AMC 8 · 2016 · #25
학년 8 geometry-2d문제
밑변이 16, 높이가 15 인 이등변삼각형에 반원이 내접해 있고, 그림과 같이 반원의 지름이 삼각형의 밑변 위에 놓여 있습니다. 이 반원의 반지름은 얼마일까요?
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 밑변이 $16$, 높이가 $15$ 인 이등변삼각형 안에 반원이 들어 있습니다. 반원의 지름은 삼각형의 밑변 위에 놓여 있고, 곡선 부분은 두 빗변에 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름을 구하세요.
주어진 것: 이등변삼각형의 밑변 $= 16$; 꼭짓점에서 밑변까지의 높이 $= 15$; 반원의 지름이 삼각형의 밑변 위에 놓임; 반원이 두 빗변 모두에 접함; 선택지: (A) $4\sqrt{3}$, (B) $\dfrac{120}{17}$, (C) $10$, (D) $\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$, (E) $\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$
구하는 것: 반원의 반지름 $r$
이해
문제 재정리: 밑변이 $16$, 높이가 $15$ 인 이등변삼각형 안에 반원이 들어 있습니다. 반원의 지름은 삼각형의 밑변 위에 놓여 있고, 곡선 부분은 두 빗변에 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름을 구하세요.
주어진 것: 이등변삼각형의 밑변 $= 16$; 꼭짓점에서 밑변까지의 높이 $= 15$; 반원의 지름이 삼각형의 밑변 위에 놓임; 반원이 두 빗변 모두에 접함; 선택지: (A) $4\sqrt{3}$, (B) $\dfrac{120}{17}$, (C) $10$, (D) $\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$, (E) $\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
도구 #1(그림 그리기) 은 도형 문제의 기본기입니다. 삼각형을 그리고, 꼭짓점 $C$ 에서 밑변의 중점 $D$ 까지 높이 $CD$ 를 내린 다음, 반원이 빗변에 닿는 점을 표시하면 두 가지 사실이 한눈에 보입니다 — (i) 높이 $CD$ 가 이등변삼각형을 두 변이 $8, 15$ 인 직각삼각형 두 개로 쪼개서 빗변이 유명한 $8\text{-}15\text{-}17$ 삼각형이 되고, (ii) 접점까지 그은 반지름은 빗변에 수직이라 $r$ 은 정확히 작은 직각삼각형에서 $D$ 로부터 빗변에 내린 수선(altitude) 입니다. 다음으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "반지름 구하기" 라는 큰 문제를 "작은 직각삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 구하기" 라는 쉬운 부분 문제로 바꿉니다 — 한 번은 직각변 $8 \times 15$ 로, 또 한 번은 빗변 $17$ 과 높이 $r$ 로 계산해서 두 값을 같다고 놓으면 일차방정식 한 줄로 $r$ 이 떨어집니다.
실행 — 정답: B
4.G.A.2 단계 1 - 이등변삼각형 $ABC$ 를 밑변 $AB = 16$, 꼭짓점 $C$ 로 그립니다.
- $C$ 에서 밑변의 중점 $D$ 로 높이 $CD$ 를 내리면 $CD = 15$, $AD = DB = 8$ 입니다.
- 반원은 $D$ 를 중심으로 하고 반지름이 $r$ 이며, 빗변 $AC$ 위의 어떤 점 $E$ 에서 접합니다.
- 높이의 발에서 생기는 직각 $\angle ADC = 90^\circ$ 와, 반지름이 접선과 만나는 곳의 직각 $\angle DEC = 90^\circ$ 를 그림에 표시해 둡니다.
💡 높이를 긋고 직각을 표시하는 것은 4학년 "평행·수직 여부로 도형 분류하기" 그대로 — 숨어 있던 직각삼각형이 그림으로 드러나게 합니다.
8.G.B.7 단계 2 - 직각삼각형 $\triangle ADC$ 에 피타고라스 정리를 써서 이등변삼각형의 빗변 $AC$ 의 길이를 구합니다.
- 직각변이 $8$ 과 $15$ 인 유명한 $8\text{-}15\text{-}17$ 정수 삼각형입니다.
💡 $a^2 + b^2 = c^2$ 을 직각삼각형에 적용하는 것은 8학년 피타고라스 정리 표준이고, $8\text{-}15\text{-}17$ 을 기억해 두면 제곱근 계산을 건너뛸 수 있습니다.
7.G.B.6 단계 3 - 반원이 빗변 $AC$ 위의 점 $E$ 에서 접하므로 반지름 $DE$ 는 $AC$ 에 수직입니다.
- 따라서 작은 직각삼각형 $\triangle ADC$ 안에서 길이 $r$ 인 $DE$ 는 $D$ 에서 빗변 $AC$ 로 내린 수선이 됩니다.
- 이제 이 직각삼각형 하나를 부분 문제로 떼어 내서, 그 넓이를 두 가지 방법으로 계산합니다.
