AMC 8 · 2019 · #18
학년 7 probabilitycounting문제
두 개의 공정한 주사위의 각 면에는 1, 2, 3, 5, 7, 8의 숫자가 적혀 있습니다. 이 두 주사위를 동시에 던졌을 때, 나온 두 눈의 합이 짝수일 확률은 얼마입니까?
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 여섯 면 주사위 두 개가 있는데, 평소처럼 $1$ 부터 $6$ 까지가 아니라 두 주사위 모두 면에 $1, 2, 3, 5, 7, 8$ 이 적혀 있습니다. 이 두 주사위를 한 번 던져 윗면에 나온 두 수를 더했을 때, 그 합이 짝수가 될 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 두 주사위 모두 면에 적힌 수는 $\{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$; 두 주사위는 공정해서 모든 면이 같은 확률로 나옴; 두 주사위를 한 번씩 던져 윗면 두 수를 더함; 선택지: (A) $\tfrac{4}{9}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{5}{9}$, (D) $\tfrac{3}{5}$, (E) $\tfrac{2}{3}$
구하는 것: 두 주사위 윗면 수의 합이 짝수일 확률
이해
문제 재정리: 여섯 면 주사위 두 개가 있는데, 평소처럼 $1$ 부터 $6$ 까지가 아니라 두 주사위 모두 면에 $1, 2, 3, 5, 7, 8$ 이 적혀 있습니다. 이 두 주사위를 한 번 던져 윗면에 나온 두 수를 더했을 때, 그 합이 짝수가 될 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 두 주사위 모두 면에 적힌 수는 $\{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$; 두 주사위는 공정해서 모든 면이 같은 확률로 나옴; 두 주사위를 한 번씩 던져 윗면 두 수를 더함; 선택지: (A) $\tfrac{4}{9}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{5}{9}$, (D) $\tfrac{3}{5}$, (E) $\tfrac{2}{3}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
합이 짝수가 되려면 두 수 모두 짝수이거나 두 수 모두 홀수여야 합니다(짝수 $+$ 홀수는 항상 홀수). 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 $36$ 가지 경우를 직접 다 적는 대신, 면 하나하나를 "짝수" 와 "홀수" 바구니에 정리해 놓으면 한꺼번에 셀 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "짝수–짝수 쌍의 수" 와 "홀수–홀수 쌍의 수" 라는 두 작은 문제로 갈라서 따로 센 뒤 마지막에 더하게 해 줍니다.
실행 — 정답: C
2.OA.C.3 단계 1 - 주사위 한 면씩 보면서 $\{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ 을 짝수와 홀수 바구니로 정리합니다.
- 짝수 바구니에는 $\{2, 8\}$, 홀수 바구니에는 $\{1, 3, 5, 7\}$ 이 들어가므로, 주사위 한 개에 짝수 면은 $2$ 개, 홀수 면은 $4$ 개씩 있습니다.
💡 수의 일의 자리만 보고 짝수인지 홀수인지 가르는 것은 2학년에서 배운 그대로입니다.
2.OA.C.3 단계 2 - 이제 합의 홀짝 규칙을 떠올립니다.
- 짝수 $+$ 짝수와 홀수 $+$ 홀수는 합이 짝수, 짝수 $+$ 홀수는 합이 홀수가 됩니다.
- 따라서 합이 짝수인 경우는 "둘 다 짝수" 또는 "둘 다 홀수" 두 가지 작은 문제로 갈라집니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 그대로입니다.
💡 두 수의 합이 짝수냐 홀수냐를 따지는 것도 결국 2학년의 짝·홀 판별을 합에 적용한 것뿐입니다.
7.SP.C.8 단계 3 - 두 주사위를 굴렸을 때 일어날 수 있는 전체 경우의 수를 셉니다.
- 첫 번째 주사위의 $6$ 가지 결과 각각에 두 번째 주사위의 $6$ 가지 결과가 짝지어지므로, 전체 표본 공간은 $6 \times 6 = 36$ 가지입니다.
💡 두 주사위의 모든 쌍을 $6 \times 6$ 표로 정리해 한꺼번에 세는 것은 7학년 "표·목록으로 복합 사건 세기" 그대로입니다.
3.OA.C.7 단계 4 - "둘 다 짝수" 인 경우부터 셉니다.
- 주사위 1 에 짝수 면이 $2$ 개, 주사위 2 에도 짝수 면이 $2$ 개이므로, 곱의 법칙으로 $2 \times 2 = 4$ 쌍입니다.
💡 $2 \times 2$ 처럼 한 자리 수끼리의 곱셈은 3학년 "$100$ 안의 곱셈·나눗셈" 안에 들어갑니다.
3.OA.C.7 단계 5 - "둘 다 홀수" 인 경우도 같은 방식으로 셉니다.
