AMC 8 · 2016 · #21

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basiccomplementary-counting complementary-countingsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

원통형 모자 안에 빨간 칩 $3$ 개와 초록 칩 $2$ 개가 들어 있습니다. 빨간 칩 $3$ 개가 모두 뽑히거나 초록 칩 $2$ 개가 모두 뽑힐 때까지, 칩을 한 번에 하나씩 무작위로 다시 넣지 않고 뽑습니다. 빨간 칩 $3$ 개가 모두 뽑힐 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$dfrac{3}{10}$

(B)

$dfrac{2}{5}$

(C)

$dfrac{1}{2}$

(D)

$dfrac{3}{5}$

(E)

$dfrac{7}{10}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모자 안에 빨간 칩 $3$ 개와 초록 칩 $2$ 개가 들어 있습니다. 한 번에 하나씩 꺼내고 다시 넣지 않으며, 빨간 칩 $3$ 개를 모두 뽑은 순간 또는 초록 칩 $2$ 개를 모두 뽑은 순간 — 둘 중 먼저 일어나는 쪽에서 멈춥니다. 빨간 칩 $3$ 개를 모두 뽑아서 멈출 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 모자 안에 빨간 칩 $3$ 개, 초록 칩 $2$ 개 (총 $5$ 개); 한 번에 하나씩 비복원으로 뽑는다; 빨간 $3$ 개가 다 나오거나, 초록 $2$ 개가 다 나오는 순간 즉시 멈춘다; 선택지: (A) $\tfrac{3}{10}$, (B) $\tfrac{2}{5}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{3}{5}$, (E) $\tfrac{7}{10}$

구하는 것: $2$ 번째 초록보다 $3$ 번째 빨강이 먼저 나와서 멈출 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기

멈추는 시점을 그대로 따라가면 게임이 $3$, $4$, $5$ 번째 뽑기에서 끝날 수 있어 경우가 복잡해집니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 깔끔하게 바꿉시다 — 멈춤 규칙을 무시하고 $5$ 개를 끝까지 뽑는다고 상상해 봅니다. 그러면 "빨강이 먼저 다 나옴" 은 곧 "$5$ 번째(마지막) 칩이 초록" 과 같습니다. 멈춤을 일으키지 않은 색이 결국 마지막에 남기 때문입니다. 멈춤 문제를 "마지막 자리의 색깔" 이라는 한 줄짜리 질문으로 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) — 빨강 $3$, 초록 $2$ 의 모든 배열 $\binom{5}{2} = 10$ 가지를 적어 세어 보는 것 — 으로 개수를 손에 잡히게 만들고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 빠지는 경우 없이 순서대로 적습니다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 1

도구 #16 으로 관점을 바꿉니다.
멈춤 규칙을 잊고 $5$ 개를 끝까지 뽑는다고 상상하면, 마지막에 뽑히는 칩은 "먼저 동나지 않은 쪽" 의 색입니다.
따라서 "빨강이 먼저 다 나옴" $\iff$ "마지막 칩이 초록" 이 됩니다.
이 한 번의 재해석으로 문제가 $5$ 번 자리의 색을 묻는 단순한 형태로 바뀝니다.

$$P(\text{빨강이 먼저 다 나옴}) = P(\text{마지막 칩이 초록})$$

💡 빨강이 먼저 동나면 멈추는 순간 모자에 초록이 적어도 하나 남아 있고, 계속 뽑는다고 가정하면 그 남은 초록이 결국 마지막에 나옵니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

도구 #2 로 빨강 $3$ 개와 초록 $2$ 개의 모든 서로 다른 배열을 나열합니다.
초록 $2$ 개의 자리를 (작은 수, 큰 수) 순서로 적으면 $\binom{5}{2} = 10$ 가지가 있습니다.

$$\text{G 의 자리: } (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) \Rightarrow 10 \text{ 가지}$$

💡 $5$ 자리 중 어느 $2$ 자리가 초록인지를 정하면 배열 전체가 정해지므로 $\binom{5}{2}$ 가 각 배열을 정확히 한 번씩 셉니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 3

