AMC 8 · 2015 · #7

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparitysystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticparity

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문제

두 개의 상자에 각각 $1$ , $2$ , $3$ 이 쓰인 칩 세 개가 들어 있습니다. 각 상자에서 칩을 하나씩 무작위로 뽑아 두 칩에 쓰인 수를 곱합니다. 그 곱이 짝수가 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{9}$

(B)

$frac{2}{9}$

(C)

$frac{4}{9}$

(D)

$frac{1}{2}$

(E)

$frac{5}{9}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1, 2, 3$ 이 적힌 칩 세 장이 들어 있는 상자가 두 개 있습니다. 각 상자에서 칩을 무작위로 한 장씩 뽑아 두 수를 곱합니다. 그 곱이 짝수일 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 1번 상자의 칩: $\{1, 2, 3\}$; 2번 상자의 칩: $\{1, 2, 3\}$; 각 상자에서 칩 한 장씩을 독립적으로, 같은 확률로 뽑음; 뽑은 두 수를 곱함; 선택지: (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $\tfrac{2}{9}$, (C) $\tfrac{4}{9}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{5}{9}$

구하는 것: 뽑은 두 수의 곱이 짝수일 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합 세기), #3 가능성 지우기

전체 경우가 $3 \times 3 = 9$ 가지뿐이라 모든 순서쌍을 직접 적을 수 있는 크기 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔합니다. "곱이 짝수" 라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기) 의 전형적 트리거입니다 — 짝수 경우는 여러 가지지만 "곱이 홀수" 이려면 두 수 모두 홀수여야 해서 $2 \times 2 = 4$ 가지뿐이거든요. 다섯 경우를 더하는 대신 $1 - \tfrac{4}{9}$ 로 끝냅니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 검산용 — 다섯 선택지 중 $9$ 분의 수로 표현 가능한 답은 하나뿐입니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

곱셈 원리로 전체 경우의 수를 셉니다.
1번 상자에서 $3$ 가지, 2번 상자에서 $3$ 가지를 고를 수 있으니, 같은 확률로 나오는 순서쌍 $(a, b)$ 는 $3 \times 3 = 9$ 개입니다.

$$3 \times 3 = 9 \text{ 가지}$$

💡 $(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), \ldots, (3,3)$ 처럼 행 순서로 적으면 빠지지도, 겹치지도 않게 $9$ 가지가 모두 나옵니다 — 도구 #2 의 핵심입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 3.OA.B.5 단계 2

홀짝 규칙을 적용합니다.
$a \times b$ 가 짝수가 아니려면 $a$ 와 $b$ 가 모두 홀수여야 합니다.
그래서 짝수 경우를 직접 세는 대신, 더 간단한 여집합 — 두 수가 모두 홀수인 경우 — 를 세기로 합니다.

$$a \times b \text{ 가 홀수} \iff a \text{ 가 홀수 AND } b \text{ 가 홀수}$$

💡 짝수와 곱하면 무조건 짝수가 되니, 곱이 홀수로 남으려면 두 수 모두 짝수가 아니어야 합니다. 이 한 가지 관찰이 다섯 경우의 문제를 한 경우의 문제로 줄여 줍니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

홀수 곱이 되는 경우를 나열합니다.
각 상자의 홀수 칩은 $\{1, 3\}$ 이라 1번 상자에서 $2$ 가지, 2번 상자에서 $2$ 가지 — 홀수 순서쌍은 $(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)$ 의 네 개입니다.

$$2 \times 2 = 4 \text{ 가지 (홀수 곱)}$$

💡 직접 적어 두면 "정확히 네 개, 더도 덜도 없음" 이 눈에 보입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 7.SP.C.8 단계 4

전체에서 빼면 짝수 곱의 경우를 얻습니다.
전체 $9$ 가지에서 홀수 $4$ 가지를 빼면 $9 - 4 = 5$ 가지 — 즉 $(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)$ 가 짝수 곱입니다.

$$9 - 4 = 5 \text{ 가지 (짝수 곱)}$$

💡 여집합 세기: 전체 $-$ 원치 않는 것 $=$ 원하는 것. 짝수 곱 다섯 경우를 처음부터 일일이 따지지 않아도 됩니다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 5

확률은 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 입니다.
같은 확률의 $9$ 가지 중 짝수 곱이 $5$ 가지이므로 확률은 $\tfrac{5}{9}$ — 선택지 (E) 와 일치합니다.

$$P(\text{곱이 짝수}) = \dfrac{5}{9} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 다섯 선택지 중 $9$ 가지 중 $5$ 가지를 자연스럽게 나타내는 분수는 $\tfrac{5}{9}$ 뿐 — 나머지는 모두 탈락합니다.

