AMC 8 · 2017 · #14
학년 6 rate-ratioalgebra문제
클로이와 조이는 디미너 선생님의 수학 수업을 같이 듣는 학생입니다. 어젯밤 두 사람은 숙제 문제의 절반은 각자 혼자 풀고, 나머지 절반은 둘이 함께 풀었습니다. 클로이가 혼자 푼 문제 중에서 맞힌 비율은 80% 였지만, 숙제 전체로 보면 답의 88% 가 정답이었습니다. 조이가 혼자 푼 문제 중에서 맞힌 비율은 90% 였습니다. 그렇다면 조이의 숙제 전체 정답률은 몇 퍼센트입니까?
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AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 클로이와 조이는 같은 수학 숙제를 받았어요. 두 사람 모두 문제의 절반은 혼자 풀고, 나머지 절반은 둘이 함께 풀었어요. 클로이는 혼자 푼 문제 중 $80\%$ 를 맞혔고 전체로는 $88\%$ 를 맞혔어요. 조이는 혼자 푼 문제 중 $90\%$ 를 맞혔어요. 그렇다면 조이가 전체 문제 중 맞힌 비율은 몇 퍼센트일까요?
주어진 것: 각자 숙제의 절반은 혼자, 절반은 함께 — 두 부분의 문제 수는 같음.; 클로이 혼자 풀이 정답률 $= 80\%$.; 클로이 전체 정답률 $= 88\%$.; 조이 혼자 풀이 정답률 $= 90\%$.; 선택지: (A) $89$, (B) $92$, (C) $93$, (D) $96$, (E) $98$ (퍼센트).
구하는 것: 조이가 전체 숙제 문제 중 맞힌 비율(퍼센트).
이해
문제 재정리: 클로이와 조이는 같은 수학 숙제를 받았어요. 두 사람 모두 문제의 절반은 혼자 풀고, 나머지 절반은 둘이 함께 풀었어요. 클로이는 혼자 푼 문제 중 $80\%$ 를 맞혔고 전체로는 $88\%$ 를 맞혔어요. 조이는 혼자 푼 문제 중 $90\%$ 를 맞혔어요. 그렇다면 조이가 전체 문제 중 맞힌 비율은 몇 퍼센트일까요?
주어진 것: 각자 숙제의 절반은 혼자, 절반은 함께 — 두 부분의 문제 수는 같음.; 클로이 혼자 풀이 정답률 $= 80\%$.; 클로이 전체 정답률 $= 88\%$.; 조이 혼자 풀이 정답률 $= 90\%$.; 선택지: (A) $89$, (B) $92$, (C) $93$, (D) $96$, (E) $98$ (퍼센트).
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기
묻는 건 조이인데 주어진 정보는 대부분 클로이 이야기예요 — 이 정보의 빈틈이 곧 이 문제의 핵심이에요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 두 단계로 나눕니다: (1) 클로이의 두 숫자에서 "함께 푼 정답률" $T\%$ 를 복원하고, (2) 조이의 혼자 정답률과 $T\%$ 를 평균 내어 조이의 전체 정답률을 구해요. (1) 단계의 풀이는 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 $\tfrac{1}{2}(80) + \tfrac{1}{2}(T) = 88$ 한 줄 방정식이면 충분해요. 두 절반의 크기가 같으니 전체 정답률은 그냥 두 절반 정답률의 평균이라서 가중 평균 계산은 필요 없어요. 도구 #3(가능성 지우기) 는 마지막에 $T = 96$ 을 클로이 식에 다시 넣어 확인하는 용도로 남겨 둡니다.
실행 — 정답: C
6.SP.A.3 단계 1 - 두 절반의 문제 수가 같다는 구조를 활용합니다.
- 각자의 숙제가 같은 크기의 두 묶음으로 나뉘므로, 전체 정답률은 두 묶음 정답률의 단순 평균과 같습니다 — $\text{전체}\% = \tfrac{1}{2}(\text{혼자}\%) + \tfrac{1}{2}(\text{함께}\%)$.
- 이 한 줄 공식을 클로이와 조이 양쪽에 그대로 씁니다.
💡 두 그룹의 크기가 같을 때는 두 정답률의 평균이 곧 전체 정답률이에요 — 가중치 계산이 따로 필요 없어요.
6.EE.B.7 단계 2 - 클로이의 조건으로 "함께 푼 정답률" $T$ 의 식을 세웁니다.
- $T$ 를 두 사람이 함께 푼 절반에서 맞힌 비율(퍼센트)이라고 두면, 이 값은 두 사람에게 같은 숫자입니다(같은 문제, 같이 풀었으니까요).
- 클로이의 숫자를 위 공식에 대입합니다.
💡 "클로이의 전체 정답률이 88%다" 라는 말을 한 미지수 $T$ 의 방정식으로 옮기는 건 6학년 수준의 일차방정식 세우기예요.
6.EE.B.7 단계 3 - $T$ 에 대해 식을 풉니다.
- 좌변을 정리한 뒤 $T$ 만 남기는 두 번의 이동으로 끝납니다.
