AMC 8 · 2025 · #7

학년 2 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

interval-arithmeticset-partitionmulti-digit-arithmetic complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

조치 교수님의 수업에서 본 가장 최근 시험에서,

$95\%$ 이상의 점수를 받은 학생은 $5$ 명,

$90\%$ 이상의 점수를 받은 학생은 $13$ 명,

$85\%$ 이상의 점수를 받은 학생은 $27$ 명,

$80\%$ 이상의 점수를 받은 학생은 $50$ 명이었습니다.

$80\%$ 이상이면서 $90\%$ 미만의 점수를 받은 학생은 몇 명입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 조치 교수님 반의 시험 결과가 누적 인원수로 주어져 있습니다 — $95\%$ 이상 받은 학생이 $5$ 명, $90\%$ 이상이 $13$ 명, $85\%$ 이상이 $27$ 명, $80\%$ 이상이 $50$ 명. 점수가 $80\%$ 이상이면서 $90\%$ 미만인 학생은 모두 몇 명인지 구하는 문제입니다.

주어진 것: $95\%$ 이상 받은 학생 $5$ 명; $90\%$ 이상 받은 학생 $13$ 명; $85\%$ 이상 받은 학생 $27$ 명; $80\%$ 이상 받은 학생 $50$ 명; 선택지: (A) $8$, (B) $14$, (C) $22$, (D) $37$, (E) $45$

구하는 것: 점수 $s$ 가 $80\% \le s < 90\%$ 범위에 들어가는 학생 수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기)

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

표에 "$80\sim89\%$ 인 학생 수" 가 직접 적혀 있지 않아서, 그 구간을 한 명 한 명 세는 방식은 답이 안 나옵니다. 대신 그 구간은 "$80\%$ 이상" 인 큰 그룹 안에서 "$90\%$ 이상" 인 부분을 빼고 남은 나머지 — 즉 여집합 — 와 정확히 일치합니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 "구하려는 것" 을 "전체 $-$ 빼고 싶은 부분" 으로 다시 쓰면 그냥 뺄셈 한 번이 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "$80\%$ 이상" 이라는 한 묶음을 "$90\%$ 이상" 과 "$80\sim89\%$" 라는 겹치지 않는 두 조각으로 나누는 시야를 줍니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 $85\%$ 와 $95\%$ 줄이 이번 답에는 필요 없는 미끼 정보임을 먼저 솎아 내는 메타 동작입니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 2.OA.A.1 단계 1

어떤 두 줄만 진짜로 필요한지 먼저 가려냅니다.
우리가 알고 싶은 구간 $80 \le s < 90$ 의 경계선은 $80\%$ 와 $90\%$ 두 곳뿐이므로, 그 경계선과 무관한 $85\%$ 줄과 $95\%$ 줄은 이 문제에서는 미끼입니다.
옆으로 치워 둡니다.

💡 문장제에서 "구간의 경계와 맞닿은 정보만 골라 쓰기" 는 2학년 문장제 읽기 능력 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.B.4 단계 2

$80\%$ 이상을 받은 $50$ 명을 하나의 큰 묶음이라고 생각하면, 이 묶음은 겹치지 않는 두 조각으로 깔끔히 나뉩니다 — "$90\%$ 도 함께 넘은 학생들" 과 "$90\%$ 는 못 넘은 학생들($80\sim89\%$ 구간, 우리가 구하려는 $N$ 명)".

$$\underbrace{50}_{\ge 80\%} \;=\; \underbrace{13}_{\ge 90\%} \;+\; \underbrace{N}_{80\le s<90}$$

💡 전체를 겹치지 않는 두 조각으로 나누고 한쪽을 모르는 채로 두는 것은 1학년 "부분 $+$ 부분 $= $ 전체" 그림입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기) 2.NBT.B.5 단계 3