💡 $\triangle ADC$ 를 따로 떼어내고 $r$ 을 "빗변에 내린 수선" 으로 인식하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 — 7학년 "삼각형의 넓이" 추론을 도형의 일부에 적용합니다.
6.G.A.1 단계 4 두 직각변 $AD$ 와 $CD$ 를 밑변과 높이로 써서 $\triangle ADC$ 의 넓이를 구합니다.
💡 직각삼각형의 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 는 6학년 넓이 공식으로, 따로 변형할 필요가 없습니다.
7.EE.B.4 단계 5 같은 삼각형 $\triangle ADC$ 의 넓이를 이번엔 빗변 $AC$ 를 밑변, $DE = r$ 을 높이로 써서 다시 계산하고, 두 식을 같다고 놓아 일차방정식을 풀면 $r$ 이 나옵니다.
💡 "어느 변을 밑변으로 봐도 넓이는 같다" 는 사실이 도형 문제를 7학년 일차방정식 $17r = 120$ 한 줄로 바꿔 줍니다.
4.G.A.2 이등변삼각형 $ABC$ 를 밑변 $AB = 16$, 꼭짓점 $C$ 로 그립니다. $C$ 에서 밑변의 중점 $D$ 로 높이 $CD$ 를 내리면 $ 8.G.B.7 직각삼각형 $\triangle ADC$ 에 피타고라스 정리를 써서 이등변삼각형의 빗변 $AC$ 의 길이를 구합니다. 직각변이 $8$ 과 $15$ 7.G.B.6 반원이 빗변 $AC$ 위의 점 $E$ 에서 접하므로 반지름 $DE$ 는 $AC$ 에 수직입니다. 따라서 작은 직각삼각형 $\triangle AD 6.G.A.1 두 직각변 $AD$ 와 $CD$ 를 밑변과 높이로 써서 $\triangle ADC$ 의 넓이를 구합니다. 7.EE.B.4 같은 삼각형 $\triangle ADC$ 의 넓이를 이번엔 빗변 $AC$ 를 밑변, $DE = r$ 을 높이로 써서 다시 계산하고, 두 식을 같 검토
합리성 확인: 크기를 점검해 봅시다. $\tfrac{120}{17} \approx 7.06$ 이므로 반원의 지름은 $\approx 14.1$ 이 되어 밑변 $16$ 안에 양쪽으로 약간씩 여유를 두고 들어갑니다 — 문제의 그림과 정확히 일치합니다. 반지름이 높이 $15$ 보다 작으니 곡선 부분이 꼭짓점을 뚫지도 않습니다. 두 검토 모두 통과하므로 $r = \tfrac{120}{17}$ 은 기하학적으로 합리적입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 걸러 봅시다. 반지름은 높이 $15$ 보다 작아야 하고, 지름 $2r$ 이 밑변 $16$ 안에 들어가야 하므로 $r < 8$ 이어야 합니다. 각 선택지를 수치로 바꾸면 (A) $4\sqrt{3} \approx 6.93$, (B) $\tfrac{120}{17} \approx 7.06$, (C) $10$, (D) $\tfrac{17\sqrt{2}}{2} \approx 12.02$, (E) $\tfrac{17\sqrt{3}}{2} \approx 14.72$. (C), (D), (E) 는 $r < 8$ 을 어기므로 즉시 탈락. 남은 (A) 와 (B) 중에서 $\tfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot r = 60$ 을 정확히 만족시키는 것은 (B) 뿐입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.2평행선·수직선·각의 유무로 평면도형 분류하기 (이등변삼각형, 높이 $CD$, 그림에서 핵심이 되는 직각 $\angle ADC$ 와 $\angle DEC$ 를 그려서 표시하는 데 사용.)6.G.A.1삼각형·다각형을 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 분해해 넓이 구하기 (직각삼각형 $\triangle ADC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60$ 으로 계산.)7.G.B.6넓이, 부피, 겉넓이를 포함한 평면·입체도형 문제 해결 ($\triangle ADC$ 의 넓이를 빗변 $17$ 과 수선 $r$ 을 이용해 두 번째 방식으로 표현하고 $60$ 과 같다고 놓는 데 사용.)7.EE.B.4변수로 양을 나타내고 간단한 식·부등식을 세워 문제 해결 (일차방정식 $17r = 120$ 을 풀어 $r = \tfrac{120}{17}$ 을 얻는 데 사용.)8.G.B.7직각삼각형의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 ($AC^2 = 8^2 + 15^2$ 로부터 이등변삼각형의 빗변 $AC = 17$ 을 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 25번 문제는 8학년 피타고라스 정리와 "어느 변을 밑변으로 봐도 삼각형의 넓이는 같다" 는 한 가지 트릭만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 25번 문제는 8학년 피타고라스 정리와 "어느 변을 밑변으로 봐도 삼각형의 넓이는 같다" 는 한 가지 트릭만 알면 풀 수 있어요!
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