AMC 8 · 2016 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

mean-median-mode-rangegraph-reading systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticgraph-reading

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

아래 막대그래프는 $19$ 명의 이름 길이(글자 수)를 나타냅니다. 이 이름들의 길이의 중앙값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 막대 그래프는 $19$ 명의 이름 길이를 $3$ 글자부터 $7$ 글자까지 분류해 보여 줍니다. 막대 높이는 각각 $7, 3, 1, 4, 4$ 명입니다(길이 $3, 4, 5, 6, 7$ 순). $19$ 개의 이름 길이를 크기순으로 늘어놓았을 때 가운데에 오는 값, 즉 중앙값을 구하는 문제입니다.

주어진 것: 전체 인원 $= 19$ 명; 막대 그래프에서: 길이 $3 \to 7$ 명, 길이 $4 \to 3$ 명, 길이 $5 \to 1$ 명, 길이 $6 \to 4$ 명, 길이 $7 \to 4$ 명; 합이 맞는지 확인: $7 + 3 + 1 + 4 + 4 = 19$; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: $19$ 개의 이름 길이의 중앙값

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

자료가 그림(막대 그래프)으로 주어졌으니 먼저 도구 #1(그림 그리기) — 각 막대를 읽어 길이별 인원 수를 표로 적어 둡니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 조각으로 나눕니다: (a) 합이 $19$ 인지 확인, (b) 중앙값의 위치(몇 번째 값) 계산, (c) 그 위치까지 누적해서 도달. 핵심 도구는 #2(빠짐없이 나열하기) 로, "길이 $3$ 까지 누적 $7$ 명, 길이 $4$ 까지 누적 $10$ 명, ..." 식의 누적 표를 만들면 중앙값이 어느 칸에 들어 있는지 한눈에 보입니다. 대수는 필요 없습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 3.MD.B.3 단계 1

막대 그래프를 읽습니다.
가로축은 이름 길이($3, 4, 5, 6, 7$)이고, 각 막대의 높이는 그 길이를 가진 사람의 수입니다.
막대 높이는 $7, 3, 1, 4, 4$ 입니다.

$$\text{길이 } 3 \to 7,\; 4 \to 3,\; 5 \to 1,\; 6 \to 4,\; 7 \to 4$$

💡 눈금이 있는 막대 그래프에서 각 항목의 개수를 읽어 내는 것은 3학년 자료 표현 기술 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

합계를 확인합니다.
다섯 막대의 높이를 모두 더해 문제에서 말한 $19$ 명과 일치하는지 확인합니다.

$$7 + 3 + 1 + 4 + 4 = 19$$

💡 관측값의 총수를 적는 것은 자료를 요약할 때 가장 먼저 잡아 두는 습관입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 3

중앙값의 위치를 찾습니다.
값이 $19$ 개(홀수)이므로 중앙값은 정확히 가운데 한 값 — 작은 것부터 정렬했을 때 $\tfrac{19+1}{2} = 10$ 번째 값 — 입니다.

$$\dfrac{19+1}{2} = 10 \;\Rightarrow\; \text{중앙값} = \text{정렬한 자료의 10번째 값}$$

💡 중앙값은 "가운데 위치의 값"을 가리키는 대푯값이지 평균처럼 계산해서 만드는 값이 아닙니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 4

길이가 작은 순서대로 누적해서 적어 봅니다.
길이 $3$ 그룹이 $1$ 번째$\sim$$7$ 번째 자리를 채우고, 그다음 길이 $4$ 그룹이 $8, 9, 10$ 번째 자리를 채웁니다.
따라서 $10$ 번째 값은 길이 $4$ 그룹 안에 들어 있습니다.

$$\begin{array}{l|l} \text{길이 } 3 \text{ 까지} & 1\text{-}7 \text{번째 자리} \\ \text{길이 } 4 \text{ 까지} & 8\text{-}10 \text{번째 자리} \\ \text{길이 } 5 \text{ 까지} & 11 \text{번째 자리} \\ \text{길이 } 6 \text{ 까지} & 12\text{-}15 \text{번째 자리} \\ \text{길이 } 7 \text{ 까지} & 16\text{-}19 \text{번째 자리} \end{array}$$