[1] #2 7.SP.C.8 곱셈 원리로 전체 경우의 수를 셉니다. 1번 상자에서 $3$ 가지, 2번 상자에서 $3$ 가지를 고를 수 있으니, 같은 확률로 나오는 순서쌍 $

[2] #16 3.OA.B.5 홀짝 규칙을 적용합니다. $a \times b$ 가 짝수가 아니려면 $a$ 와 $b$ 가 모두 홀수여야 합니다. 그래서 짝수 경우를 직접 세는

[3] #2 7.SP.C.8 홀수 곱이 되는 경우를 나열합니다. 각 상자의 홀수 칩은 $\{1, 3\}$ 이라 1번 상자에서 $2$ 가지, 2번 상자에서 $2$ 가지 — 홀

[4] #16 7.SP.C.8 전체에서 빼면 짝수 곱의 경우를 얻습니다. 전체 $9$ 가지에서 홀수 $4$ 가지를 빼면 $9 - 4 = 5$ 가지 — 즉 $(1,2), (2,

[5] #3 7.SP.C.7 확률은 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 입니다. 같은 확률의 $9$ 가지 중 짝수 곱이 $5$ 가지이므로 확률은 $\tfrac{5}{9}

검토

합리성 확인: 답의 크기를 검산합니다. 어느 상자에서든 $2$ 가 뽑히는 순간 곱은 강제로 짝수가 되는데, 그 경우만 해도 꽤 많습니다. 1번 상자에서 $2$ 가 나올 확률은 $\tfrac{1}{3}$, 2번 상자에서도 $\tfrac{1}{3}$ 이므로 $P(\text{적어도 한 번 } 2) = 1 - \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{2}{3} = 1 - \tfrac{4}{9} = \tfrac{5}{9}$. 같은 답 $\tfrac{5}{9}$ 가 독립적으로 확인되며, 더 작은 (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $\tfrac{2}{9}$, (C) $\tfrac{4}{9}$ 와 대칭적으로 그럴듯해 보이는 (D) $\tfrac{1}{2}$ 는 모두 배제됩니다.

대안 접근: 여집합 없이 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 만 써도 풀립니다 — $9$ 가지 순서쌍의 곱이 짝수(E)인지 홀수(O)인지 표시하기만 하면 됩니다. 짝수 곱: $(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)$ — 다섯 개, 그래서 $P = \tfrac{5}{9}$. 같은 답이지만 살짝 더 일을 합니다. $3 \times 3$ 정도면 빠르지만, 상자가 더 커지면 여집합(도구 #16) 이 훨씬 효율적이게 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.B.5 곱셈·나눗셈 전략으로 연산의 성질 적용 (두 수 중 하나라도 짝수면 곱이 짝수가 된다는 홀짝 규칙을 이용해, 곱이 홀수가 되는 경우는 두 수 모두 홀수일 때뿐임을 도출.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 사건의 확률 계산 ($9$ 가지 순서쌍을 같은 확률의 결과로 보고, $P(\text{곱이 짝수}) = \tfrac{\text{유리한 경우}}{\text{전체}} = \tfrac{5}{9}$ 를 계산.)
7.SP.C.8 체계적 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (두 번의 독립적인 뽑기에서 나오는 $3 \times 3 = 9$ 가지 결과를 빠짐없이 나열하고, 그중 홀수 곱이 되는 $4$ 가지를 셈.)

⭐ "곱이 짝수" 라는 문제가 나오면 거꾸로 "곱이 홀수" 인 경우를 세 보세요 — 두 수 모두 홀수인 한 경우만 따지면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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