AMC 8 · 2018 · #18
학년 6 number-theory문제
23,232의 양의 약수는 몇 개입니까?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $23{,}232$ 을(를) 나누어떨어지게 하는 양의 정수($1$ 과 $23{,}232$ 자체 포함)가 모두 몇 개인지 세어, 일치하는 선택지를 고릅니다.
주어진 것: 대상 수는 $23{,}232$; 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $28$, (D) $36$, (E) $42$; 약수의 "개수" 만 필요하고, 약수 목록 자체는 필요 없음
구하는 것: $23{,}232$ 의 양의 약수의 개수
이해
문제 재정리: $23{,}232$ 을(를) 나누어떨어지게 하는 양의 정수($1$ 과 $23{,}232$ 자체 포함)가 모두 몇 개인지 세어, 일치하는 선택지를 고릅니다.
주어진 것: 대상 수는 $23{,}232$; 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $28$, (D) $36$, (E) $42$; 약수의 "개수" 만 필요하고, 약수 목록 자체는 필요 없음
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기
$23{,}232$ 의 약수를 직접 다 나열하는 건 너무 힘듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 두 단계로 나눕니다 — (a) $23{,}232$ 를 소인수분해 하고, (b) 소인수분해 결과로 약수 개수를 구한다. 두 번째 단계의 "공식" 을 그냥 외우지 않고 정당화하기 위해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 와 도구 #5(패턴 찾기) 를 같이 씁니다. 예를 들어 $12 = 2^2 \cdot 3$ 의 약수 $6$ 개를 직접 나열해 보면 $6 = (2+1)(1+1)$ 이라는 규칙이 눈에 들어오고, 이걸 큰 수에 그대로 적용하면 됩니다 — 공식 암기보다 훨씬 초등 수준에 친절합니다.
실행 — 정답: E
5.NBT.B.6 단계 1 - 먼저 인수 $2$ 를 끝까지 빼냅니다.
- $23{,}232$ 는 짝수이므로 홀수가 나올 때까지 $2$ 로 계속 나누고, 나눈 횟수만큼 $2$ 가 들어 있다는 뜻입니다.
💡 여러 자리 수를 한 자리 수로 반복해서 나누는 것은 5학년 "긴 나눗셈" 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 남은 홀수 부분 $363$ 을 분해합니다.
- 각 자리 숫자의 합 $3+6+3=12$ 는 $3$ 의 배수이므로 $363$ 도 $3$ 의 배수이고, $363 \div 3 = 121$ 입니다.
- $121 = 11 \times 11 = 11^2$ 은 잘 알려진 제곱수입니다.
💡 자릿수 합 규칙으로 $3 \mid 363$ 을 알아내고 $121 = 11^2$ 을 알아채는 것은 4학년 "약수쌍·소수/합성수" 의 핵심입니다.
4.OA.B.4 단계 3 - 어떤 "공식" 을 쓰기 전에, 더 쉬운 수로 먼저 규칙을 확인해 봅니다.
- $12 = 2^2 \cdot 3^1$ 의 약수를 직접 다 적으면 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — $6$ 개입니다.
- 그런데 $(2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6$ 으로 정확히 맞습니다.
- 각 약수는 "$2$ 를 몇 개 쓸까"($0, 1, 2$ 중 하나)와 "$3$ 을 몇 개 쓸까"($0$ 또는 $1$)를 따로 골라서 만들기 때문에, 선택지의 개수가 곱해지는 거예요.
💡 작은 수에서 먼저 풀어 보는 것이 4학년 "모든 약수쌍 찾기" 이고, 동시에 곱셈 규칙이 "왜 그런지" 가 자연스럽게 보입니다.
6.EE.A.1 단계 4 - 방금 본 규칙을 $23{,}232 = 2^6 \cdot 3^1 \cdot 11^2$ 에 그대로 적용합니다.
- 약수에 들어가는 $2$ 의 지수는 $0,1,2,3,4,5,6$ 중 하나($7$ 가지), $3$ 의 지수는 $0$ 또는 $1$($2$ 가지), $11$ 의 지수는 $0,1,2$ 중 하나($3$ 가지)이고, 이 선택들은 서로 독립이라 그냥 곱해 줍니다.
