AMC 8 · 2016 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-trianglescoordinate-geometry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림의 직사각형 $DEFA$ 는 $3 \times 4$ 직사각형이고, $DC=CB=BA=1$ 입니다. "박쥐 날개" (색칠된 영역) 의 넓이는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2 \frac{1}{2}$

(C)

(D)

$3 \frac{1}{2}$

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 4$ 직사각형 $DEFA$ 의 윗변 $DA$ 가 점 $C$, $B$ 에 의해 길이가 $1$ 인 세 구간으로 나뉩니다 (즉 $D, C, B, A$ 의 $x$ 좌표는 $0, 1, 2, 3$). 안쪽으로 선분 $EB$ 와 $FC$ 가 그어져 한 점에서 교차하고, 동시에 $EC$ 와 $FB$ 도 그어집니다. 검은색 '박쥐 날개' 두 조각은 사다리꼴 $EFCB$ 안에서 $EB$ 와 $FC$ 의 교차점 양옆에 자리한 두 삼각형 모양 영역입니다. 색칠된 부분의 전체 넓이를 구하세요.

주어진 것: 직사각형 $DEFA$ 의 가로 $= 3$, 세로 $= 4$; $DC = CB = BA = 1$ 로 $D, C, B, A$ 가 윗변을 균등하게 나눔; 색칠된 '박쥐 날개' 는 선분 $EB$, $FC$, $EC$, $FB$ 로 만들어지는 두 삼각형 영역; 선택지: (A) $2$, (B) $2\tfrac{1}{2}$, (C) $3$, (D) $3\tfrac{1}{2}$, (E) $5$

구하는 것: 색칠된 두 '박쥐 날개' 영역의 넓이의 합

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

두 날개를 직접 더하려고 하면 비스듬한 경계 때문에 측정이 까다롭습니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 시선을 뒤집습니다 — 날개들은 사다리꼴 $EFCB$ 안에 있고, 사다리꼴에서 날개가 아닌 부분은 교차점 $G$ 에서 만나는 깔끔한 두 삼각형뿐입니다. 그러니 색칠 넓이 $=$ 사다리꼴 넓이 $-$ 위쪽 삼각형 $\triangle CGB$ $-$ 아래쪽 삼각형 $\triangle EGF$. 도구 #1(그림 그리기) 로 직사각형을 좌표 위에 놓아 교차점 위치를 다루기 쉽게 만들고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 작업을 세 조각(사다리꼴 넓이, 작은 위 삼각형, 큰 아래 삼각형) 으로 나누면 각 조각마다 6학년 넓이 공식 한 번씩이면 끝납니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

직사각형을 좌표 위에 놓습니다.
$E = (0, 0)$, $F = (3, 0)$, $A = (3, 4)$, $D = (0, 4)$, $C = (1, 4)$, $B = (2, 4)$.
사다리꼴 $EFCB$ 안에서 교차하는 두 선분은 $EB$ (점 $(0,0)$ 에서 $(2,4)$) 와 $FC$ (점 $(3,0)$ 에서 $(1,4)$) 이고, 교차점을 $G$ 라 부릅니다.

$$E(0,0),\; F(3,0),\; C(1,4),\; B(2,4)$$

💡 좌표를 잡으면 '그림 속 비스듬한 선' 이 정직한 숫자로 바뀌어 이후 계산이 흔들리지 않습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

사다리꼴 $EFCB$ 의 넓이를 구합니다.
평행한 두 변이 밑변과 윗변입니다 — 아랫변 $EF = 3$, 윗변 $CB = 1$.
두 변 사이 수직 거리는 직사각형 높이 그대로 $4$.
사다리꼴 넓이 공식 $\tfrac{1}{2}(b_1 + b_2) \cdot h$ 를 적용합니다.

$$\text{넓이}(EFCB) = \tfrac{1}{2}(3 + 1)(4) = \tfrac{1}{2}(4)(4) = 8$$

💡 사다리꼴이 우리 문제를 담는 통 — 관심 있는 모든 것이 이 $8$ 제곱 단위 안에 들어 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

닮은 삼각형으로 교차점 $G$ 를 찾습니다.
$CB \parallel EF$ 이므로 위쪽 삼각형 $\triangle CGB$ 와 아래쪽 삼각형 $\triangle EGF$ 는 닮음입니다 ($G$ 에서의 맞꼭지각, 그리고 평행선의 엇각).
밑변비 $CB : EF = 1 : 3$ 이니 높이비도 $1 : 3$.
두 높이의 합이 사다리꼴 전체 높이 $4$ 이므로 위쪽 높이 $= 1$, 아래쪽 높이 $= 3$.

$$h_{\text{위}} + h_{\text{아래}} = 4,\; h_{\text{아래}} = 3 h_{\text{위}} \;\Rightarrow\; h_{\text{위}} = 1,\; h_{\text{아래}} = 3$$

💡 같은 모양인데 밑변이 $3$ 배라면 높이도 $3$ 배 — 교차점은 윗변에서 전체 높이의 $\tfrac{1}{4}$ 만큼만 내려온 자리에 놓입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

