AMC 8 · 2017 · #25
학년 8 geometry-2d문제
아래 그림에서 US 와 UT 는 각각 길이가 2 인 선분이고, m∠TUS=60∘ 입니다. 호 \overarcTR 과 \overarcSR 은 각각 반지름이 2 인 원의 61 입니다. 그림에 나타난 영역의 넓이는 얼마입니까?
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AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 도형의 경계는 두 선분 $\overline{US}$, $\overline{UT}$ (둘 다 길이 $2$ 이고 $U$ 에서 $\angle TUS = 60^\circ$ 로 만남) 와 두 호 $\overarc{SR}$, $\overarc{TR}$ (각각 반지름 $2$ 인 원의 $60^\circ$ 짜리 호) 로 이루어져 있습니다. 두 호는 영역 안쪽으로 오목하게 휘어 있고, 아래쪽 점 $R$ 에서 만납니다. 이 영역의 넓이를 구하세요.
주어진 것: $\overline{US} = \overline{UT} = 2$ 이고 $\angle TUS = 60^\circ$ 이므로 $\triangle TUS$ 는 한 변이 $2$ 인 정삼각형; 호 $\overarc{SR}$ 은 반지름 $2$ 인 원의 $\tfrac{1}{6}$ — 즉 중심각 $60^\circ$ — 이고 어떤 점 $X$ 가 중심; 호 $\overarc{TR}$ 은 반지름 $2$ 인 원의 $\tfrac{1}{6}$ — 즉 중심각 $60^\circ$ — 이고 어떤 점 $Y$ 가 중심; 그림에서 두 호는 영역 안쪽으로 휘어 ($U$ 쪽으로 오목) 있음; 선택지: (A) $3\sqrt{3}-\pi$, (B) $4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$, (C) $2\sqrt{3}$, (D) $4\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$, (E) $4+\frac{4\pi}{3}$
구하는 것: 두 선분과 두 호로 둘러싸인 영역의 넓이
이해
문제 재정리: 도형의 경계는 두 선분 $\overline{US}$, $\overline{UT}$ (둘 다 길이 $2$ 이고 $U$ 에서 $\angle TUS = 60^\circ$ 로 만남) 와 두 호 $\overarc{SR}$, $\overarc{TR}$ (각각 반지름 $2$ 인 원의 $60^\circ$ 짜리 호) 로 이루어져 있습니다. 두 호는 영역 안쪽으로 오목하게 휘어 있고, 아래쪽 점 $R$ 에서 만납니다. 이 영역의 넓이를 구하세요.
주어진 것: $\overline{US} = \overline{UT} = 2$ 이고 $\angle TUS = 60^\circ$ 이므로 $\triangle TUS$ 는 한 변이 $2$ 인 정삼각형; 호 $\overarc{SR}$ 은 반지름 $2$ 인 원의 $\tfrac{1}{6}$ — 즉 중심각 $60^\circ$ — 이고 어떤 점 $X$ 가 중심; 호 $\overarc{TR}$ 은 반지름 $2$ 인 원의 $\tfrac{1}{6}$ — 즉 중심각 $60^\circ$ — 이고 어떤 점 $Y$ 가 중심; 그림에서 두 호는 영역 안쪽으로 휘어 ($U$ 쪽으로 오목) 있음; 선택지: (A) $3\sqrt{3}-\pi$, (B) $4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$, (C) $2\sqrt{3}$, (D) $4\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$, (E) $4+\frac{4\pi}{3}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
직선과 곡선이 섞여 있는 도형이라 하나의 넓이 공식으로는 끝나지 않습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 영역을 익숙한 조각으로 나눕니다 — 먼저 두 호를 각각의 현으로 바꿔 만든 직선 도형(정삼각형 두 개로 이루어진 마름모꼴 연꼴) 의 넓이를 구하고, 그 다음 현과 호 사이에 "가려져 있던" 두 활꼴을 빼면 됩니다. 활꼴 자체도 작은 문제: $60^\circ$ 부채꼴에서 $60^\circ$ 정삼각형을 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 — 주어진 그림 위에 현 $\overline{SR}$, $\overline{TR}$ 을 덧그리면 연꼴과 두 활꼴이 한눈에 보이고, 반지름 $2$, 중심각 $60^\circ$ 원의 현이라 두 현의 길이가 곧 $2$ 라는 것도 드러납니다.
실행 — 정답: B
7.G.A.2 단계 1 - 두 호 위에 현 $\overline{SR}$, $\overline{TR}$ 을 그어 봅니다.
- 각 현은 반지름 $2$, 중심각 $60^\circ$ 의 원에서 잘려 나오므로 두 반지름과 현이 정삼각형을 이루어 $SR = TR = 2$ 입니다.
- $US = UT = 2$ 와 합치면 네 변 $\overline{US}, \overline{SR}, \overline{RT}, \overline{TU}$ 가 모두 길이 $2$ 인 연꼴 $USRT$ 가 됩니다.
💡 두 변이 $2$ 이고 끼인각이 $60^\circ$ 인 이등변삼각형은 자동으로 정삼각형이 되므로 나머지 한 변도 $2$ 입니다.
6.G.A.1 단계 2 - 대각선 $\overline{ST}$ 로 연꼴을 갈라 넓이를 구합니다.
- $US = UT = ST = 2$ 이므로 $\triangle UST$ 는 정삼각형이고, 마찬가지로 $SR = RT = ST = 2$ 이므로 $\triangle SRT$ 도 정삼각형입니다.
