AMC 8 · 2018 · #13

학년 6 arithmeticalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

라일라는 만점이 각각 100점인 수학 시험 다섯 개를 보았습니다. 각 시험에서 라일라가 받은 점수는 0 이상 100 이하의 정수입니다. 라일라는 처음 네 번의 시험에서 모두 같은 점수를 받았고, 마지막 시험에서는 그보다 높은 점수를 받았습니다. 다섯 시험의 평균 점수가 82점이었다면, 라일라가 마지막 시험에서 받았을 수 있는 점수의 경우의 수는 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 라일라는 $5$ 번의 시험을 봤고, 각 시험 점수는 $0$ 이상 $100$ 이하의 정수입니다. 처음 네 번의 시험 점수는 모두 같은 값 $x$ 이고, 마지막 다섯 번째 시험 점수 $y$ 는 그보다 엄밀히 더 높습니다($y > x$). 다섯 점수의 평균이 $82$ 일 때, 마지막 시험 점수 $y$ 가 될 수 있는 정수 값은 몇 가지일까요?

주어진 것: 총 $5$ 번의 시험, 각 점수는 $0$ 이상 $100$ 이하 정수; $1$ 번부터 $4$ 번까지의 시험 점수는 모두 같은 값 $x$; $5$ 번 시험 점수 $y$ 는 $x$ 보다 엄밀히 큼($y > x$); 다섯 점수의 평균 $= 82$; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $18$

구하는 것: 주어진 조건을 모두 만족하는 마지막 시험 점수 $y$ 의 정수 값 개수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

"평균 $= 82$" 라는 조건을 "다섯 점수의 합 $= 410$" 으로 바꾸면 $4x + y = 410$ 이 됩니다. 이제 $y$ 는 $82$ 보다 크고 $100$ 이하인 좁은 구간에 갇히는데, 이렇게 후보가 적을 때는 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 후보 $y$ 를 하나씩 넣어 $x = (410 - y)/4$ 가 정수이면서 $y > x$ 인지 보는 게 가장 빠릅니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 후보 $y$ 를 작은 값부터 순서대로 훑어 누락과 중복을 막아 주고, 도구 #3(가능성 지우기) 은 $x$ 가 정수가 아니거나 $y > x$ 를 어기는 후보를 제거하는 방식입니다.

실행 — 정답: A

#6 추측하고 확인하기 6.SP.A.3 단계 1

평균 조건을 합으로 바꿉니다.
다섯 점수의 평균이 $82$ 이므로 다섯 점수의 합은 $5 \times 82 = 410$ 입니다.
처음 네 점수는 $x$, 다섯 번째 점수는 $y$ 이므로 $4x + y = 410$ 이 됩니다.

$$\dfrac{x + x + x + x + y}{5} = 82 \;\Longrightarrow\; 4x + y = 410$$

💡 평균 $\times$ 개수 $=$ 총합 — 평균을 "여러 값을 대표하는 한 숫자" 로 보는 6학년 관점이 합으로 바꿔 주는 핵심입니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 2

$y$ 가 들어갈 수 있는 구간을 좁힙니다.
$y > x$ 이므로 마지막 점수 $y$ 는 평균 $82$ 보다 커야 합니다(만약 $x \ge 82$ 라면 $4x \ge 328$ 이어서 $y \le 82 \le x$ 가 되어 $y > x$ 와 모순).
여기에 $y \le 100$ 이라는 상한을 함께 적용하면 $83 \le y \le 100$ 입니다.

$$y > 82 \text{ 이고 } y \le 100 \;\Longrightarrow\; 83 \le y \le 100$$

💡 $y > 82$, $y \le 100$ 처럼 부등식 두 개로 변수의 범위를 가두는 것은 6학년 "수직선 위 부등식" 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

구간 안의 각 후보 $y$ 에 대해 $4x = 410 - y$ 를 푸는데, $x$ 가 정수가 되려면 $410 - y$ 가 $4$ 의 배수여야 합니다.
즉 $y$ 와 $410$ 이 $4$ 로 나눴을 때 같은 나머지를 가져야 합니다.
$410 = 4 \cdot 102 + 2$ 이므로 $y$ 는 $4$ 로 나눴을 때 나머지가 $2$ 여야 합니다.

$$4x = 410 - y \;\Longrightarrow\; y \text{ 를 } 4 \text{ 로 나눈 나머지} = 2$$

💡 어떤 수가 $4$ 의 배수인지, $4$ 로 나눈 나머지가 얼마인지 따지는 것은 4학년의 약수·배수 사고 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 4

$83 \le y \le 100$ 범위에서 "$4$ 로 나눈 나머지가 $2$" 인 수를 빠짐없이 나열합니다.
$86 = 4 \cdot 21 + 2$ 부터 시작해 $4$ 씩 더해 가면 $86, 90, 94, 98$ 이며, 다음 후보 $102$ 는 $100$ 을 넘으므로 제외됩니다.

$$y \in \{86,\; 90,\; 94,\; 98\}$$

💡 "$86$ 에서 시작해 $4$ 씩 더하기" 같은 규칙으로 수를 만들어 내는 것은 4학년 수·도형 패턴 단원에서 다루는 활동입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 5

각 후보에 대해 $x = (410 - y)/4$ 를 계산해 정수이며 $y > x$ 를 만족하는지 확인하고 개수를 셉니다.

