AMC 8 · 2017 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremarea-triangles area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림의 오목한(비볼록) 사각형 $ABCD$ 에서, $\angle BCD$ 는 직각이고 $AB=12$ , $BC=4$ , $CD=3$ , $AD=13$ 입니다. 사각형 $ABCD$ 의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 오목한(비볼록) 사각형 $ABCD$ 에서 꼭짓점 $C$ 가 직각이라 $\angle BCD = 90^\circ$ 이고, 두 직각변은 $BC = 4$, $CD = 3$ 입니다. 나머지 두 변은 $AB = 12$, $AD = 13$. 그림을 보면 $C$ 가 안쪽으로 움푹 들어가 있어서 사각형 $ABCD$ 는 큰 삼각형 $\triangle ABD$ 에서 작은 삼각형 $\triangle BCD$ 를 도려낸 모양입니다. 사각형 $ABCD$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $\angle BCD = 90^\circ$ (꼭짓점 $C$ 에서 직각); $BC = 4$, $CD = 3$; $AB = 12$, $AD = 13$; $ABCD$ 는 비볼록 사각형이며 $C$ 가 $\triangle ABD$ 의 내부에 위치; 선택지: (A) $12$, (B) $24$, (C) $26$, (D) $30$, (E) $36$

구하는 것: 사각형 $ABCD$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

오목한 사각형이라 한눈에 넓이가 보이진 않지만, 대각선 $BD$ 하나만 그으면 익숙한 두 직각삼각형으로 깔끔하게 갈라집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (a) $\triangle BCD$ 의 넓이, (b) 대각선 $BD$ 의 길이, (c) $\triangle ABD$ 의 넓이 세 조각으로 나눠 푼 뒤 마지막에 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 천생연분 — 대각선 $BD$ 를 그어 보면 $3$-$4$-$5$ 삼조와 $5$-$12$-$13$ 삼조가 한눈에 드러나서 이게 바로 지름길의 핵심입니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 개 선택지와 대조해 즉석 검산까지 해 줍니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

사각형을 그리고 대각선 $BD$ 를 하나 긋습니다.
이 선 하나로 $ABCD$ 가 직각 표시가 있는 작은 안쪽 삼각형 $\triangle BCD$ 와 바깥쪽의 큰 삼각형 $\triangle ABD$ 로 갈라집니다.
$C$ 가 $\triangle ABD$ 의 내부에 있으므로 사각형의 넓이는 ($\triangle ABD$ 의 넓이) $-$ ($\triangle BCD$ 의 넓이) 가 됩니다.

$$\text{넓이}(ABCD) = \text{넓이}(\triangle ABD) - \text{넓이}(\triangle BCD)$$

💡 어려운 도형도 대각선 하나만 그으면 우리가 이미 넓이를 잘 아는 도형들로 쪼개집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

$\triangle BCD$ 의 넓이를 구합니다.
직각이 $C$ 에 있으므로 두 직각변 $BC$ 와 $CD$ 가 그대로 밑변과 높이 역할을 합니다.
곱하고 반으로 나누면 끝입니다.

$$\text{넓이}(\triangle BCD) = \tfrac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$$

💡 직각삼각형에서는 두 직각변이 곧바로 밑변·높이로 쓸 수 있는 한 쌍입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

$\triangle BCD$ 안에서 피타고라스 정리로 대각선 $BD$ 의 길이를 구합니다.
두 직각변이 $3$ 과 $4$ 이므로 빗변 $BD$ 는 친숙한 $3$-$4$-$5$ 삼조의 $5$ 입니다.

$$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$$

💡 두 변 사이 각이 $90^\circ$ 이기만 하면 피타고라스가 두 변 길이를 빗변 길이로 바꿔 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.6 단계 4

$\triangle ABD$ 도 직각삼각형인지 확인합니다.
세 변은 $AB = 12$, $BD = 5$, $AD = 13$.
피타고라스 정리의 역을 적용해 $12^2 + 5^2$ 이 $13^2$ 과 같은지 보면, 그렇다면 가장 긴 변 $AD$ 마주 보는 각, 즉 $\angle ABD$ 가 $90^\circ$ 입니다.

$$12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 \;\checkmark$$

💡 피타고라스의 역은 "세 변의 길이가 맞다 $\Rightarrow$ 직각 존재" 로 거꾸로 써 주는 도구 — 여기서는 $5$-$12$-$13$ 직각삼각형을 보너스로 얻게 해 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

$\triangle ABD$ 의 넓이를 구합니다.
이제 직각이 $B$ 에 있다는 것을 알았으니, 두 직각변 $AB = 12$ 와 $BD = 5$ 가 밑변·높이 역할을 합니다.

$$\text{넓이}(\triangle ABD) = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$

💡 앞 단계와 똑같은 직각삼각형 넓이 공식 — 서로 수직인 두 변을 곱해 반으로 나눕니다.

