AMC 8 · 2019 · #11

학년 2 countinglogic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitionsystematic-enumerationlinear-equations-one-var caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: set-partition

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

링컨 중학교의 $8$ 학년에는 $93$ 명의 학생이 있습니다. 각 학생은 수학 수업이나 외국어 수업을 듣거나, 또는 두 수업을 모두 듣습니다. 수학 수업을 듣는 $8$ 학년 학생은 $70$ 명이고, 외국어 수업을 듣는 $8$ 학년 학생은 $54$ 명입니다. 수학 수업만 듣고 외국어 수업은 듣지 않는 $8$ 학년 학생은 몇 명입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 링컨 중학교 8학년은 모두 $93$ 명이고, 학생들은 모두 수학 수업이나 외국어 수업 중 하나(또는 둘 다)를 듣습니다. 수학 수업을 듣는 학생은 $70$ 명, 외국어 수업을 듣는 학생은 $54$ 명일 때, 수학 수업은 듣지만 외국어 수업은 듣지 않는 학생은 몇 명일까요?

주어진 것: 8학년 전체 학생 수: $93$ 명 (모두 수학·외국어 중 적어도 하나는 듣는다); 수학 수업을 듣는 학생 수: $70$ 명; 외국어 수업을 듣는 학생 수: $54$ 명; 선택지: (A) $16$, (B) $53$, (C) $31$, (D) $39$, (E) $70$

구하는 것: 수학 수업은 듣지만 외국어 수업은 듣지 않는 학생 수 ("수학만" 그룹)

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

"만"이라는 조건과 두 그룹이 겹치는 상황은 도구 #12(벤 다이어그램)의 전형적인 신호입니다. 두 원을 겹쳐 그리고 세 영역 — "수학만", "둘 다", "외국어만" — 으로 학생을 분류하면 문제 구조가 한눈에 보입니다. 다이어그램을 보면 도구 #16(여집합)으로 지름길이 보입니다 — 모든 학생이 둘 중 하나는 듣기 때문에, 외국어 원 밖에 있는 학생은 반드시 "수학만" 영역에 있습니다. 따라서 "수학만" $= $ 전체 $- $ 외국어 수강생 으로, 굳이 "둘 다" 인 학생 수를 먼저 구하지 않아도 됩니다.

실행 — 정답: D

#12 벤 다이어그램 그리기 K.MD.B.3 단계 1

수학($M$)과 외국어($F$)를 나타내는 두 원을 겹쳐 그립니다.
그러면 $93$ 명이 세 영역 — "수학만"(왼쪽), "둘 다"(가운데), "외국어만"(오른쪽) — 으로 나뉩니다.
모든 학생이 적어도 한 수업을 듣기 때문에 두 원 "바깥" 영역은 비어 있습니다.

$$\text{수학만} + \text{둘 다} + \text{외국어만} = 93$$

💡 학생들을 이름 붙인 그룹으로 분류해 각 그룹의 수를 세는 것은 유치원 "분류하고 개수 세기" 단계입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 1.OA.B.4 단계 2

여집합 관찰을 사용합니다.
"수학만" 영역에 있는 학생은 정확히 외국어 원에 들어 있지 않은 학생입니다.
외국어 원이 $54$ 명을 모두 덮고 두 원 바깥에는 아무도 없으므로, "수학만" 학생 수는 전체에서 외국어 수강생 수를 빼면 바로 나옵니다.

$$\text{수학만} = 93 - 54$$

💡 "외국어 그룹을 빼고 남은 사람은 몇 명?" 으로 묻는 것은 1학년 "미지의 덧수로서의 뺄셈" 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 2.NBT.B.5 단계 3

뺄셈을 수행합니다.
$93 - 54$ 는 일의 자리에서 $3$ 에서 $4$ 를 뺄 수 없으므로 받아내림이 필요하며, 답은 $39$ 입니다.
따라서 수학 수업만 듣는 학생은 $39$ 명, 정답은 (D) 입니다.

$$93 - 54 = 39 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 받아내림이 있는 두 자리수 뺄셈은 2학년 유창성 표준 그대로입니다.

[1] #12 K.MD.B.3 수학($M$)과 외국어($F$)를 나타내는 두 원을 겹쳐 그립니다. 그러면 $93$ 명이 세 영역 — "수학만"(왼쪽), "둘 다"(가운데),

[2] #16 1.OA.B.4 여집합 관찰을 사용합니다. "수학만" 영역에 있는 학생은 정확히 외국어 원에 들어 있지 않은 학생입니다. 외국어 원이 $54$ 명을 모두 덮고

[3] #16 2.NBT.B.5 뺄셈을 수행합니다. $93 - 54$ 는 일의 자리에서 $3$ 에서 $4$ 를 뺄 수 없으므로 받아내림이 필요하며, 답은 $39$ 입니다. 따라

검토

합리성 확인: 세 영역의 합이 $93$ 인지 확인합니다. 수학만 $= 39$. 외국어만 $= 93 - 70 = 23$ (수학 원 밖에 있는 학생). 둘 다 $= 70 - 39 = 31$ (수학 수강생에서 수학만을 뺀 수). 합: $39 + 23 + 31 = 93$. 모든 영역이 음수가 아니고 합도 전체와 일치하므로 답이 내부적으로 일관됩니다. $39$ 는 함정 선택지 $31$ ("둘 다")과 $70$ (수학 전체) 사이의 값이라 크기도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) + 포함배제 원리로 풀어 봅시다. $|M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F|$ 에 대입하면 $93 = 70 + 54 - |M \cap F|$, 즉 $|M \cap F| = 31$. 그러면 수학만 $= |M| - |M \cap F| = 70 - 31 = 39$. 답은 같지만 뺄셈을 두 번 해야 합니다 — 벤 다이어그램 $+$ 여집합 경로가 한 번의 뺄셈으로 끝나서 더 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

K.MD.B.3 주어진 범주에 따라 사물을 분류하고 각 범주의 개수 세기 ($93$ 명을 벤 다이어그램의 세 영역(수학만, 둘 다, 외국어만)으로 분류해 각 학생이 정확히 한 영역에 속하도록 만드는 데 사용.)
1.OA.B.4 뺄셈을 미지의 덧수 구하기 문제로 이해하기 ("수학만" 그룹을 전체에서 외국어 수강생을 빼면 남는 부분으로 인식 — 빼기(미지의 덧수) 구조를 알아채는 데 사용.)
2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 유창하게 수행 (받아내림이 있는 두 자리수 뺄셈 $93 - 54 = 39$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 두 자리수 뺄셈만 알면 풀 수 있어요 — 벤 다이어그램이 어떤 수를 빼야 하는지 알려 주거든요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

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