두 비색칠 삼각형의 넓이를 계산합니다.
위쪽: 밑변 $CB = 1$, 높이 $1$.
아래쪽: 밑변 $EF = 3$, 높이 $3$.

$$\text{넓이}(\triangle CGB) = \tfrac{1}{2}(1)(1) = \tfrac{1}{2},\quad \text{넓이}(\triangle EGF) = \tfrac{1}{2}(3)(3) = \tfrac{9}{2}$$

💡 아래 삼각형이 더 넓고 더 높아 사다리꼴 대부분을 차지하고, 위쪽 작은 삼각형은 거의 자리를 안 차지합니다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 5

관점 바꾸기 마무리: 색칠된 날개 넓이 $=$ 사다리꼴 $-$ 위 삼각형 $-$ 아래 삼각형.

$$\text{색칠} = 8 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{9}{2} = 8 - \tfrac{10}{2} = 8 - 5 = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 깔끔한 사다리꼴에서 깔끔한 두 삼각형을 빼면 정확히 두 박쥐 날개만 남습니다 — 비스듬한 변을 직접 잴 필요가 없습니다.

[1] #1 5.G.A.1 직사각형을 좌표 위에 놓습니다. $E = (0, 0)$, $F = (3, 0)$, $A = (3, 4)$, $D = (0, 4)$, $C = (

[2] #7 6.G.A.1 사다리꼴 $EFCB$ 의 넓이를 구합니다. 평행한 두 변이 밑변과 윗변입니다 — 아랫변 $EF = 3$, 윗변 $CB = 1$. 두 변 사이 수

[3] #7 8.G.A.5 닮은 삼각형으로 교차점 $G$ 를 찾습니다. $CB \parallel EF$ 이므로 위쪽 삼각형 $\triangle CGB$ 와 아래쪽 삼각형

[4] #7 6.G.A.1 두 비색칠 삼각형의 넓이를 계산합니다. 위쪽: 밑변 $CB = 1$, 높이 $1$. 아래쪽: 밑변 $EF = 3$, 높이 $3$.

[5] #16 6.G.A.1 관점 바꾸기 마무리: 색칠된 날개 넓이 $=$ 사다리꼴 $-$ 위 삼각형 $-$ 아래 삼각형.

검토

합리성 확인: 사다리꼴 넓이는 $8$ 이고 안쪽 비색칠 삼각형 합이 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{9}{2} = 5$ 이므로 날개에 남는 넓이는 $3$. 이는 사다리꼴의 $\tfrac{3}{8}$ 정도로, 그림에서 두 날개가 사다리꼴의 절반보다 조금 작아 보이는 느낌과 잘 맞습니다. 또 전체 직사각형 넓이는 $3 \times 4 = 12$ 이고 $3$ 은 $12$ 의 $\tfrac{1}{4}$ — 균등 분할 설정에 어울리는 깔끔한 분수입니다. 답 (C) $= 3$ 만 일치합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 의 좌표 풀이로 바로 갈 수도 있습니다. $G$ 의 좌표 계산: 직선 $EB$ 는 $y = 2x$, 직선 $FC$ 는 $y = -2x + 6$. 두 식을 연립하면 $x = \tfrac{3}{2},\; y = 3$, 즉 $G = (1.5, 3)$. 그 다음 각 날개에 신발끈 공식을 적용합니다. 왼쪽 날개 $E(0,0),\; C(1,4),\; G(1.5,3)$ 의 넓이는 $\tfrac{1}{2} |0(4-3) + 1(3-0) + 1.5(0-4)| = \tfrac{1}{2}|0 + 3 - 6| = \tfrac{3}{2}$. 그림의 대칭성으로 오른쪽 날개도 넓이 $\tfrac{3}{2}$, 합은 $\tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2} = 3$. 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.1 좌표평면 사용; 제1사분면에 점 그리기 (직사각형을 $E(0,0),\, F(3,0),\, C(1,4),\, B(2,4)$ 에 배치해 비스듬한 선분과 교차점 $G$ 를 그림이 아닌 숫자로 다룰 수 있게 만드는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형·일반 삼각형·특수 사각형의 넓이 구하기 (사다리꼴 $EFCB$ 넓이 공식 ($\tfrac{1}{2}(3+1)(4) = 8$) 과 두 비색칠 삼각형 넓이 공식 ($\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{9}{2}$) 을 적용한 뒤 빼서 색칠 넓이 $3$ 을 구하는 데 사용.)
8.G.A.5 각·닮음·평행선과 잘림선에 대한 비형식적 논증 ($CB \parallel EF$ 로부터 $\triangle CGB \sim \triangle EGF$ (맞꼭지각 $+$ 엇각) 임을 인식해, 밑변비 $1 : 3$ 이 높이비 $1 : 3$ 을 만들어 전체 높이 $4$ 가 $1$ 과 $3$ 으로 갈라지는 데 사용.)

⭐ 이상한 모양의 날개를 직접 재지 말고, 둘레의 사다리꼴을 채워 두고 빼세요! $1 : 3$ 닮은 삼각형 (8학년 개념) 만 알아채면 높이가 $1$ 과 $3$ 으로 갈라지고, 나머지는 사다리꼴 넓이 한 번에서 삼각형 넓이 두 번을 빼는 일뿐입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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