AMC 8 · 2018 · #20
학년 8 geometry-2d문제
△ABC에서 변 AB 위에 점 E가 있고 AE=1, EB=2입니다. 점 D는 변 AC 위의 점이며 DE∥BC를 만족하고, 점 F는 변 BC 위의 점이며 EF∥AC를 만족합니다. 사각형 CDEF의 넓이와 △ABC의 넓이의 비는 얼마입니까?
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 에서 변 $\overline{AB}$ 위의 점 $E$ 가 $AE = 1$, $EB = 2$ 를 만족합니다. $E$ 를 지나는 직선 중 $\overline{BC}$ 와 평행한 직선을 그어 변 $\overline{AC}$ 와 만나는 점을 $D$, $\overline{AC}$ 와 평행한 직선을 그어 변 $\overline{BC}$ 와 만나는 점을 $F$ 라고 하면, 네 점 $C, D, E, F$ 가 삼각형 안에 사각형을 이룹니다. 이 사각형 $CDEF$ 의 넓이는 삼각형 $ABC$ 넓이의 몇 분의 몇일까요?
주어진 것: $E$ 는 $\overline{AB}$ 위의 점이고 $AE = 1$, $EB = 2$ 이므로 $AB = 3$; $D$ 는 $\overline{AC}$ 위의 점이고 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$; $F$ 는 $\overline{BC}$ 위의 점이고 $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$; 선택지: (A) $\tfrac{4}{9}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{5}{9}$, (D) $\tfrac{3}{5}$, (E) $\tfrac{2}{3}$
구하는 것: 넓이의 비 $\dfrac{[CDEF]}{[\triangle ABC]}$
이해
문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 에서 변 $\overline{AB}$ 위의 점 $E$ 가 $AE = 1$, $EB = 2$ 를 만족합니다. $E$ 를 지나는 직선 중 $\overline{BC}$ 와 평행한 직선을 그어 변 $\overline{AC}$ 와 만나는 점을 $D$, $\overline{AC}$ 와 평행한 직선을 그어 변 $\overline{BC}$ 와 만나는 점을 $F$ 라고 하면, 네 점 $C, D, E, F$ 가 삼각형 안에 사각형을 이룹니다. 이 사각형 $CDEF$ 의 넓이는 삼각형 $ABC$ 넓이의 몇 분의 몇일까요?
주어진 것: $E$ 는 $\overline{AB}$ 위의 점이고 $AE = 1$, $EB = 2$ 이므로 $AB = 3$; $D$ 는 $\overline{AC}$ 위의 점이고 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$; $F$ 는 $\overline{BC}$ 위의 점이고 $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$; 선택지: (A) $\tfrac{4}{9}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{5}{9}$, (D) $\tfrac{3}{5}$, (E) $\tfrac{2}{3}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 그림이 곧 문제의 본질이므로 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 씁니다. 삼각형 $ABC$ 를 스케치하고 $\overline{AB}$ 를 삼등분해서 $E$ 를 찍은 뒤, $\overline{BC}$ 와 평행한 $\overline{DE}$, $\overline{AC}$ 와 평행한 $\overline{EF}$ 를 그으면, 삼각형 $ABC$ 가 세 조각 — 꼭짓점 $A$ 쪽의 작은 삼각형 $\triangle ADE$, 꼭짓점 $B$ 쪽의 작은 삼각형 $\triangle EBF$, 그리고 남는 사각형 $CDEF$ — 으로 깔끔하게 나뉘는 게 보입니다. 바로 이 분할이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 노리는 지점입니다 — $[CDEF]$ 를 직접 구하는 대신, 두 모서리 삼각형이 전체의 몇 분의 몇인지를 각각 구해서 $1$ 에서 빼면 됩니다. 두 모서리 삼각형은 평행선 덕분에 $\triangle ABC$ 와 닮음이므로 닮음비의 제곱으로 넓이비가 정해지는 한 가지 원리를 두 번 적용하는 구조입니다.
실행 — 정답: A
4.G.A.2 단계 1 - 그림을 그려서 도형의 구조를 파악합니다.
- 삼각형 $ABC$ 를 그리고 $\overline{AB}$ 위에 $AE = 1$, $EB = 2$ 가 되도록 $E$ 를 찍습니다 ($E$ 가 $A$ 에서 $B$ 방향으로 $\tfrac{1}{3}$ 지점).
- 그 다음 $\overline{BC}$ 와 평행한 $\overline{DE}$, $\overline{AC}$ 와 평행한 $\overline{EF}$ 를 그으면 두 선이 삼각형 $ABC$ 를 세 영역으로 나눕니다 — $A$ 쪽 모서리 삼각형 $\triangle ADE$, $B$ 쪽 모서리 삼각형 $\triangle EBF$, 그리고 남는 사각형 $CDEF$.
💡 두 쌍의 평행변을 표시하면서 도형을 분류하는 것은 4학년 "평행·수직에 따른 도형 분류" 그대로이고, 분할 구조를 눈으로 보이게 해 줍니다.
8.G.A.5 단계 2 - 두 모서리 삼각형이 삼각형 $ABC$ 와 닮음이라는 걸 인식합니다.
- $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ 이므로 동위각이 같아져 $\triangle ADE$ 의 세 각이 $\triangle ABC$ 의 세 각과 모두 같습니다 — 따라서 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ 이고 닮음비는 $\tfrac{AE}{AB} = \tfrac{1}{3}$.
