AMC 8 · 2016 · #13

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

집합 $\{ - 2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ 에서 서로 다른 두 수를 무작위로 골라 곱합니다. 곱이 $0$ 이 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$dfrac{1}{6}$

(B)

$dfrac{1}{5}$

(C)

$dfrac{1}{4}$

(D)

$dfrac{1}{3}$

(E)

$dfrac{1}{2}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 집합 $\{-2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ 에서 서로 다른 두 수를 무작위로 골라 곱했을 때, 그 곱이 $0$ 이 될 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 집합은 서로 다른 $6$ 개의 수 $\{-2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ 로 이루어짐; 이 중에서 서로 다른 두 수를 무작위로 선택; 선택한 두 수를 곱함; 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{1}{5}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{2}$

구하는 것: 선택한 두 수의 곱이 $0$ 이 될 확률

이해

문제 재정리: 집합 $\{-2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ 에서 서로 다른 두 수를 무작위로 골라 곱했을 때, 그 곱이 $0$ 이 될 확률은 얼마일까요?

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)

집합이 $6$ 개뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모든 쌍을 직접 적을 수 있습니다 — 공식 없이도 유리한 쌍과 전체 쌍을 손으로 셀 수 있죠. 그리고 곱이 $0$ 이 되는 조건은 매우 단순합니다: 쌍 안에 $0$ 이 들어 있을 때입니다. ($0$ 에 무엇을 곱해도 $0$ 이고, 나머지 수들끼리는 절대 $0$ 을 만들지 못합니다.) 도구 #16(여집합 세기)은 "$0$ 이 뽑히지 $\textit{않}$ 을 확률" 을 구해서 $1$ 에서 빼는 방식으로 답을 한 줄에 확인하게 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

집합에서 서로 다른 두 수를 고른 모든 (순서 없는) 쌍을 나열합니다.
같은 쌍을 두 번 세지 않도록 "앞 수를 기준으로 뒤에 오는 수와만 짝짓기" 라는 고정된 순서로 적습니다.

$\{-2,-1\}, \{-2,0\}, \{-2,3\}, \{-2,4\}, \{-2,5\},$ $\{-1,0\}, \{-1,3\}, \{-1,4\}, \{-1,5\},$ $\{0,3\}, \{0,4\}, \{0,5\},$ $\{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}$

💡 "작은 수부터 적고, 짝은 그 뒤의 수에서만 고른다" 라는 고정 순서로 적는 것은 7학년 "조직적인 목록으로 표본 공간 구성하기" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

나열한 쌍의 개수를 직접 셉니다 — 이것이 표본 공간의 크기입니다.

$$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \text{ 쌍}$$

💡 이 나이대에서는 $\binom{6}{2}$ 공식을 기억해 내는 것보다 화면의 목록을 그대로 세는 편이 더 빠르고 안전합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.B.5 단계 3

유리한 쌍 — 곱이 $0$ 인 쌍 — 을 골라 표시합니다.
곱이 $0$ 이 되려면 적어도 한 인수가 $0$ 이어야 하는데, 집합 안에 $0$ 은 하나뿐이므로 유리한 쌍은 모두 "$0$ 을 포함한 쌍" 입니다.

$$\{-2,0\}, \{-1,0\}, \{0,3\}, \{0,4\}, \{0,5\} \;\Rightarrow\; 5 \text{ 쌍}$$

💡 "$0$ 에 어떤 수를 곱해도 $0$" 이라는 곱셈의 영(零)의 성질은 3학년 성질이고, 그것을 목록에 적용하면 $0$ 이 들어간 쌍만 남습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 4

유리한 쌍의 수를 전체 쌍의 수로 나눠 확률을 구하고, 분수를 약분합니다.

$$P(\text{곱} = 0) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 모든 쌍이 똑같이 나올 확률을 갖는다고 보면 확률 $=$ (유리한 결과 수) $/$ (전체 결과 수) 인 7학년 균등확률 모형입니다.

[1] #2 7.SP.C.8 집합에서 서로 다른 두 수를 고른 모든 (순서 없는) 쌍을 나열합니다. 같은 쌍을 두 번 세지 않도록 "앞 수를 기준으로 뒤에 오는 수와만 짝짓

[2] #2 7.SP.C.8 나열한 쌍의 개수를 직접 셉니다 — 이것이 표본 공간의 크기입니다.

[3] #2 3.OA.B.5 유리한 쌍 — 곱이 $0$ 인 쌍 — 을 골라 표시합니다. 곱이 $0$ 이 되려면 적어도 한 인수가 $0$ 이어야 하는데, 집합 안에 $0$ 은

[4] #2 7.SP.C.7 유리한 쌍의 수를 전체 쌍의 수로 나눠 확률을 구하고, 분수를 약분합니다.

검토

합리성 확인: 수가 $6$ 개고 그중 $0$ 은 단 하나입니다. $6$ 개에서 $2$ 개를 뽑을 때 특별한 수 $0$ 이 뽑힐 확률은 $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ — 정확히 (D). $0$ 이 여섯 중 하나이니 두 개를 뽑으면 약 $\tfrac{1}{3}$ 확률로 등장한다는 것이 직관과도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(여집합 세기): $P(\text{곱}=0) = 1 - P(\text{두 수 모두 } 0\text{ 이 아님})$. $0$ 을 뺀 나머지 $5$ 개 수 중 $2$ 개를 고르는 쌍은 $\binom{5}{2} = 10$ 개이고 전체 쌍은 $15$ 개이므로 $P(\text{모두 } 0\text{ 아님}) = \tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}$, 따라서 $1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.B.5 곱셈·나눗셈 전략으로 연산의 성질 활용하기 (곱셈의 영의 성질 ($0 \times n = 0$) 을 이용해 "쌍의 곱이 $0$" $\Leftrightarrow$ "쌍에 $0$ 이 들어 있음" 임을 도출하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (확률 분수 $\tfrac{5}{15}$ 를 동치 비율 $\tfrac{1}{3}$ 로 약분하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들어 사건의 확률 구하기 (모든 순서 없는 쌍이 똑같이 나올 확률을 갖는다고 보고, 확률 $=$ (유리한 쌍) $/$ (전체 쌍) 으로 계산.)
7.SP.C.8 조직적인 목록·표·나무 그림으로 복합 사건의 확률 구하기 ($15$ 개 순서 없는 쌍을 조직된 순서로 모두 나열하고, $0$ 을 포함한 유리한 쌍 $5$ 개를 셈.)

⭐ 쌍을 빠짐없이 적고 $0$ 이 들어간 쌍만 골라 나누면 끝 — 7학년 확률만으로 이 AMC 8 문제를 풀 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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