💡 소인수분해 $p^e$ 에서 지수 $e$ 를 읽어내 $e+1$ 가지 선택으로 바꾸는 것은 6학년 "자연수 지수" 의 기본 활용입니다.
4.OA.B.4 단계 5 - 구한 약수 개수 $42$ 를 선택지와 맞춰 봅니다.
- 선택지 (E) 가 $42$ 입니다.
💡 결과를 선택지와 대조하는 것은 4학년 "약수 개수 확인" 수준의 마지막 점검입니다.
5.NBT.B.6 먼저 인수 $2$ 를 끝까지 빼냅니다. $23{,}232$ 는 짝수이므로 홀수가 나올 때까지 $2$ 로 계속 나누고, 나눈 횟수만큼 $2$ 가 4.OA.B.4 남은 홀수 부분 $363$ 을 분해합니다. 각 자리 숫자의 합 $3+6+3=12$ 는 $3$ 의 배수이므로 $363$ 도 $3$ 의 배수이고, 4.OA.B.4 어떤 "공식" 을 쓰기 전에, 더 쉬운 수로 먼저 규칙을 확인해 봅니다. $12 = 2^2 \cdot 3^1$ 의 약수를 직접 다 적으면 $1, 6.EE.A.1 방금 본 규칙을 $23{,}232 = 2^6 \cdot 3^1 \cdot 11^2$ 에 그대로 적용합니다. 약수에 들어가는 $2$ 의 지수는 $ 4.OA.B.4 구한 약수 개수 $42$ 를 선택지와 맞춰 봅니다. 선택지 (E) 가 $42$ 입니다. 검토
합리성 확인: 소인수분해가 맞는지 빠르게 확인해 봅시다 — $2^6 = 64$, $64 \times 3 = 192$, 그리고 $192 \times 121 = 23{,}232$ ($192 \times 100 = 19{,}200$, $192 \times 21 = 4{,}032$, 합치면 $23{,}232$). 또한 $42$ 는 선택지 중 가장 큰 값인데, 서로 다른 소인수 $3$ 개와 그중 $2$ 의 지수가 $6$ 이나 되는 수라면 약수가 많이 나오는 게 자연스럽습니다. $9$ 나 $12$ 같은 작은 값보다 $42$ 가 훨씬 그럴듯합니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 를 백업으로 쓸 수 있습니다. 소인수분해 $2^6 \cdot 3 \cdot 11^2$ 이 손에 있으면, 약수를 $11$ 의 거듭제곱별로 나눠서 표로 정리합니다 — $11^0$ 행에는 $2^6 \cdot 3$ 의 약수($14$ 개)가 그대로 들어가고, $11^1$ 행은 $11$ 을 곱한 같은 $14$ 개, $11^2$ 행은 $121$ 을 곱한 같은 $14$ 개. 합 $= 14 + 14 + 14 = 42$ — 곱셈 공식을 쓰지 않고도 같은 답을 얻습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NBT.B.6최대 네 자리 피제수와 두 자리 제수의 자연수 나눗셈의 몫 구하기 ($23{,}232$ 에서 $2$ 를 뽑아내는 연속 나눗셈 $23232 \div 2 \div 2 \div \cdots$ 와 $363 \div 3$ 같은 긴 나눗셈을 수행.)4.OA.B.4약수쌍 모두 찾기, 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($2$, $3$, $11$ 이 소수임을 인식하고, 자릿수 합으로 $3$ 의 배수 판정, $121 = 11^2$ 알아채기, 그리고 작은 수 $12 = 2^2 \cdot 3$ 에서 약수 개수 규칙을 직접 확인하는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 쓰기와 계산 ($23{,}232 = 2^6 \cdot 3^1 \cdot 11^2$ 에서 각 지수를 읽어 "$e+1$ 가지 선택" 으로 바꾸고, $(6+1)(1+1)(2+1) = 42$ 로 곱하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "자연수 지수" 와 4학년 "소인수" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "자연수 지수" 와 4학년 "소인수" 만 알면 풀 수 있어요!
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