AMC 8 · 2019 · #16

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

ratelinear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

치앙은 평균 시속 $30$ 마일로 $15$ 마일을 운전합니다. 전체 운행의 평균 속력을 시속 $50$ 마일로 만들기 위해, 시속 $55$ 마일로 추가로 몇 마일을 더 운전해야 합니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

110

(E)

135

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 치앙은 이미 시속 $30$ 마일로 $15$ 마일을 달렸습니다. 이제 시속 $55$ 마일로 추가 거리 $d$ 마일을 더 달려서, 전체 여정의 평균 속력이 정확히 시속 $50$ 마일이 되도록 만들고 싶습니다. 더 달려야 하는 거리 $d$ 는 몇 마일일까요?

주어진 것: 첫 번째 구간: 시속 $30$ 마일로 $15$ 마일; 두 번째 구간: 시속 $55$ 마일로 미지의 거리 $d$ 마일; 전체 여정 목표 평균 속력: 시속 $50$ 마일; 평균 속력 $=$ 총 거리 $\div$ 총 시간; 선택지: (A) $45$, (B) $62$, (C) $90$, (D) $110$, (E) $135$ 마일

구하는 것: 치앙이 시속 $55$ 마일로 추가로 달려야 하는 거리 $d$ (마일)

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #8 단위 살펴보기

객관식 문제이고 각 선택지를 대입하면 평균 속력이 깔끔하게 계산되므로, 다섯 후보를 직접 넣어 보는 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 가장 빠른 정공법입니다 — $\tfrac{15+d}{0.5 + d/55} = 50$ 이라는 유리식 방정식을 대수로 푸는 것보다 훨씬 가볍습니다. 객관식이라면 자연스럽게 도구 #3(가능성 지우기) 도 따라옵니다 — 하나가 살아남을 때까지 후보를 지워 나갑니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 마일과 시간, mph 단위를 일관되게 맞춰서 "시속 50마일" 과 비교가 의미를 갖도록 잡아 주는 역할입니다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

먼저 $d$ 값과 상관없이 고정된 부분을 정리합시다.
첫 구간은 항상 $15$ 마일 $\div$ 시속 $30$ 마일 $= 0.5$ 시간이 걸립니다.
따라서 어떤 $d$ 를 넣든 총 거리는 $15 + d$, 총 시간은 $0.5 + \dfrac{d}{55}$ 시간입니다.

$$t_1 = \dfrac{15 \text{ 마일}}{30 \text{ mph}} = 0.5 \text{ 시간}, \quad \text{평균 속력} = \dfrac{15 + d}{0.5 + d/55}$$

💡 단위 (마일 $\div$ mph $=$ 시간) 를 따라가면 어떤 수를 더하고 어떤 수로 나눠야 할지가 그대로 보입니다 — 6학년 비율·비례 추론입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 2

가운데 선택지 (C) $d = 90$ 부터 넣어 봅니다.
총 거리는 $15 + 90 = 105$ 마일이고, 두 번째 구간 시간은 $\tfrac{90}{55} = \tfrac{18}{11} \approx 1.636$ 시간이므로 총 시간 $\approx 0.5 + 1.636 = 2.136$ 시간입니다.
평균 속력 $\approx \tfrac{105}{2.136} \approx 49.2$ mph 로 $50$ 보다 조금 모자랍니다.
즉, $d = 90$ 은 약간 작아서 더 큰 $d$ 가 필요합니다.

$$\dfrac{105}{2.136} \approx 49.2 \text{ mph} < 50$$

💡 $d$ 가 커질수록 빠른 $55$ mph 구간에서 보내는 시간이 늘어나, 전체 평균이 $55$ 쪽으로 끌려 올라갑니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 3

(A) $45$ 와 (B) $62$ 는 모두 $90$ 보다 작으므로, 이미 $50$ 에 못 미친 $d = 90$ 보다도 평균 속력이 더 낮을 수밖에 없습니다.
두 선택지를 지웁니다.
남는 후보는 (D) $110$ 과 (E) $135$ 뿐입니다.