💡 누적 개수 표를 만들면 $19$ 개를 일일이 적지 않고도 임의의 순위 위치를 바로 짚을 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.A.3 단계 5

답을 읽습니다.
$10$ 번째 값이 길이 $4$ 그룹 안에 있으므로, 이름 길이의 중앙값은 $4$ 입니다.

$$\text{중앙값} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 찾은 위치가 어느 한 그룹 안에 들어가면 그 그룹의 값이 곧 중앙값입니다.

[1] #1 3.MD.B.3 막대 그래프를 읽습니다. 가로축은 이름 길이($3, 4, 5, 6, 7$)이고, 각 막대의 높이는 그 길이를 가진 사람의 수입니다. 막대 높이는

[2] #7 6.SP.B.5 합계를 확인합니다. 다섯 막대의 높이를 모두 더해 문제에서 말한 $19$ 명과 일치하는지 확인합니다.

[3] #7 6.SP.A.3 중앙값의 위치를 찾습니다. 값이 $19$ 개(홀수)이므로 중앙값은 정확히 가운데 한 값 — 작은 것부터 정렬했을 때 $\tfrac{19+1}{2

[4] #2 6.SP.B.5 길이가 작은 순서대로 누적해서 적어 봅니다. 길이 $3$ 그룹이 $1$ 번째$\sim$$7$ 번째 자리를 채우고, 그다음 길이 $4$ 그룹이 $

[5] #2 6.SP.A.3 답을 읽습니다. $10$ 번째 값이 길이 $4$ 그룹 안에 있으므로, 이름 길이의 중앙값은 $4$ 입니다.

검토

합리성 확인: 가장 짧은 길이 $3$ 만으로 이미 $19$ 명 중 $7$ 명($\tfrac{7}{19}$, 1/3 이상)을 차지하므로 중앙값은 작은 쪽 가까이에 있어야 합니다. 바로 다음 그룹인 길이 $4$ 가 누적을 $7$ 에서 $10$ 까지 끌어올리고, $10$ 이 정확히 $n = 19$ 의 중앙 위치이므로 중앙값은 $4$ 일 수밖에 없습니다. 중앙값이 $5$ 나 $6$ 이려면 앞쪽의 짧은 이름이 더 적어야 하는데, 그래프는 그렇지 않습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 잘라 봅시다. 길이 $3$ 인 $7$ 명이 $1$$\sim$$7$ 번째를 차지하므로 $8, 9, 10$ 번째는 길이 $4$ 그룹 안. 이 사실만으로 (A) $3$ 은 너무 앞이라 탈락, (C)(D)(E) 는 길이 $5$ 까지의 누적이 $11$ 이라야 도달하므로 너무 뒤라 탈락. 남는 것은 (B) $4$ 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.B.3 눈금이 있는 그림 그래프와 막대 그래프를 그리고 해석하기 (다섯 막대의 높이를 읽어 길이 $3, 4, 5, 6, 7$ 의 인원 수 $7, 3, 1, 4, 4$ 를 추출하는 데 사용.)
6.SP.A.3 대푯값이 자료의 모든 값을 하나의 수로 요약함을 이해 (중앙값을 "정렬한 자료의 가운데 값" 으로 정의하고, $n = 19$ 에서 $10$ 번째 값임을 확인하는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측값의 수와 대푯값을 보고하여 수치 자료를 요약하기 (전체 관측 수($n = 19$)를 확인하고, 누적 개수 표를 만들어 묶인 자료 안에서 중앙값의 위치를 찾는 데 사용.)

⭐ $19$ 개의 이름을 일일이 적지 않아도, 짧은 누적 개수 표만 만들면 $10$ 번째 이름이 "길이 $4$ 그룹" 에 들어 있다는 사실이 한눈에 보여요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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