- 한 변이 $s$ 인 정삼각형의 넓이는 $\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$ 이므로 각각 $\sqrt{3}$, 합쳐서 연꼴의 넓이는 $2\sqrt{3}$ 입니다.
💡 사각형을 두 삼각형으로 쪼개면 낯선 모양도 익숙한 공식 두 번이면 끝납니다.
7.G.B.4 단계 3 - 활꼴 하나의 넓이를 구합니다 (현 $\overline{SR}$ 과 호 $\overarc{SR}$ 사이의 초승달 모양 조각).
- 반지름 $2$ 원의 $60^\circ$ 부채꼴 넓이는 $\frac{60}{360}\pi r^2 = \frac{1}{6}\pi(4) = \frac{2\pi}{3}$.
- 여기서 두 반지름과 현으로 이루어진 한 변 $2$ 의 정삼각형 넓이 $\sqrt{3}$ 을 빼면 활꼴이 남습니다.
💡 활꼴 = "피자 조각 - 삼각형" — 이미 알고 있는 두 넓이의 뺄셈이면 충분합니다.
8.NS.A.1 단계 4 - 마지막으로 연꼴에서 두 활꼴을 뺍니다.
- 두 호가 영역 안쪽으로 오목하므로, 연꼴의 넓이는 영역보다 정확히 두 활꼴만큼 더 큽니다 (현 $\overline{SR}$ 위 하나, 현 $\overline{TR}$ 위 하나).
- 대칭이라 두 활꼴의 넓이는 같은 $\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$.
💡 $\sqrt{3}$ 과 $\pi$ 를 서로 다른 무리수로 따로 묶어 계산하는 것은 8학년에서 다루는 무리수 다루기와 같습니다.
7.G.A.2 두 호 위에 현 $\overline{SR}$, $\overline{TR}$ 을 그어 봅니다. 각 현은 반지름 $2$, 중심각 $60^\circ$ 6.G.A.1 대각선 $\overline{ST}$ 로 연꼴을 갈라 넓이를 구합니다. $US = UT = ST = 2$ 이므로 $\triangle UST$ 는 7.G.B.4 활꼴 하나의 넓이를 구합니다 (현 $\overline{SR}$ 과 호 $\overarc{SR}$ 사이의 초승달 모양 조각). 반지름 $2$ 원의 8.NS.A.1 마지막으로 연꼴에서 두 활꼴을 뺍니다. 두 호가 영역 안쪽으로 오목하므로, 연꼴의 넓이는 영역보다 정확히 두 활꼴만큼 더 큽니다 (현 $\ove 검토
합리성 확인: 수치로 확인하면 $4\sqrt{3} \approx 6.93$, $\frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ 이므로 넓이 $\approx 6.93 - 4.19 \approx 2.74$. 연꼴만의 넓이 $2\sqrt{3} \approx 3.46$ 에서 두 오목한 부분이 합쳐서 약 $0.7$ 조금 더 깎아 낸다는 직관과 정확히 맞습니다. 답이 양수 (좋음), 연꼴보다 작음 (호가 안쪽으로 파고드니 당연), $0$ 보다 큼 (호가 영역을 완전히 먹어 치우지는 않음) — 모두 통과. 선택지 (C) $2\sqrt{3}$ 은 $\pi$ 항이 사라져 있어 오답 (원이 분명히 끼어 있는데 $\pi$ 가 없을 수 없음), (E) 는 연꼴보다도 큰데 호가 깎아 내는 도형이라 불가능, (A), (D) 는 활꼴 항의 계수가 어긋남.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 을 좌표로 확장: $R = (2, 0)$, 두 부채꼴 중심을 $X = (0,0)$, $Y = (4,0)$ 으로 잡으면 $S = (1, \sqrt{3})$, $T = (3, \sqrt{3})$, $U = (2, 2\sqrt{3})$. 신발끈 공식으로 연꼴 넓이를 구하고 활꼴은 위와 같이 계산하면 동일하게 $4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$. 좌표 풀이는 답은 같지만 대칭을 먼저 살리는 위 풀이보다 준비 과정이 길어집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.A.2주어진 조건(특히 삼각형) 으로 도형 그리기 (길이 $2$ 인 두 변이 $60^\circ$ 로 만나면 정삼각형이 강제된다는 사실로부터 현 $SR = TR = 2$ 와 연꼴 $USRT$ 를 얻는 데 사용.)6.G.A.1삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성으로 구하기 (연꼴 $USRT$ 를 정삼각형 $\triangle UST$ 와 $\triangle SRT$ 두 개로 쪼개 넓이를 합쳐 $2\sqrt{3}$ 을 구하는 데 사용.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알고 쓰기 ($60^\circ$ 부채꼴 넓이 $\frac{60}{360}\pi r^2 = \frac{2\pi}{3}$ 를 구해 각 활꼴 뺄셈의 첫 항으로 쓰는 데 사용.)8.NS.A.1유리수가 아닌 수를 무리수라 한다는 개념 ($\sqrt{3}$ 과 $\pi$ 를 서로 다른 무리수 항으로 분리해 다루고 최종 답 $4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ 한 식으로 정리하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 $\sqrt{3}$, $\pi$ 같은 무리수 다루기와, 이미 알고 있는 원·삼각형 넓이 공식만 있으면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 $\sqrt{3}$, $\pi$ 같은 무리수 다루기와, 이미 알고 있는 원·삼각형 넓이 공식만 있으면 풀 수 있어요!
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