도구 #16(여집합) 을 씁니다.
우리가 원하는 $80\sim89\%$ 구간은 "$80\%$ 이상 전체" 에서 "$90\%$ 이상" 인 부분을 빼고 남은 사람들이므로, 두 누적값을 그대로 빼면 됩니다.

$$N = 50 - 13 = 37$$

💡 두 자리 수 안에서 한 번 빼는 계산이라, 대수가 전혀 필요 없는 2학년 뺄셈 유창성으로 끝납니다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.A.4 단계 4

구한 값 $N = 37$ 을 선택지에서 찾아 답 기호를 확인합니다.

$$37 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 내가 구한 수와 보기의 수를 견주어 같은 것을 고르는 것은 2학년 수 비교 그대로입니다.

[1] #3 2.OA.A.1 어떤 두 줄만 진짜로 필요한지 먼저 가려냅니다. 우리가 알고 싶은 구간 $80 \le s < 90$ 의 경계선은 $80\%$ 와 $90\%$ 두

[2] #7 1.OA.B.4 $80\%$ 이상을 받은 $50$ 명을 하나의 큰 묶음이라고 생각하면, 이 묶음은 겹치지 않는 두 조각으로 깔끔히 나뉩니다 — "$90\%$ 도

[3] #16 2.NBT.B.5 도구 #16(여집합) 을 씁니다. 우리가 원하는 $80\sim89\%$ 구간은 "$80\%$ 이상 전체" 에서 "$90\%$ 이상" 인 부분을

[4] #3 2.NBT.A.4 구한 값 $N = 37$ 을 선택지에서 찾아 답 기호를 확인합니다.

검토

합리성 확인: 크기부터 점검합니다 — $37$ 은 전체 $\ge 80\%$ 그룹의 $50$ 명보다는 작고 그 안의 $\ge 90\%$ 부분인 $13$ 명보다는 커야 하는데, 둘 다 맞습니다. 또 $37 + 13 = 50$ 으로 누적 인원수가 그대로 복원됩니다. 안 쓴 줄도 모순이 없습니다 — $\ge 85\%$ 가 $27$ 명, 그 중 $\ge 90\%$ 가 $13$ 명이므로 $85\sim89\%$ 는 $27 - 13 = 14$ 명이고, 그러면 우리 답 $80\sim89\%$ ($37$ 명) 은 자연스럽게 $80\sim84\%$ ($23$ 명) 와 $85\sim89\%$ ($14$ 명) 으로 나뉘어 모두 음수가 아닙니다. 모든 줄이 서로 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #12(벤 다이어그램 — 정확히는 "포함 관계 그림") 로도 같은 그림이 보입니다. $\ge 80$, $\ge 85$, $\ge 90$ 인 세 개의 동심 타원을 그리고 크기를 각각 $50$, $27$, $13$ 으로 적은 뒤, 각 고리에 뺄셈으로 인원수를 채우기만 하면 $80\sim89\%$ 고리는 곧장 $50 - 13 = 37$ 로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

1.OA.B.4 뺄셈을 "모르는 더하는 수" 찾기 문제로 이해하기 ($50 = 13 + N$ 이라는 부분 $+$ 부분 $= $ 전체 식에서 $\ge 80\%$ 그룹의 빠진 부분 $N$ 을 미지수로 두는 데 사용.)
2.OA.A.1 $100$ 이내의 덧셈·뺄셈을 사용하는 한·두 단계 문장제 해결 ("이상" 이라는 누적 표현을 읽고, 이 문제에 정말 필요한 두 수 $50$ 과 $13$ 만 골라 내는 데 사용.)
2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈·뺄셈을 유창하게 수행 (답을 만드는 단 한 번의 뺄셈 $50 - 13 = 37$ 을 수행.)
2.NBT.A.4 세 자리 수까지의 수 크기 비교 (계산한 값 $37$ 과 선택지의 수를 견주어 답 기호 (D) 를 선택.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 "$50 - 13 = 37$" 뺄셈 한 번만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

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