AMC 8 · 2019 · #15

학년 6 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

probability-basicratio-proportionset-partition identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 해변에서 $50$ 명이 선글라스를 쓰고 있고, $35$ 명이 모자를 쓰고 있습니다. 어떤 사람들은 선글라스와 모자를 모두 쓰고 있습니다. 모자를 쓴 사람 중에서 한 명을 임의로 골랐을 때, 그 사람이 선글라스도 쓰고 있을 확률은 $\frac{2}{5}$ 입니다. 반대로, 선글라스를 쓴 사람 중에서 한 명을 임의로 골랐을 때, 그 사람이 모자도 쓰고 있을 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{14}{85}$

(B)

$\frac{7}{25}$

(C)

$\frac{2}{5}$

(D)

$\frac{4}{7}$

(E)

$\frac{7}{10}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 해변에 선글라스를 쓴 사람이 $50$ 명, 모자를 쓴 사람이 $35$ 명 있어요. 두 가지를 같이 쓴 사람도 있는데, 모자를 쓴 사람 중에서 한 명을 무작위로 뽑았을 때 선글라스도 함께 쓰고 있을 확률이 $\frac{2}{5}$ 입니다. 이번에는 반대로 선글라스를 쓴 사람 중에서 한 명을 뽑는다면, 그 사람이 모자도 쓰고 있을 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 선글라스를 쓴 사람 = $50$ 명 (집합 $S$, $|S| = 50$); 모자를 쓴 사람 = $35$ 명 (집합 $C$, $|C| = 35$); 모자를 쓴 사람 가운데 $\frac{2}{5}$ 가 선글라스도 함께 씀; 선택지: (A) $\frac{14}{85}$, (B) $\frac{7}{25}$, (C) $\frac{2}{5}$, (D) $\frac{4}{7}$, (E) $\frac{7}{10}$

구하는 것: 선글라스를 쓴 사람 중에서 모자도 함께 쓴 사람의 비율

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램

보조 도구: #16 관점 바꾸기

"둘 다", "또한", "X 와 Y 를 같이" 같은 표현은 벤 다이어그램(도구 #12) 을 그리라는 신호입니다. $S$(선글라스)와 $C$(모자) 두 원을 겹쳐 그리면 상황이 한눈에 보이고, 핵심은 '겹친 부분(둘 다 쓴 사람)' 이 어느 쪽에서 봐도 똑같은 하나의 수라는 점입니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 이 문제의 "비틂" 입니다 — 겹친 $14$ 명은 모자 원에서 보면 $\tfrac{14}{35}$ 이지만, 선글라스 원에서 보면 $\tfrac{14}{50}$ 입니다. '전체' 로 어느 집단을 보느냐만 바뀔 뿐, 분자(겹친 사람 수)는 그대로입니다.

실행 — 정답: B

#12 벤 다이어그램 K.MD.B.3 단계 1

겹치는 두 원을 그리고 각각 $S$(선글라스, $50$ 명), $C$(모자, $35$ 명) 라고 이름 붙입니다.
가운데 겹친 부분(둘 다 쓴 사람의 수)이 먼저 채워야 할 미지수입니다.

$$|S| = 50, \quad |C| = 35, \quad |S \cap C| = ?$$

💡 사람들을 "선글라스만", "모자만", "둘 다" 의 세 묶음으로 분류하고 세는 것은 유치원 때 배운 "분류하고 세기" 그대로입니다.

#12 벤 다이어그램 4.NF.B.4 단계 2

모자를 쓴 사람의 비율로 겹친 부분을 채웁니다.
문제에서 모자를 쓴 $35$ 명 중 $\frac{2}{5}$ 가 선글라스도 쓰고 있다고 했으므로, 겹친 부분은 $35$ 의 $\frac{2}{5}$ 입니다.

$$|S \cap C| = \tfrac{2}{5} \times 35 = \tfrac{2 \times 35}{5} = \tfrac{70}{5} = 14$$

💡 어떤 묶음의 $\frac{2}{5}$ 를 구하기 위해 분수에 자연수를 곱하는 것은 4학년 때 배우는 분수 곱셈입니다.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 3

이제 시선을 바꿔 봅니다.
똑같은 그 $14$ 명은 선글라스 원에도 들어 있어요.
선글라스를 쓴 $50$ 명 중 $14$ 명이 모자도 쓰고 있으니, 새 확률은 $\frac{14}{50}$ 입니다.

$$P(\text{모자} \mid \text{선글라스}) = \dfrac{|S \cap C|}{|S|} = \dfrac{14}{50}$$

💡 '전체' 를 모자 집단에서 선글라스 집단으로 바꿔도 겹친 $14$ 명은 그대로라는 것 — 분자는 같고 분모만 $35 \to 50$ 으로 바뀐다는 비율 추론입니다.