도구 #9 적용.
위 목록에서 "마지막($5$ 번 자리)이 초록" 인 경우는 G 의 자리쌍에 $5$ 가 들어 있는 것 — 즉 $(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)$ 의 $4$ 가지입니다.

$$\text{유리한 배열 수} = 4$$

💡 $10$ 가지를 실제로 나열해 보면 마지막 자리가 G 인 경우가 정확히 $4$ 개라는 것이 한눈에 보입니다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 4

비복원으로 균등하게 뽑으므로 $10$ 가지 배열은 모두 동등하게 일어납니다.
확률은 유리한 배열 수를 전체 배열 수로 나눈 값입니다.

$$P(\text{마지막 칩이 초록}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 동등하게 일어나는 결과들에서는 확률이 곧 (유리한 경우 수) $\div$ (전체 경우 수) — 7학년 이론 확률의 기본입니다.

[1] #16 7.SP.C.7 도구 #16 으로 관점을 바꿉니다. 멈춤 규칙을 잊고 $5$ 개를 끝까지 뽑는다고 상상하면, 마지막에 뽑히는 칩은 "먼저 동나지 않은 쪽" 의

[2] #2 7.SP.C.8 도구 #2 로 빨강 $3$ 개와 초록 $2$ 개의 모든 서로 다른 배열을 나열합니다. 초록 $2$ 개의 자리를 (작은 수, 큰 수) 순서로 적으

[3] #9 7.SP.C.8 도구 #9 적용. 위 목록에서 "마지막($5$ 번 자리)이 초록" 인 경우는 G 의 자리쌍에 $5$ 가 들어 있는 것 — 즉 $(1,5),(2,

[4] #16 7.SP.C.7 비복원으로 균등하게 뽑으므로 $10$ 가지 배열은 모두 동등하게 일어납니다. 확률은 유리한 배열 수를 전체 배열 수로 나눈 값입니다.

검토

합리성 확인: 한 줄 지름길로 검산해 봅시다: $5$ 개의 칩 각각이 $5$ 개 자리 어디에든 동등하게 들어갈 수 있으므로, $5$ 번째 자리에 놓인 칩이 초록일 확률은 (초록 개수) $/$ (총 개수) $= 2/5$. 답과 일치합니다. 또한 답이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작은 것도 자연스럽습니다 — 초록은 $2$ 개만 다 나오면 끝이고 빨강은 $3$ 개가 다 나와야 끝이므로, 빨강이 먼저 끝날 가능성이 살짝 더 낮을 수밖에 없습니다. $\tfrac{2}{5} = 0.4$ 가 딱 그 느낌입니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 만으로도 풀립니다. 빨강 $3$, 초록 $2$ 의 $10$ 가지 배열을 적고, 각각에서 $3$ 번째 R 이 $2$ 번째 G 보다 먼저 나오는지 표시합니다. 마지막이 G 인 배열 $4$ 개 — RRRGG, RRGRG, RGRRG, GRRRG — 는 모두 승리, 마지막이 R 인 $6$ 개 배열은 모두 $2$ 번째 G 가 $3$ 번째 R 보다 먼저 나오므로 모두 패배입니다. 승리 $4/10 = \tfrac{2}{5}$ 로 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 ($3$R, $2$G 의 $10$ 가지 배열에 동등 확률 모델을 세우고, 멈춤 사건의 확률을 (유리한 배열 수) $/$ (전체 배열 수) 로 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 나뭇가지 그림, 시뮬레이션 등으로 복합 사건의 확률 구하기 ($\binom{5}{2} = 10$ 가지 배열을 빠짐없이 나열하고, 그중 마지막이 G 인 $4$ 가지를 세는 데 사용.)

⭐ 어려워 보이는 확률 문제도 관점만 바꾸면 "마지막 칩이 초록일까?" 처럼 한 줄 질문으로 줄어듭니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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