💡 양변에서 $40$ 을 빼고 $2$ 를 곱하면 $T$ 가 나와요 — 6학년 "$px + q = r$ 꼴 풀기" 그대로예요.
6.SP.A.3 단계 4 - 이제 같은 평균 공식을 조이에 적용합니다.
- 조이의 혼자 정답률은 $90\%$ 이고, 함께 푼 정답률은 방금 구한 $T = 96\%$ 와 같습니다(같은 문제·같은 결과).
- 두 값을 평균 냅니다.
💡 앞에서 쓴 똑같은 "같은 크기 두 그룹의 평균" 공식을 조이 숫자로 한 번 더 쓰는 거예요.
6.RP.A.3 단계 5 - 선택지와 맞춰 봅니다.
- $93\%$ 는 보기 (C) 입니다.
- 도구 #3(가능성 지우기) 로 빠르게 점검: $T = 96$ 을 클로이 식에 되돌려 넣어 보면 $\tfrac{1}{2}(80) + \tfrac{1}{2}(96) = 40 + 48 = 88\%$ — 주어진 클로이 전체 정답률과 정확히 일치하므로 안심해도 됩니다.
💡 정답 선택지를 고르고, 복원한 "함께 푼 정답률" 을 원래 클로이 정보에 되넣어 확인하는 건 객관식 표준 검증 절차예요.
6.SP.A.3 두 절반의 문제 수가 같다는 구조를 활용합니다. 각자의 숙제가 같은 크기의 두 묶음으로 나뉘므로, 전체 정답률은 두 묶음 정답률의 단순 평균과 6.EE.B.7 클로이의 조건으로 "함께 푼 정답률" $T$ 의 식을 세웁니다. $T$ 를 두 사람이 함께 푼 절반에서 맞힌 비율(퍼센트)이라고 두면, 이 값은 6.EE.B.7 $T$ 에 대해 식을 풉니다. 좌변을 정리한 뒤 $T$ 만 남기는 두 번의 이동으로 끝납니다. 6.SP.A.3 이제 같은 평균 공식을 조이에 적용합니다. 조이의 혼자 정답률은 $90\%$ 이고, 함께 푼 정답률은 방금 구한 $T = 96\%$ 와 같습니다 6.RP.A.3 선택지와 맞춰 봅니다. $93\%$ 는 보기 (C) 입니다. 도구 #3(가능성 지우기) 로 빠르게 점검: $T = 96$ 을 클로이 식에 되돌려 검토
합리성 확인: 조이는 혼자서도 $90\%$ 나 맞히고 클로이와 같이도 풀었어요. 둘이 머리를 맞대면 혼자보다 잘하는 게 자연스러우니, 함께 푼 정답률은 클로이 혼자 점수 $80\%$ 보다 높아야 하는데 실제로 $T = 96\%$ 가 나와 조건을 만족합니다. 조이의 전체 정답률은 혼자 $90\%$ 와 함께 $96\%$ 의 가운데 값이어야 하므로 정확히 중점인 $93\%$ 가 나옵니다 — 조이 혼자 점수보다는 높고(같이 푸니까 도움이 됐다), 클로이 전체 $88\%$ 보다는 높다는 점(조이가 혼자 풀이가 더 강함) 모두 방향이 맞습니다. 세 가지 방향 점검을 모두 통과합니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) — 편한 숫자 $N = 100$ 문제로 두면 됩니다. 클로이 혼자: $50$ 문제 중 $80\%$ 정답 $= 40$ 개 맞음. 클로이 전체: $100$ 문제 중 $88\%$ $= 88$ 개 맞음. 따라서 함께 푼 절반($50$ 개) 에서 클로이는 $88 - 40 = 48$ 개 맞았고, 함께 푼 정답률은 $\tfrac{48}{50} = 96\%$. 조이 혼자: $50 \times 90\% = 45$ 개. 조이 함께: $50 \times 96\% = 48$ 개. 조이 전체: $45 + 48 = 93$ / $100 = 93\%$. 똑같이 (C) — 방정식 없이 그냥 개수만 세도 풀려요.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.A.3한 측정값(평균 등)이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 (두 묶음의 크기가 같을 때 전체 정답률이 두 묶음 정답률의 단순 평균과 같다는 사실을 이용 — 클로이의 식을 세울 때 한 번, 조이의 전체 정답률을 계산할 때 한 번 사용.)6.EE.B.7$px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 (클로이의 조건을 $\tfrac{1}{2}(80) + \tfrac{1}{2}(T) = 88$ 로 옮기고, 한 미지수 일차방정식을 풀어 $T = 96$ 을 얻는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($80\%$, $T\%$, $88\%$ 같은 퍼센트들을 "부분/전체" 비율로 해석해 같은 잣대로 비교하고, 최종 $93\%$ 를 선택지와 대조하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 퍼센트와 평균만 알면 풀 수 있어요 — 두 묶음의 크기가 같으면 전체 정답률은 두 정답률의 평균이거든요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 퍼센트와 평균만 알면 풀 수 있어요 — 두 묶음의 크기가 같으면 전체 정답률은 두 정답률의 평균이거든요!
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