- 같은 논리로 $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$ 가 $\triangle EBF \sim \triangle ABC$ 를 주고, 닮음비는 $\tfrac{EB}{AB} = \tfrac{2}{3}$ 입니다.
💡 삼각형의 한 변과 평행한 직선이 다른 두 변을 자르면 같은 모양의 작은 삼각형이 생긴다는 것은 평행선과 동위각에 관한 8학년 명제 그대로입니다.
7.G.A.1 단계 3 - 닮음비(변의 비)를 넓이의 비로 바꿉니다.
- 닮음비가 $k$ 인 두 도형의 넓이는 $k^2$ 배 차이가 납니다(밑변에서 한 번, 높이에서 한 번 $k$ 배가 되기 때문).
- 따라서 $\triangle ADE$ 는 $[\triangle ABC]$ 의 $\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2 = \tfrac{1}{9}$, $\triangle EBF$ 는 $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9}$ 입니다.
💡 축척이 $k$ 인 도면에서 넓이는 $k^2$ 배로 변한다는 것은 7학년 "축척 도면 — 길이와 넓이" 표준 그대로입니다.
5.NF.A.1 단계 4 - 전체에서 두 모서리 삼각형을 빼면 사각형 $CDEF$ 의 넓이 비율이 나옵니다.
- $CDEF$ 는 삼각형에서 두 모서리 조각을 도려낸 나머지이므로, 전체 넓이의 $1 - \tfrac{1}{9} - \tfrac{4}{9}$ 입니다.
💡 분모가 같은 분수의 덧셈·뺄셈은 5학년 분수 연산 그대로이고, 이 단계 하나로 답이 나옵니다.
4.G.A.2 그림을 그려서 도형의 구조를 파악합니다. 삼각형 $ABC$ 를 그리고 $\overline{AB}$ 위에 $AE = 1$, $EB = 2$ 가 되 8.G.A.5 두 모서리 삼각형이 삼각형 $ABC$ 와 닮음이라는 걸 인식합니다. $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ 이므 7.G.A.1 닮음비(변의 비)를 넓이의 비로 바꿉니다. 닮음비가 $k$ 인 두 도형의 넓이는 $k^2$ 배 차이가 납니다(밑변에서 한 번, 높이에서 한 번 5.NF.A.1 전체에서 두 모서리 삼각형을 빼면 사각형 $CDEF$ 의 넓이 비율이 나옵니다. $CDEF$ 는 삼각형에서 두 모서리 조각을 도려낸 나머지이므로 검토
합리성 확인: 두 모서리 조각이 차지하는 비율이 $\tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9} = \tfrac{5}{9}$ 이므로 $CDEF$ 에는 $\tfrac{4}{9}$ 가 남고, 이는 선택지 (A) 와 정확히 일치합니다. 직관 점검: $E$ 가 $A$ 쪽에 가깝게 붙어 있으므로 $B$ 쪽 모서리 삼각형이 더 커야 하는데, 실제로 $\tfrac{4}{9} > \tfrac{1}{9}$ 로 그림과 부합합니다. 또 $\tfrac{4}{9} < \tfrac{1}{2}$ 이라서 "사각형이 삼각형의 절반보다 조금 작아 보인다" 는 시각적 인상과도 맞습니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)로 좌표를 도입합니다 — $A = (0,0)$, $B = (3,0)$, $C = (0,3)$ 으로 두면 $[\triangle ABC] = \tfrac{9}{2}$. 이때 $E = (1,0)$ 이고, $\overline{BC}$ 와 평행하게 $E$ 를 지나는 직선(기울기 $-1$)이 $\overline{AC}$ 와 만나는 점은 $D = (0,1)$, $\overline{AC}$ ($y$ 축)와 평행하게 $E$ 를 지나는 수직선이 $\overline{BC}$ 와 만나는 점은 $F = (1,2)$. 네 점 $C(0,3), D(0,1), E(1,0), F(1,2)$ 에 신발끈 공식을 적용하면 넓이 $2$, 따라서 비율은 $\tfrac{2}{9/2} = \tfrac{4}{9}$ 로 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.2평행한 변 또는 수직인 변의 유무에 따라 평면도형 분류 (두 쌍의 평행 조건($\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$)을 인식하고 그에 따라 $\triangle ABC$ 를 두 모서리 삼각형과 평행사변형 $CDEF$ 로 분할하는 데 사용.)8.G.A.5평행선과 동위각·내각의 합 등 기본 사실을 비형식적 논증으로 정당화 (AA 닮음 포함) ($\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ 와 $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$ 에서 동위각이 같아 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, $\triangle EBF \sim \triangle ABC$ 를 정당화하는 데 사용.)7.G.A.1축척 도면 — 실제 길이와 넓이 계산 (변의 닮음비 $\tfrac{1}{3}$, $\tfrac{2}{3}$ 을 넓이의 비 $\tfrac{1}{9}$, $\tfrac{4}{9}$ 로 바꾸는 데(즉 넓이는 닮음비의 제곱으로 변한다는 사실)에 사용.)5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (모서리 두 삼각형의 비율을 합쳐 빼는 마지막 계산 $1 - \tfrac{1}{9} - \tfrac{4}{9} = \tfrac{4}{9}$ 에 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "평행선이 만들어 주는 닮음 삼각형의 넓이는 닮음비의 제곱" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "평행선이 만들어 주는 닮음 삼각형의 넓이는 닮음비의 제곱" 만 알면 풀 수 있어요!
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