AMC 8 · 2016 · #20
학년 6 number-theory문제
a 와 b 의 최소공배수는 12 이고, b 와 c 의 최소공배수는 15 입니다. a 와 c 의 최소공배수가 될 수 있는 가장 작은 값은 얼마일까요?
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 양의 정수 $a$, $b$, $c$ 가 $\text{lcm}(a, b) = 12$, $\text{lcm}(b, c) = 15$ 을 만족합니다. $\text{lcm}(a, c)$ 의 최솟값을 구하세요.
주어진 것: $\text{lcm}(a, b) = 12 = 2^2 \times 3$; $\text{lcm}(b, c) = 15 = 3 \times 5$; $a$, $b$, $c$ 는 양의 정수; 선택지: (A) $20$, (B) $30$, (C) $60$, (D) $120$, (E) $180$
구하는 것: $\text{lcm}(a, c)$ 의 최솟값
이해
문제 재정리: 양의 정수 $a$, $b$, $c$ 가 $\text{lcm}(a, b) = 12$, $\text{lcm}(b, c) = 15$ 을 만족합니다. $\text{lcm}(a, c)$ 의 최솟값을 구하세요.
주어진 것: $\text{lcm}(a, b) = 12 = 2^2 \times 3$; $\text{lcm}(b, c) = 15 = 3 \times 5$; $a$, $b$, $c$ 는 양의 정수; 선택지: (A) $20$, (B) $30$, (C) $60$, (D) $120$, (E) $180$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 딱 맞습니다. 두 lcm 조건이 변수 $b$ 를 공유하므로, 문제를 세 조각으로 나눕니다 — 먼저 $b$ 의 후보를 좁히고($b$ 는 $12$ 와 $15$ 의 공약수), 각 후보별로 가장 작은 $a$ 와 가장 작은 $c$ 를 따로 찾고, 마지막에 $\text{lcm}(a, c)$ 를 계산해 비교합니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 남은 두 경우 $b = 1$, $b = 3$ 을 직접 대입해 정답을 가려내는 데 씁니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 후보가 단 두 개뿐인 이 문제에는 과한 도구라 일부러 피합니다.
실행 — 정답: A
6.EE.A.1 단계 1 - $12$ 와 $15$ 를 소인수분해합니다.
- 이 결과로 $a$, $b$, $c$ 에 들어갈 수 있는 소수는 $2$, $3$, $5$ 뿐이라는 것이 보입니다.
💡 lcm 이나 gcd 문제에서는 "수를 소수 블록으로 분해" 가 첫 단계입니다 — 각 소수를 따로따로 다룰 수 있게 되니까요.
6.NS.B.4 단계 2 - $b$ 의 후보를 좁힙니다.
- $b$ 는 $\text{lcm}(a, b) = 12$ 의 약수이면서 동시에 $\text{lcm}(b, c) = 15$ 의 약수입니다.
- 두 수를 동시에 나누는 가장 큰 수는 $\gcd(12, 15) = 3$ 이므로, $b$ 는 $3$ 의 약수, 즉 $b \in \{1, 3\}$ 둘 뿐입니다.
💡 $b$ 가 소수 $2$ 를 품으면 $\text{lcm}(b, c)$ 도 짝수가 되어야 하지만 $15$ 는 홀수입니다. 같은 논리로 $b$ 는 $5$ 도 못 품습니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 경우 $b = 3$.
- $b$ 가 이미 소인수 $3$ 을 담당하므로, $a$ 는 $\text{lcm}(a, b) = 12$ 를 맞추기 위해 빠진 $2^2$ 만 채우면 됩니다 — 가장 작은 $a$ 는 $4$.
- 마찬가지로 $c$ 는 $\text{lcm}(b, c) = 15$ 의 빠진 $5$ 만 채우면 되어 가장 작은 $c$ 는 $5$.
- 확인: $\text{lcm}(4, 3) = 12$, $\text{lcm}(3, 5) = 15$ — 두 조건 모두 성립.
💡 공통 소수($3$) 를 모두 $b$ 에 몰아 넣으면 $a$ 와 $c$ 가 가장 작아지고, 따라서 $\text{lcm}(a, c)$ 도 가장 작아집니다.
6.NS.B.4 단계 4 - 경우 $b = 1$.
- 이제 $b$ 가 아무 소수도 담당하지 못하므로, $a$ 혼자서 $\text{lcm}(a, b) = 12$ 를 만들려면 $a = 12$ 가 강제되고, $c$ 혼자서 $\text{lcm}(b, c) = 15$ 를 만들려면 $c = 15$ 가 강제됩니다.