$d = 45, 62, 90$ 모두 평균 $< 50 \text{ mph} \;\Rightarrow\;$ 탈락

💡 평균 속력은 $d$ 가 커질수록 함께 올라가므로, 실패한 $d = 90$ 아래는 자동으로 다 탈락 — 검산을 아낄 수 있습니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.7 단계 4

(D) $d = 110$ 을 넣어 봅니다.
총 거리 $= 15 + 110 = 125$ 마일, 두 번째 구간 시간 $= \tfrac{110}{55} = 2$ 시간, 총 시간 $= 0.5 + 2 = 2.5$ 시간.
평균 속력 $= \tfrac{125}{2.5} = 50$ mph — 정확히 맞아떨어집니다!

$$\dfrac{125}{2.5} = 50 \text{ mph} \;\checkmark$$

💡 $125 \div 2.5 = 50$ 은 5학년 소수 나눗셈으로 깔끔하게 떨어집니다 — 대수가 필요 없습니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

마지막으로 (E) $135$ 도 지웁니다.
두 번째 구간 시간 $= \tfrac{135}{55} \approx 2.455$ 시간, 총 시간 $\approx 2.955$ 시간, 평균 $\approx \tfrac{150}{2.955} \approx 50.8$ mph 로 $50$ 을 넘깁니다.
따라서 $d = 110$ 이 유일한 답입니다.

$$\dfrac{150}{2.955} \approx 50.8 \text{ mph} > 50 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 평균 속력은 $d$ 에 대해 단조 증가하므로, $110$ 에서 정확히 $50$ 이 됐다면 다른 선택지는 절대 같은 값을 줄 수 없습니다.

[1] #8 6.RP.A.3 먼저 $d$ 값과 상관없이 고정된 부분을 정리합시다. 첫 구간은 항상 $15$ 마일 $\div$ 시속 $30$ 마일 $= 0.5$ 시간이 걸립니

[2] #6 6.RP.A.3 가운데 선택지 (C) $d = 90$ 부터 넣어 봅니다. 총 거리는 $15 + 90 = 105$ 마일이고, 두 번째 구간 시간은 $\tfrac{

[3] #3 6.RP.A.3 (A) $45$ 와 (B) $62$ 는 모두 $90$ 보다 작으므로, 이미 $50$ 에 못 미친 $d = 90$ 보다도 평균 속력이 더 낮을 수

[4] #6 5.NBT.B.7 (D) $d = 110$ 을 넣어 봅니다. 총 거리 $= 15 + 110 = 125$ 마일, 두 번째 구간 시간 $= \tfrac{110}{55

[5] #3 6.RP.A.3 마지막으로 (E) $135$ 도 지웁니다. 두 번째 구간 시간 $= \tfrac{135}{55} \approx 2.455$ 시간, 총 시간 $\

검토

합리성 확인: 흔한 오답 직감은 $30$ 과 $55$ 를 단순 평균해서 $42.5$ 가 나오니까 "$50$ 은 불가능하다" 라고 단정하는 것입니다. 하지만 $d$ 는 *두 번째* 구간만 늘릴 뿐이고, $d$ 가 작으면 느린 $30$ mph 구간(시간으로 $0.5$ 시간) 이 시간상 더 큰 비중을 차지합니다. 시간 가중 평균을 $50$ 까지 끌어올리려면 빠른 구간이 여정을 압도해야 하고, 그러려면 $55$ mph 로 무려 $2$ 시간(즉 $110$ 마일) 을 달려야 합니다 — 느린 구간 $0.5$ 시간의 $4$ 배입니다. $50$ 이 $30$ 위로 $20$, $55$ 아래로 $5$ — 즉 $4{:}1$ 위치에 있다는 사실과 정확히 일치하므로 (D) $110$ 이 합리적입니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 $\dfrac{15+d}{0.5 + d/55} = 50$ 이라는 한 개의 방정식을 세우는 방법이 있습니다. 양변에 분모를 곱해 정리하면 $15 + d = 25 + \tfrac{10d}{11}$, 즉 $\tfrac{d}{11} = 10$ 이 되어 $d = 110$. 답은 같지만 유리식 방정식과 7학년 이상의 대수 조작이 필요해서, 객관식의 이점을 살리는 추측·확인 풀이보다 무겁습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (각 선택지의 추가 거리를 평균 속력으로 환산할 때 $125 \div 2.5 = 50$ 같은 소수 사칙연산에 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (평균 속력 $=$ 총 거리 $\div$ 총 시간 으로 보고, 각 후보의 평균을 목표인 $50$ mph 와 비교하며, $d$ 와 평균 속력이 단조 관계라는 사실로 선택지를 지우는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "총 거리 $\div$ 총 시간 $=$ 평균 속력" 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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