$y = 86 \Rightarrow x = 81$, $y = 90 \Rightarrow x = 80$, $y = 94 \Rightarrow x = 79$, $y = 98 \Rightarrow x = 78$ — 모두 정수이고 $y > x$. 개수 $= 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$

💡 후보를 식에 직접 대입해 살아남는 개수를 세는 것은 4학년 "여러 단계 사칙연산 문장제" 그대로입니다.

[1] #6 6.SP.A.3 평균 조건을 합으로 바꿉니다. 다섯 점수의 평균이 $82$ 이므로 다섯 점수의 합은 $5 \times 82 = 410$ 입니다. 처음 네 점수는

[2] #3 6.EE.B.8 $y$ 가 들어갈 수 있는 구간을 좁힙니다. $y > x$ 이므로 마지막 점수 $y$ 는 평균 $82$ 보다 커야 합니다(만약 $x \ge 82

[3] #6 4.OA.B.4 구간 안의 각 후보 $y$ 에 대해 $4x = 410 - y$ 를 푸는데, $x$ 가 정수가 되려면 $410 - y$ 가 $4$ 의 배수여야 합

[4] #2 4.OA.C.5 $83 \le y \le 100$ 범위에서 "$4$ 로 나눈 나머지가 $2$" 인 수를 빠짐없이 나열합니다. $86 = 4 \cdot 21 +

[5] #6 4.OA.A.3 각 후보에 대해 $x = (410 - y)/4$ 를 계산해 정수이며 $y > x$ 를 만족하는지 확인하고 개수를 셉니다.

검토

합리성 확인: 양 끝 값을 직접 검산합니다. 가장 작은 $y = 86$ 일 때 $x = 81$ 이고 평균은 $(4 \cdot 81 + 86)/5 = 410/5 = 82$, $86 > 81$ 도 OK. 가장 큰 $y = 98$ 일 때 $x = 78$ 이고 평균은 $(4 \cdot 78 + 98)/5 = 410/5 = 82$, $98 > 78$ 도 OK. $y$ 가 $1$ 증가하면 $x$ 는 $\tfrac{1}{4}$ 감소해야 하므로, $x$ 를 정수로 유지하려면 $y$ 는 반드시 $4$ 의 간격으로 움직여야 하고 그래서 후보가 정확히 $4$ 개 — 선택지 (A) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기) 로 경계에서부터 내려옵니다. 최대 후보 $y = 100$ 부터 시도: $410 - 100 = 310$ 은 $4$ 의 배수가 아니므로 탈락. $1$ 씩 내려 $y = 98$ 에서 $x = 78$ 로 첫 성공. 이후엔 $4$ 의 간격으로 내려가면 되므로 $94, 90, 86$ 까지 진행하고, 그다음 $82$ 는 $y = x = 82$ 가 되어 $y > x$ 를 어기므로 멈춥니다. 총 $4$ 개, 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.A.3 대푯값은 여러 자료 값을 하나의 수로 요약함을 이해 (평균 $82$ 를 "다섯 점수를 대표하는 한 숫자" 로 해석해 총합 $5 \times 82 = 410$ 으로 바꾸고 $4x + y = 410$ 을 세우는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 ($y > 82$(평균과 $y > x$ 에서 유도)와 $y \le 100$(문제의 상한)을 함께 써서 후보 $y$ 의 범위를 $83 \le y \le 100$ 으로 가두는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수의 쌍과 배수 찾기, 소수와 합성수 판별 ($x = (410 - y)/4$ 가 정수가 되려면 $410 - y$ 가 $4$ 의 배수여야 함을 판단하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ("$86$ 부터 $4$ 씩 더해 $100$ 까지" 규칙으로 가능한 $y$ 들을 $86, 90, 94, 98$ 로 나열하는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 사용한 여러 단계 문장제 해결 (각 후보 $y$ 에 대해 $x = (410 - y)/4$ 를 계산하고 $y > x$ 를 확인해 살아남는 개수를 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평균 $\times$ 개수 $=$ 총합" 과 부등식만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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