AMC 8 · 2017 · #12
학년 4 number-theory문제
1 보다 큰 자연수 중에서, 4, 5, 6 으로 나누었을 때 모두 나머지가 1 인 가장 작은 수는 다음 중 어느 두 수 사이에 있습니까?
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AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1$ 보다 크면서, $4$ 로 나누어도 $5$ 로 나누어도 $6$ 으로 나누어도 모두 나머지가 $1$ 이 되는 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구하고, 그 $N$ 이 주어진 다섯 구간 중 어디에 들어가는지 고르세요.
주어진 것: $N$ 은 $N > 1$ 인 양의 정수; $N \div 4$ 의 나머지가 $1$; $N \div 5$ 의 나머지가 $1$; $N \div 6$ 의 나머지가 $1$; 선택지: (A) $2$ 와 $19$ 사이, (B) $20$ 과 $39$ 사이, (C) $40$ 과 $59$ 사이, (D) $60$ 과 $79$ 사이, (E) $80$ 과 $124$ 사이
구하는 것: 조건을 모두 만족하는 가장 작은 $N$ (그리고 그 $N$ 을 품고 있는 구간)
이해
문제 재정리: $1$ 보다 크면서, $4$ 로 나누어도 $5$ 로 나누어도 $6$ 으로 나누어도 모두 나머지가 $1$ 이 되는 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구하고, 그 $N$ 이 주어진 다섯 구간 중 어디에 들어가는지 고르세요.
주어진 것: $N$ 은 $N > 1$ 인 양의 정수; $N \div 4$ 의 나머지가 $1$; $N \div 5$ 의 나머지가 $1$; $N \div 6$ 의 나머지가 $1$; 선택지: (A) $2$ 와 $19$ 사이, (B) $20$ 과 $39$ 사이, (C) $40$ 과 $59$ 사이, (D) $60$ 과 $79$ 사이, (E) $80$ 과 $124$ 사이
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
세 가지 나머지 조건을 한 번에 다루려고 하면 막막하지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 를 쓰면 문제가 훨씬 가벼워집니다. "$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 말은 "$N - 1$ 이 $d$ 의 배수" 와 똑같은 뜻이므로, $N$ 을 직접 찾는 대신 $N - 1$ 을 찾으면 됩니다. 즉 $4, 5, 6$ 의 공배수 중 가장 작은 양수를 찾으면 끝 — 4학년 배수 개념만 있으면 충분합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 가장 큰 약수인 $6$ 의 배수를 차례대로 적어 가며 $4$ 와 $5$ 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 찾고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 $N$ 이 들어가는 구간을 확정합니다.
실행 — 정답: D
4.NBT.B.6 단계 1 - 세 개의 나머지 조건을 하나의 "나누어떨어진다" 조건으로 바꿉니다.
- "$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 것은 "$N - 1$ 이 $d$ 로 정확히 나누어떨어진다" 와 같은 말입니다.
- 따라서 문제는 "$N - 1$ 이 $4, 5, 6$ 의 공배수가 되는 가장 작은 양수" 를 찾는 문제로 바뀝니다.
💡 "나머지 $1$" 은 "배수에서 $1$ 만큼 더 간 자리" 라는 뜻이므로, $1$ 을 빼면 배수 자리에 정확히 떨어진다는 4학년 나머지 감각 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 가장 큰 약수인 $6$ 의 배수를 작은 것부터 차례로 적고, 그중에서 $4$ 로도 $5$ 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 골라 냅니다.
- $6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60$ 까지 가 보면, $60$ 만이 $4$ 의 배수($60 = 4 \times 15$) 이면서 $5$ 의 배수($60 = 5 \times 12$) 입니다.
- 따라서 $4, 5, 6$ 의 가장 작은 양의 공배수는 $60$.
💡 한 수의 배수를 차례로 적으면서 다른 수로 나누어떨어지는지 확인하는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원 그대로의 동작입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - $N - 1 = 60$ 이므로, 양변에 $1$ 을 더해 $N$ 을 되돌려 줍니다.
- 가장 작은 $N$ 은 $60 + 1 = 61$ 입니다.
- (다음 후보는 다음 공배수 $120$ 에서 나오는 $N = 121$ 인데, 훨씬 크므로 $61$ 이 정답.)