#3 가능성 지우기 6.G.A.1 단계 6

마지막으로 두 넓이를 빼서 사각형 넓이를 얻고, 선택지와 대조해 나머지를 지웁니다.

$$\text{넓이}(ABCD) = 30 - 6 = 24 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $24$ 는 (B) 와 일치 — $12$, $26$, $30$, $36$ 은 모두 탈락. 특히 $30$ 은 도려낸 부분을 깜빡한 함정 답입니다.

[1] #1 6.G.A.1 사각형을 그리고 대각선 $BD$ 를 하나 긋습니다. 이 선 하나로 $ABCD$ 가 직각 표시가 있는 작은 안쪽 삼각형 $\triangle BCD

[2] #7 6.G.A.1 $\triangle BCD$ 의 넓이를 구합니다. 직각이 $C$ 에 있으므로 두 직각변 $BC$ 와 $CD$ 가 그대로 밑변과 높이 역할을 합니

[3] #7 8.G.B.7 $\triangle BCD$ 안에서 피타고라스 정리로 대각선 $BD$ 의 길이를 구합니다. 두 직각변이 $3$ 과 $4$ 이므로 빗변 $BD$

[4] #7 8.G.B.6 $\triangle ABD$ 도 직각삼각형인지 확인합니다. 세 변은 $AB = 12$, $BD = 5$, $AD = 13$. 피타고라스 정리의

[5] #7 6.G.A.1 $\triangle ABD$ 의 넓이를 구합니다. 이제 직각이 $B$ 에 있다는 것을 알았으니, 두 직각변 $AB = 12$ 와 $BD = 5$

[6] #3 6.G.A.1 마지막으로 두 넓이를 빼서 사각형 넓이를 얻고, 선택지와 대조해 나머지를 지웁니다.

검토

합리성 확인: 감각적으로 점검해 봅시다. $\triangle ABD$ 의 넓이가 $30$, $\triangle BCD$ 의 넓이가 $6$ 이므로, 답은 반드시 $30 - 6 = 24$ ($C$ 가 안으로 움푹 들어간 경우) 와 $30 + 6 = 36$ ($C$ 가 바깥으로 튀어나온 경우) 사이의 두 값 중 하나여야 합니다. 그림이 비볼록이라고 못 박았으니 "빼기" 쪽인 $24$ 가 답입니다. 함정 답 (D) $= 30$ 은 $C$ 가 내부에 있다는 사실을 잊은 경우, (E) $= 36$ 은 볼록한 경우의 답입니다. 결국 그림과 계산이 둘 다 가리키는 숫자는 $24$ 하나뿐입니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 에 좌표를 얹어 봐도 됩니다. $C$ 의 직각을 이용해 $C = (0,0)$, $B = (4,0)$, $D = (0,3)$ 으로 놓고, $AB = 12$ 와 $AD = 13$ 을 만족하는 점 $A$ 를 찾은 뒤 네 꼭짓점 $A, B, C, D$ 에 신발끈 공식을 적용하면 같은 넓이 $24$ 가 나옵니다. 다만 좌표 잡고 $A$ 위치 푸는 과정이 길어서, 위의 "대각선 한 줄로 쪼개기" 가 훨씬 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 도형을 합성·분해하여 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (비볼록 사각형 $ABCD$ 를 $\triangle ABD$ 에서 $\triangle BCD$ 를 뺀 형태로 분해하고, 각 직각삼각형의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{직각변}_1 \cdot \text{직각변}_2$ 로 계산하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 모르는 변 길이 구하기 (꼭짓점 $C$ 의 직각과 두 직각변 $BC = 4$, $CD = 3$ 을 이용해 대각선 $BD = 5$ 를 계산.)
8.G.B.6 피타고라스 정리와 그 역의 증명을 설명하기 (역정리로 $5$, $12$, $13$ 을 변으로 갖는 $\triangle ABD$ 가 직각삼각형임을 확인($5^2 + 12^2 = 13^2$)해, 두 직각변을 밑변·높이로 쓸 수 있게 만드는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리(와 그 역)만 알면 풀 수 있어요 — $3$-$4$-$5$ 와 $5$-$12$-$13$ 두 직각삼각형만 발견하면 마지막엔 뺄셈 한 번이 끝입니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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