- 그러면 $\text{lcm}(12, 15) = 60$ — 훨씬 큽니다.
💡 $b$ 가 아무것도 공유하지 않으면 모든 소수를 $a$ 또는 $c$ 가 통째로 떠안아 $\text{lcm}(a, c)$ 가 커집니다.
4.OA.B.4 단계 5 - 두 경우를 비교해 작은 쪽을 고릅니다.
- $20 < 60$ 이므로 최솟값은 $20$, 선택지 (A) 와 일치합니다.
💡 $b$ 필터를 통과한 경우가 단 두 개뿐이라, 마지막 비교는 "둘 중 작은 쪽 고르기" 일 뿐입니다.
6.EE.A.1 $12$ 와 $15$ 를 소인수분해합니다. 이 결과로 $a$, $b$, $c$ 에 들어갈 수 있는 소수는 $2$, $3$, $5$ 뿐이라는 것이 6.NS.B.4 $b$ 의 후보를 좁힙니다. $b$ 는 $\text{lcm}(a, b) = 12$ 의 약수이면서 동시에 $\text{lcm}(b, c) = 15 6.NS.B.4 경우 $b = 3$. $b$ 가 이미 소인수 $3$ 을 담당하므로, $a$ 는 $\text{lcm}(a, b) = 12$ 를 맞추기 위해 빠진 6.NS.B.4 경우 $b = 1$. 이제 $b$ 가 아무 소수도 담당하지 못하므로, $a$ 혼자서 $\text{lcm}(a, b) = 12$ 를 만들려면 $a 4.OA.B.4 두 경우를 비교해 작은 쪽을 고릅니다. $20 < 60$ 이므로 최솟값은 $20$, 선택지 (A) 와 일치합니다. 검토
합리성 확인: 소수별로 답을 점검합니다. $\text{lcm}(a, c)$ 는 $a$ 또는 $c$ 가 반드시 가져야 하는 모든 소수의 거듭제곱을 포함해야 합니다. $12 = 2^2 \times 3$ 에서 $2^2$ 은 $b$ 에 들어갈 자리가 없으므로($b \mid 15$ 이기 때문) $a$ 가 가져야 하고, 따라서 $4 \mid \text{lcm}(a, c)$. 마찬가지로 $5$ 도 $b$ 에 들어갈 자리가 없어 $c$ 가 가져야 하므로 $5 \mid \text{lcm}(a, c)$. 두 조건을 합치면 $\text{lcm}(a, c) \ge \text{lcm}(4, 5) = 20$. $(a, b, c) = (4, 3, 5)$ 가 정확히 $20$ 을 달성하므로 $20$ 이 도달 가능하면서도 더 줄일 수 없는 하한입니다. (A) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 걸러도 됩니다. 정답 $\text{lcm}(a, c)$ 는 반드시 $4$ 의 배수이고($2^2$ 의 자리가 $b$ 에 없음) $5$ 의 배수여야 합니다(같은 이유). 따라서 $20$ 의 배수입니다. 선택지 $20, 30, 60, 120, 180$ 중 $30$ 은 $4$ 의 배수가 아니라 탈락. 남은 것 중 가장 작은 $20$ 은 $(a, b, c) = (4, 3, 5)$ 로 실제 달성되므로 답은 (A) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4약수쌍과 배수 찾기; 소수·합성수 판별 ($3$ 의 약수($1$ 과 $3$) 를 나열해 $b$ 의 후보를 한정하고, 두 경우의 lcm($20$ 과 $60$) 을 비교해 작은 쪽을 고르는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 표현·계산 ($12 = 2^2 \times 3$, $15 = 3 \times 5$ 처럼 지수 형태로 소인수분해해 각 소수를 독립적으로 추적할 수 있게 하는 데 사용.)6.NS.B.4최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\gcd(12, 15) = 3$ 으로 $b$ 의 후보를 좁히고, $\text{lcm}(4, 3) = 12$, $\text{lcm}(3, 5) = 15$, $\text{lcm}(4, 5) = 20$ 으로 각 경우를 검증하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 최대공약수·최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — $12$ 와 $15$ 를 소인수로 쪼개서 공통 소수 $3$ 을 $b$ 에 몰아넣으면, 남은 $4$ 와 $5$ 가 최솟값 $\text{lcm}(4, 5) = 20$ 을 만들어 줍니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 최대공약수·최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — $12$ 와 $15$ 를 소인수로 쪼개서 공통 소수 $3$ 을 $b$ 에 몰아넣으면, 남은 $4$ 와 $5$ 가 최솟값 $\text{lcm}(4, 5) = 20$ 을 만들어 줍니다!
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