AMC 8 · 2018 · #23

• 표본 공간의 크기를 구합니다.
• $8$ 개의 꼭짓점에서 순서를 따지지 않고 $3$ 개를 고르는 경우의 수이므로 조합 $\binom{8}{3}$ 입니다.

💡 순서가 상관없는 묶음을 세는 것은 조합이며, 7학년 "표·목록을 이용한 복합 사건 세기" 에 해당합니다.

• 관점을 여사건으로 바꿉니다.
• "적어도 한 변 공유" 는 공유 변이 $1$ 개인지 $2$ 개인지에 따라 경우가 나뉘어 직접 세기 번거롭습니다.
• 반대 사건인 "공유 변이 하나도 없음" 은 "고른 세 꼭짓점 중 어느 둘도 이웃하지 않음" 이라는 한 가지 조건과 같으므로 이쪽을 셉니다.

💡 "적어도 하나" 를 "하나도 없음" 으로 뒤집는 것은 7학년 확률 모델의 여사건 규칙입니다.

• 어느 둘도 이웃하지 않는 세 꼭짓점 묶음 $\{V_a, V_b, V_c\}$ ($a < b < c$) 를 빠짐없이 나열합니다.
• 정팔각형은 원형 배열이라 $V_1$ 과 $V_8$ 도 이웃입니다.
• $a = 1$ 로 고정하면 $b \neq 2$ 이고 $c \neq 8$ 이며 $c \neq b+1$ 이어야 하므로 가능한 묶음은 $\{1,3,5\}, \{1,3,6\}, \{1,3,7\}, \{1,4,6\}, \{1,4,7\}, \{1,5,7\}$ 의 $6$ 개입니다.
• 원형 대칭성과 함께, 원 위에서 이웃하지 않는 $k$ 개를 $n$ 자리에서 고르는 공식 $\dfrac{n}{n-k}\binom{n-k}{k}$ ($n=8, k=3$) 로 확인합니다.

💡 직접 나열한 결과와 공식 결과가 모두 $16$ 개로 맞아떨어집니다.

• 여사건 확률을 구합니다.
• 동등한 $56$ 개의 삼각형 중 정팔각형과 변을 전혀 공유하지 않는 삼각형이 $16$ 개입니다.

💡 확률 $=$ (유리한 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수) 이라는 7학년 확률 모델 그대로입니다.

$1$ 에서 빼서 원래 "적어도 한 변 공유" 확률을 복원하고, 약분된 형태로 정리합니다.

💡 $1$ 에서 분수를 빼고 $\tfrac{5}{7}$ 이 기약분수임을 확인하는 것은 4학년 분수 동치 개념입니다.