AMC 8 · 2016 · #11
학년 6 algebranumber-theory문제
다음 성질을 만족하는 두 자리 자연수의 개수를 구하세요: 그 수와, 그 수의 자릿수를 뒤집어 얻은 수를 더하면 합이 132 가 됩니다.
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 자리 수 $N$ 에 대해, $N$ 과 $N$ 의 자리수를 뒤집은 수를 더한 값이 $132$ 가 되는 $N$ 이 몇 개인지 세는 문제입니다.
주어진 것: $N$ 은 두 자리 수이므로 십의 자리는 $1$~$9$, 일의 자리는 $0$~$9$; 자리수를 뒤집으면 두 자리 숫자 기호가 서로 바뀐 새 수가 나옴; $N + (N \text{의 자리수 뒤집은 수}) = 132$; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $12$
구하는 것: 조건을 만족하는 두 자리 수 $N$ 의 개수
이해
문제 재정리: 두 자리 수 $N$ 에 대해, $N$ 과 $N$ 의 자리수를 뒤집은 수를 더한 값이 $132$ 가 되는 $N$ 이 몇 개인지 세는 문제입니다.
주어진 것: $N$ 은 두 자리 수이므로 십의 자리는 $1$~$9$, 일의 자리는 $0$~$9$; 자리수를 뒤집으면 두 자리 숫자 기호가 서로 바뀐 새 수가 나옴; $N + (N \text{의 자리수 뒤집은 수}) = 132$; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $12$
계획
주요 도구: #5 변수 사용하기
보조 도구: #13 체계적으로 작업하기
조건이 "자리수" 에 대한 진술이므로, 도구 #5(변수 사용하기) 로 십의 자리를 $t$, 일의 자리를 $u$ 라 두고 $N = 10t + u$ 로 자릿값 표현을 만들면 좋습니다. $N$ 과 뒤집은 수 $10u + t$ 를 더하면 $11(t+u) = 132$ 가 깔끔하게 나오고, 이를 정리하면 $t + u = 12$ 가 됩니다. 조건이 두 자리 숫자에 대한 한 식으로 줄면 도구 #13(체계적으로 작업하기) 이 나설 차례 — $t + u = 12$, $1 \le t \le 9$, $0 \le u \le 9$ 를 만족하는 $(t, u)$ 를 모두 적고 살아남는 개수를 셉니다.
실행 — 정답: B
4.NBT.A.1 단계 1 - 두 자리 수를 변수로 자릿값에 맞게 표현합니다.
- 십의 자리를 $t$, 일의 자리를 $u$ 라 하면 원래 수는 $10t + u$, 자리수를 뒤집은 수는 $10u + t$ 입니다.
💡 자릿값(4학년) 개념 — 십의 자리 숫자는 자기 값의 $10$ 배만큼, 일의 자리 숫자는 자기 값만큼 기여합니다.
6.EE.A.2 단계 2 - 문장 조건을 식으로 옮깁니다.
- 원래 수와 뒤집은 수의 합이 $132$ 이므로 두 자릿값 표현을 더합니다.
💡 문장 조건을 대수 방정식으로 옮기는 것은 6학년 "식과 방정식" 활동입니다.
6.EE.A.3 단계 3 좌변의 동류항을 묶은 뒤 양변을 $11$ 로 나눠 $t + u$ 만 남깁니다.
💡 $11t + 11u$ 를 $11(t+u)$ 로 묶는 것은 분배법칙 — 6학년 "동치인 식 만들기" 그대로입니다.
6.EE.B.5 단계 4 - 자리수 제약을 적용합니다.
- 십의 자리 $t$ 는 $1$~$9$, 일의 자리 $u$ 는 $0$~$9$ 여야 하므로, $t$ 를 $1$ 부터 $9$ 까지 대입해 $u = 12 - t$ 가 유효한 한 자리 숫자가 되는 경우만 남깁니다.
💡 후보 $t$ 값을 $t + u = 12$ 에 대입해 자리수 범위 안인지 확인하는 것은 6학년 "어떤 값이 식을 참으로 만드는가" 개념입니다.