💡 더 쉬운 문제($N - 1$) 의 답에서 $1$ 을 더해 원래 문제($N$) 의 답으로 옮기는 것은 4학년 다단계 문장제의 마무리 동작입니다.
4.NBT.A.2 단계 4 - $N = 61$ 을 다섯 구간에 대입해 가능성을 하나씩 지웁니다.
- $61$ 은 $[2, 19]$, $[20, 39]$, $[40, 59]$ 어디에도 들어가지 않고, $80$ 보다 작으므로 $[80, 124]$ 도 아닙니다.
- 남은 $[60, 79]$, 즉 (D) 에 깔끔하게 들어맞습니다.
💡 $61$ 을 구간의 끝값들과 비교하는 것은 4학년 여러 자리 수 비교 그대로입니다.
4.NBT.B.6 세 개의 나머지 조건을 하나의 "나누어떨어진다" 조건으로 바꿉니다. "$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 것은 "$N - 1$ 4.OA.B.4 가장 큰 약수인 $6$ 의 배수를 작은 것부터 차례로 적고, 그중에서 $4$ 로도 $5$ 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 골라 냅니다. $6, 4.OA.A.3 $N - 1 = 60$ 이므로, 양변에 $1$ 을 더해 $N$ 을 되돌려 줍니다. 가장 작은 $N$ 은 $60 + 1 = 61$ 입니다. (다음 4.NBT.A.2 $N = 61$ 을 다섯 구간에 대입해 가능성을 하나씩 지웁니다. $61$ 은 $[2, 19]$, $[20, 39]$, $[40, 59]$ 어디 검토
합리성 확인: 확인해 보면 $61 \div 4 = 15$ 나머지 $1$, $61 \div 5 = 12$ 나머지 $1$, $61 \div 6 = 10$ 나머지 $1$ 로 세 조건이 모두 성립하고, $61 > 1$ 이므로 "$1$ 보다 크다" 는 조건도 만족합니다. $61$ 보다 작은 후보가 있으려면 $60$ 보다 작은 $4, 5, 6$ 의 공배수가 있어야 하는데, 빠짐없이 나열로 그런 수가 없음을 확인했으므로 $N = 61$ 이 정말 최소입니다. 따라서 $61$ 은 $60$–$79$ 구간 안에 있고 답은 (D).
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지 자체를 직접 대입해 봅니다. 각 구간의 작은 쪽 수부터 세 나머지를 검사합니다. (A) $N = 5$: $5 \div 5$ 의 나머지가 $0$ 이라 탈락. (B) $N = 21$: $21 \div 6$ 의 나머지가 $3$ 이라 탈락. (C) $N = 41$: $41 \div 6$ 의 나머지가 $5$ 라 탈락. (D) $N = 61$: 세 나누기 모두 나머지 $1$ — 통과. 따라서 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.B.6네 자리 수 이내 정수의 몫과 나머지 구하기 ("나머지가 $1$" 이라는 문장을 "$N - 1$ 이 $d$ 로 정확히 나누어떨어진다" 라는 나누어떨어짐 조건으로 바꿔 읽는 데 사용 — 4학년 나머지 개념을 그대로 활용.)4.OA.B.4약수쌍 모두 찾기, 배수 알아보기, 소수·합성수 판별 ($6$ 의 배수를 차례로 적고 각 수가 $4$ 와 $5$ 로도 나누어떨어지는지 확인해 가장 작은 공배수 $60$ 을 찾는 데 사용.)4.OA.A.3정수의 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 ($N - 1$ 의 값에서 $1$ 을 더해 원래 문제의 $N$ 을 구하는 마무리 단계의 다단계 계산에 사용.)4.NBT.A.2여러 자리 수의 읽기·쓰기와 부등호 비교 ($N = 61$ 을 다섯 구간의 끝값($19, 39, 59, 79, 124$) 과 비교해 들어가는 구간을 결정하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나머지 $1$ = 배수에서 $1$ 더 간 자리" 라는 배수·나머지 감각만 있으면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나머지 $1$ = 배수에서 $1$ 더 간 자리" 라는 배수·나머지 감각만 있으면 풀 수 있어요!
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