- 주사위 1 의 홀수 $4$ 개와 주사위 2 의 홀수 $4$ 개로 $4 \times 4 = 16$ 쌍이고, 두 작은 문제의 답을 더하면 짝수 합이 나오는 경우는 모두 $4 + 16 = 20$ 가지입니다.
💡 $4 \times 4$ 곱셈과 두 결과를 더하는 덧셈 모두 3학년 산수 안에서 끝납니다.
7.SP.C.7 단계 6 - 확률을 (조건을 만족하는 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수) 로 적고 약분합니다.
- $\tfrac{20}{36}$ 의 분자와 분모는 모두 $4$ 로 나누어떨어지므로 $\tfrac{20}{36} = \tfrac{5}{9}$ 이고, 이는 선택지 (C) 와 일치합니다.
💡 확률을 "조건을 만족하는 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 로 쓰는 것은 7학년 확률 모형의 기본 정의입니다.
2.OA.C.3 주사위 한 면씩 보면서 $\{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ 을 짝수와 홀수 바구니로 정리합니다. 짝수 바구니에는 $\{2, 8\}$, 홀수 2.OA.C.3 이제 합의 홀짝 규칙을 떠올립니다. 짝수 $+$ 짝수와 홀수 $+$ 홀수는 합이 짝수, 짝수 $+$ 홀수는 합이 홀수가 됩니다. 따라서 합이 짝 7.SP.C.8 두 주사위를 굴렸을 때 일어날 수 있는 전체 경우의 수를 셉니다. 첫 번째 주사위의 $6$ 가지 결과 각각에 두 번째 주사위의 $6$ 가지 결과 3.OA.C.7 "둘 다 짝수" 인 경우부터 셉니다. 주사위 1 에 짝수 면이 $2$ 개, 주사위 2 에도 짝수 면이 $2$ 개이므로, 곱의 법칙으로 $2 \t 3.OA.C.7 "둘 다 홀수" 인 경우도 같은 방식으로 셉니다. 주사위 1 의 홀수 $4$ 개와 주사위 2 의 홀수 $4$ 개로 $4 \times 4 = 16 7.SP.C.7 확률을 (조건을 만족하는 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수) 로 적고 약분합니다. $\tfrac{20}{36}$ 의 분자와 분모는 모두 검토
합리성 확인: 보통 주사위라면 짝수 면 $3$ 개, 홀수 면 $3$ 개로 정확히 반반이라 합이 짝수일 확률이 $\tfrac{1}{2}$ 입니다. 그런데 이 주사위는 홀수 면 $4$ 개, 짝수 면 $2$ 개로 홀수 쪽이 많기 때문에 "홀수–홀수" 쌍이 평소보다 자주 나오고, 따라서 합이 짝수일 확률은 $\tfrac{1}{2}$ 보다 약간 커야 합니다. 우리 답 $\tfrac{5}{9} \approx 0.556$ 은 $\tfrac{1}{2}$ 바로 위쪽이라 직관과 잘 맞고, 선택지 (C) 와 정확히 일치합니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건) 으로 풀어 봅시다. "합이 짝수" 의 반대는 "한쪽은 짝, 다른 쪽은 홀" 인 혼합 쌍입니다. 혼합 쌍의 수 $= 2 \times 4 + 4 \times 2 = 16$ 이므로 $P(\text{합이 홀수}) = \tfrac{16}{36} = \tfrac{4}{9}$, 따라서 $P(\text{합이 짝수}) = 1 - \tfrac{4}{9} = \tfrac{5}{9}$. 반대 사건을 세도 같은 (C) 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
2.OA.C.3물건들의 모임이 홀수인지 짝수인지 판별 (주사위 면 $6$ 개를 짝수 $\{2, 8\}$ 과 홀수 $\{1, 3, 5, 7\}$ 로 분류하고, "짝 + 짝, 홀 + 홀" 만 짝수 합이라는 홀짝 규칙을 확인.)3.OA.C.7$100$ 안에서 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 수행 (각 작은 문제의 답인 $2 \times 2 = 4$ (짝–짝) 와 $4 \times 4 = 16$ (홀–홀) 을 곱셈으로 구하고, 두 결과를 더해 $20$ 을 얻는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모형을 만들어 사건의 확률을 구함 (모든 경우가 같은 확률로 일어나는 표본 공간에서 확률을 (조건을 만족하는 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수) $= \tfrac{20}{36} = \tfrac{5}{9}$ 로 정의·계산.)7.SP.C.8조직적인 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (두 주사위를 하나의 복합 사건으로 보고, $6 \times 6 = 36$ 가지 표본을 표 형태로 정리한 뒤 홀짝으로 분할하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조건에 맞는 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 라는 확률의 기본 정의만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조건에 맞는 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 라는 확률의 기본 정의만 알면 풀 수 있어요!
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