#12 벤 다이어그램 4.NF.A.1 단계 4

분자와 분모를 둘의 최대공약수인 $2$ 로 나눠 약분하면 답이 나옵니다.
결과는 선택지 (B) 와 일치합니다.

$$\dfrac{14}{50} = \dfrac{14 \div 2}{50 \div 2} = \dfrac{7}{25} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\tfrac{14}{50}$ 을 $\tfrac{7}{25}$ 로 줄이는 약분은 4학년 "동치 분수" 기능 — 값은 같고 숫자만 작아집니다.

[1] #12 K.MD.B.3 겹치는 두 원을 그리고 각각 $S$(선글라스, $50$ 명), $C$(모자, $35$ 명) 라고 이름 붙입니다. 가운데 겹친 부분(둘 다 쓴 사

[2] #12 4.NF.B.4 모자를 쓴 사람의 비율로 겹친 부분을 채웁니다. 문제에서 모자를 쓴 $35$ 명 중 $\frac{2}{5}$ 가 선글라스도 쓰고 있다고 했으므로

[3] #16 6.RP.A.3 이제 시선을 바꿔 봅니다. 똑같은 그 $14$ 명은 선글라스 원에도 들어 있어요. 선글라스를 쓴 $50$ 명 중 $14$ 명이 모자도 쓰고 있으

[4] #12 4.NF.A.1 분자와 분모를 둘의 최대공약수인 $2$ 로 나눠 약분하면 답이 나옵니다. 결과는 선택지 (B) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 두 확률은 두 집단 크기의 비율과 관련이 있어야 합니다. 선글라스 집단($50$ 명) 이 모자 집단($35$ 명) 보다 크니까, 같은 겹친 부분이 차지하는 비율은 선글라스 쪽이 더 작아야 합니다 — 즉 답은 $\frac{2}{5}$ 보다 작아야 합니다. 확인해 보면 $\frac{7}{25} = 0.28$, $\frac{2}{5} = 0.40$ 이라 $0.28 < 0.40$, 예상과 정확히 일치합니다. 교차 확인으로 $\tfrac{2}{5} \times 35 = \tfrac{7}{25} \times 50 = 14$ 이므로 두 분수 모두 똑같은 $14$ 명을 가리키고 있음도 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 겹친 사람 수를 $x$ 로 놓으면, 모자 쪽에서 $\tfrac{x}{35} = \tfrac{2}{5}$ 이므로 $x = 14$. 그러면 선글라스 쪽 확률은 $\tfrac{x}{50} = \tfrac{14}{50} = \tfrac{7}{25}$. 답은 같지만 조금 더 형식적입니다. 벤 다이어그램 풀이가 어린 학생에게 더 직관적인 이유는 "겹친 부분" 이 그림으로 눈에 보이기 때문입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

K.MD.B.3 주어진 범주로 사물을 분류하고 각 범주의 개수를 세기 (해변에 있는 사람들을 '선글라스만', '모자만', '둘 다' 의 범주로 나누어 세는 작업 — 벤 다이어그램이 이를 시각적으로 보여 준다.)
4.NF.B.4 분수 곱셈 이해를 확장해 분수에 자연수를 곱하기 (벤 다이어그램의 겹친 부분을 찾기 위해 $\tfrac{2}{5} \times 35 = 14$ 를 계산하는 데 사용.)
4.NF.A.1 어떤 분수가 다른 분수와 동치인 이유 설명하기 ($\tfrac{14}{50}$ 을 분자·분모를 $2$ 로 나누어 $\tfrac{7}{25}$ 로 약분하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (겹친 $14$ 명은 그대로 두고 '전체' 를 모자 집단($35$) 에서 선글라스 집단($50$) 으로 옮겨 새 확률 $\tfrac{14}{50}$ 을 만들어 내는 비율 추론.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론 — "겹친 부분은 그대로 두고 '전체' 만 바꾸기" — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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