4.OA.C.5 단계 5 - 유효한 $(t, u)$ 쌍의 개수를 셉니다.
- 각 쌍은 두 자리 수 $N = 10t + u$ 하나에 대응합니다.
💡 만들어진 목록의 원소 수를 세는 것은 4학년 "패턴 분석" 마무리 단계입니다.
4.NBT.A.1 두 자리 수를 변수로 자릿값에 맞게 표현합니다. 십의 자리를 $t$, 일의 자리를 $u$ 라 하면 원래 수는 $10t + u$, 자리수를 뒤집은 6.EE.A.2 문장 조건을 식으로 옮깁니다. 원래 수와 뒤집은 수의 합이 $132$ 이므로 두 자릿값 표현을 더합니다. 6.EE.A.3 좌변의 동류항을 묶은 뒤 양변을 $11$ 로 나눠 $t + u$ 만 남깁니다. 6.EE.B.5 자리수 제약을 적용합니다. 십의 자리 $t$ 는 $1$~$9$, 일의 자리 $u$ 는 $0$~$9$ 여야 하므로, $t$ 를 $1$ 부터 $9$ 4.OA.C.5 유효한 $(t, u)$ 쌍의 개수를 셉니다. 각 쌍은 두 자리 수 $N = 10t + u$ 하나에 대응합니다. 검토
합리성 확인: 샘플 검증: $39 + 93 = 132$. 통과. 다른 수: $66 + 66 = 132$. 통과. 유효한 십의 자리 $t$ 는 $3$ 부터 $9$ 까지로, $9 - 3 + 1 = 7$ 개 — 위 개수와 일치합니다. 또 뒤집은 수 목록 $\{93, 84, 75, 66, 57, 48, 39\}$ 은 원래 목록을 단순히 뒤집은 것이라, 빠진 수도 중복된 수도 없습니다 (우리는 $N$ 의 십의 자리 $t$ 로 분류했기 때문).
대안 접근: 도구 #15(대칭성 찾기): 자리수 뒤집기는 $\overline{tu}$ 와 $\overline{ut}$ 를 쌍으로 묶고, 두 수의 합이 $132$ 인 것은 정확히 $t + u = 12$ 일 때입니다. 따로 식을 세우지 않아도 "자리수 합이 $12$ 인 두 자리 수" 만 적으면 됩니다 — $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$. 십의 자리가 $3$ 보다 작으면 일의 자리가 $9$ 를 넘기 때문에 $t$ 는 $3$~$9$ 만 가능합니다. 총 $7$ 개, 정답 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.A.1여러 자리 정수에서 한 자리 숫자가 오른쪽 자리 숫자의 $10$ 배 값을 나타냄을 이해 (두 자리 수 $N$ 을 자릿값 표현 $10t + u$ 로, 뒤집은 수를 $10u + t$ 로 쓰는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 분석 (생성된 패턴 $\{39, 48, 57, 66, 75, 84, 93\}$ 을 나열하고 원소가 $7$ 개임을 확인.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 ("원래 수 $+$ 자리수 뒤집은 수 $= 132$" 라는 문장을 $(10t + u) + (10u + t) = 132$ 라는 대수 방정식으로 옮기는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($11t + 11u$ 를 $11(t + u)$ 로 묶고 양변을 $11$ 로 나눠 $t + u = 12$ 로 단순화.)6.EE.B.5방정식을 푼다는 것이 정해진 집합에서 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 답하는 과정임을 이해 (각 후보 자리수 $t \in \{1, 2, \dots, 9\}$ 에 대해 $u = 12 - t$ 가 자리수 조건을 만족하는지 확인하는 데 사용.)
⭐ 두 자리 수를 $10t + u$ 로 적는 순간 이 문제는 6학년 방정식 $t + u = 12$ 로 바뀌어요 — 그 뒤엔 조건에 맞는 자리수 쌍만 적으면 끝!
⭐ 두 자리 수를 $10t + u$ 로 적는 순간 이 문제는 6학년 방정식 $t + u = 12$ 로 바뀌어요 — 그 뒤엔 조건에 맞는 자리수 쌍만 적으면 끝!
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