56$ 의 소수 계산과 비교.)6.SP.A.3대푯값은 데이터를 하나의 수로 요약하고, 변산도는 데이터의 흩어진 정도를 나타낸다는 점 이해 (각 통계량의 역할(평균·중앙값·최빈값은 중심, 범위·중간범위는 흩어짐·극값)을 구분해, 새로운 낮은 점수가 들어왔을 때 각 값의 증감 방향을 미리 가늠하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 평균·중앙값·최빈값·범위·중간범위 감만 있으면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 평균·중앙값·최빈값·범위·중간범위 감만 있으면 풀 수 있어요!
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