AMC 8 · 2016 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmean-median-mode-range

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문제

네 명의 학생이 시험을 봤습니다. 그중 세 명의 점수는 $70, 80, 90$ 점입니다. 네 점수의 평균이 $70$ 점이라면, 나머지 한 명의 점수는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 명의 학생이 시험을 봤습니다. 그중 세 명의 점수는 $70$, $80$, $90$ 점이고, 네 명의 평균 점수는 $70$ 점입니다. 나머지 한 명의 점수를 구하세요.

주어진 것: 알려진 세 점수: $70$, $80$, $90$; 학생 수 $= 4$; 네 점수의 평균 $= 70$; 선택지: (A) $40$, (B) $50$, (C) $55$, (D) $60$, (E) $70$

구하는 것: 네 번째 학생의 점수

이해

주어진 것: 알려진 세 점수: $70$, $80$, $90$; 학생 수 $= 4$; 네 점수의 평균 $= 70$; 선택지: (A) $40$, (B) $50$, (C) $55$, (D) $60$, (E) $70$

계획

주요 도구: #14 거꾸로 풀기

보조 도구: #2 변수로 나타내기

평균은 이미 주어졌으니, 평균 공식을 거꾸로 적용하면 됩니다 — 합을 $4$ 로 나누는 대신 평균에 $4$ 를 곱해 "전체 합" 을 복원하면 됩니다. 이게 도구 #14(거꾸로 풀기) 입니다. 합이 얼마여야 하는지를 알면, 네 번째 점수는 "전체 합 $-$ 알려진 세 점수의 합" 한 줄로 끝납니다. 도구 #2(변수로 나타내기) 로 모르는 점수를 $x$ 라고 두면 관계식이 깔끔하게 한 줄짜리 방정식이 됩니다.

실행 — 정답: A

#2 변수로 나타내기 6.EE.B.6 단계 1

모르는 값에 이름을 붙입니다.
네 번째 학생의 점수를 $x$ 라 하면 평균식을 방정식으로 쓸 수 있습니다.

$$x = \text{네 번째 점수}$$

💡 모르는 수를 문자로 두는 것은 6학년 "변수로 수를 표현하기" 그 자체입니다.

#14 거꾸로 풀기 6.SP.B.5 단계 2

평균에서 합으로 거꾸로 거슬러 갑니다.
네 수의 평균은 "합 $\div 4$" 이므로, 합은 "평균 $\times 4$" 와 같습니다.

$$\text{네 점수의 합} = 70 \times 4 = 280$$

💡 "$4$ 로 나누기" 를 "$4$ 를 곱하기" 로 되돌리는 게 도구 #14 의 핵심 — 답에서 출발해 연산을 거꾸로 풉니다.

#14 거꾸로 풀기 4.NBT.B.4 단계 3

알려진 세 점수를 더해, 전체 합 중 얼마가 이미 채워졌는지 봅니다.

$$70 + 80 + 90 = 240$$

💡 여러 자리 수의 단순 덧셈으로, 4학년 수준에서 충분히 할 수 있습니다.

#2 변수로 나타내기 6.EE.B.7 단계 4

네 번째 점수는 전체 합에서 알려진 세 점수를 뺀 나머지입니다.
빼서 $x$ 를 구합니다.

$$x = 280 - 240 = 40 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $240 + x = 280$ 을 한 줄에 푸는 것은 6학년 일변수 방정식 풀이입니다.

[1] #2 6.EE.B.6 모르는 값에 이름을 붙입니다. 네 번째 학생의 점수를 $x$ 라 하면 평균식을 방정식으로 쓸 수 있습니다.

[2] #14 6.SP.B.5 평균에서 합으로 거꾸로 거슬러 갑니다. 네 수의 평균은 "합 $\div 4$" 이므로, 합은 "평균 $\times 4$" 와 같습니다.

[3] #14 4.NBT.B.4 알려진 세 점수를 더해, 전체 합 중 얼마가 이미 채워졌는지 봅니다.

[4] #2 6.EE.B.7 네 번째 점수는 전체 합에서 알려진 세 점수를 뺀 나머지입니다. 빼서 $x$ 를 구합니다.

검토

합리성 확인: 답을 다시 평균식에 대입해 보면 $\dfrac{70 + 80 + 90 + 40}{4} = \dfrac{280}{4} = 70$ 으로 주어진 평균과 정확히 일치합니다. 직관적으로도 잘 맞습니다 — 알려진 세 점수 ($70$, $80$, $90$) 의 평균은 $80$ 으로 목표 평균 $70$ 보다 $10$ 만큼 위에 있습니다. 세 점수가 합쳐서 $+10 \times 3 = +30$ 만큼 위로 치우쳐 있으니, 네 번째 점수는 평균보다 $30$ 만큼 아래여야 균형이 맞습니다. 즉 $70 - 30 = 40$ 으로, 선택지 (A) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(패턴 찾기) — 각 점수가 평균 $70$ 에서 얼마나 떨어졌는지로 균형을 맞춥니다. $70$ 은 $0$, $80$ 은 $+10$, $90$ 은 $+20$, 합쳐서 $+30$ 만큼 위로 치우쳤습니다. 네 번째 점수는 $-30$ 만큼 기여해야 하므로 $70 - 30 = 40$. 합 $280$ 을 직접 계산하지 않고도 같은 답 (A) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 능숙한 덧셈·뺄셈 (알려진 세 점수의 합 $70 + 80 + 90 = 240$ 과 $280 - 240 = 40$ 을 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.6 실생활 문제 해결에서 수를 변수로 표현하고 식을 쓰기 (모르는 네 번째 점수를 $x$ 로 두어 평균 관계를 방정식으로 표현.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($240 + x = 280$ 을 풀어 $x = 40$ 을 구함.)
6.SP.B.5 수치 데이터의 중심 경향(평균)으로 요약하기 (산술 평균의 정의 ($\text{합} \div \text{개수}$) 를 거꾸로 적용해 필요한 합 $70 \times 4 = 280$ 을 복원.)

⭐ 평균이 주어졌다면, 평균에 개수를 곱해 전체 합을 먼저 만드세요 — 그러면 빠진 값은 단 한 번의 뺄셈으로 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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