AMC 8 · 2019 · #21

학년 6 geometry-2dalgebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equationslinear-equations-two-var coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 직선 $y=5$ , $y=1+x$ , $y=1-x$ 로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 좌표평면 위에 직선 $y = 5$, $y = 1 + x$, $y = 1 - x$ 세 개가 삼각형 하나를 둘러쌉니다. 이 삼각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 수평선 $y = 5$; 직선 $y = 1 + x$ (기울기 $+1$, $y$절편 $1$); 직선 $y = 1 - x$ (기울기 $-1$, $y$절편 $1$); 선택지: (A) $4$, (B) $8$, (C) $10$, (D) $12$, (E) $16$

구하는 것: 세 직선이 둘러싸는 삼각형의 넓이

이해

문제 재정리: 좌표평면 위에 직선 $y = 5$, $y = 1 + x$, $y = 1 - x$ 세 개가 삼각형 하나를 둘러쌉니다. 이 삼각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 수평선 $y = 5$; 직선 $y = 1 + x$ (기울기 $+1$, $y$절편 $1$); 직선 $y = 1 - x$ (기울기 $-1$, $y$절편 $1$); 선택지: (A) $4$, (B) $8$, (C) $10$, (D) $12$, (E) $16$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림 없이 식 세 개만 주어진 기하 문제는 도구 #1(그림 그리기)을 부르는 전형적인 상황입니다. 좌표평면에 세 직선을 대충 스케치해 보면 두 꼭짓점이 수평선 $y = 5$ 위에 나란히 놓이는 것이 보이고, 그 선분을 자연스러운 "밑변"으로 쓸 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 조각 — (가) 세 꼭짓점 찾기, (나) 그림에서 밑변과 높이 읽어 내기, (다) 삼각형 넓이 공식 적용하기 — 으로 나누면 거리 공식이나 복잡한 좌표기하 식 없이 한 단계짜리 방정식만으로 끝낼 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

세 직선을 스케치합니다.
$y = 5$ 는 수평선이고, $y = 1 + x$ 는 $(0, 1)$ 을 지나 오른쪽 위로 $45^\circ$ 올라가며, $y = 1 - x$ 는 같은 점을 지나 왼쪽 위로 $45^\circ$ 올라갑니다.
그림을 보면 위쪽이 $y = 5$ 에 평평하게 얹혀 있고 아래쪽 꼭짓점이 $(0, 1)$ 근처로 모이는 삼각형이 보입니다.

직선: $y = 5,\; y = 1 + x,\; y = 1 - x$

💡 좌표평면 위에 점과 직선을 표시하는 것은 5학년 "수직인 두 수직선으로 좌표계를 만드는" 기능 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

오른쪽 위 꼭짓점은 $y = 5$ 와 $y = 1 + x$ 가 만나는 점입니다.
기울어진 식에 $y = 5$ 를 대입하고 $x$ 를 구합니다.

$$5 = 1 + x \;\Rightarrow\; x = 4 \;\Rightarrow\; (4,\, 5)$$

💡 $px = q$ 꼴의 한 단계짜리 방정식 풀이($x = 4$)는 6학년 방정식 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 3

왼쪽 위 꼭짓점은 $y = 5$ 와 $y = 1 - x$ 의 교점입니다.
같은 방식으로 $y = 5$ 를 대입해 풉니다.

$$5 = 1 - x \;\Rightarrow\; x = -4 \;\Rightarrow\; (-4,\, 5)$$

💡 $(-4, 5)$ 를 찍으려면 $-4$ 가 $y$축 왼쪽에 놓인 점이라는 6학년의 음수 좌표 개념이 필요합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 4

아래쪽 꼭짓점은 기울어진 두 직선이 만나는 점입니다.
$1 + x = 1 - x$ 라 놓으면 $2x = 0$, 즉 $x = 0$ 이고 이때 $y = 1$ 입니다.

$$1 + x = 1 - x \;\Rightarrow\; x = 0,\; y = 1 \;\Rightarrow\; (0,\, 1)$$

💡 두 식을 같다고 놓고 변수를 구하는 것은 6학년 "식을 세우고 푸는" 동작입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 5

그림에서 밑변과 높이를 바로 읽습니다.
위쪽 두 꼭짓점 $(-4, 5)$ 와 $(4, 5)$ 는 $y$좌표가 같으므로 그 사이 선분이 수평한 밑변이 됩니다.
아래쪽 꼭짓점 $(0, 1)$ 은 이 밑변의 중점 바로 아래에 있으므로, 높이는 $y = 5$ 에서 $y = 1$ 까지 내려간 수직 거리입니다.

$$\text{밑변} = 4 - (-4) = 8,\quad \text{높이} = 5 - 1 = 4$$

💡 꼭짓점 좌표로 그린 다각형에서 변의 길이를 읽어 내는 것은 6학년 "좌표평면 위에 다각형 그리기" 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

방금 구한 밑변과 높이를 삼각형 넓이 공식에 대입합니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 밑변과 높이로부터 삼각형 넓이를 구하는 것은 6학년 삼각형 넓이 표준입니다.

[1] #1 5.G.A.1 세 직선을 스케치합니다. $y = 5$ 는 수평선이고, $y = 1 + x$ 는 $(0, 1)$ 을 지나 오른쪽 위로 $45^\circ$ 올라가

[2] #7 6.EE.B.7 오른쪽 위 꼭짓점은 $y = 5$ 와 $y = 1 + x$ 가 만나는 점입니다. 기울어진 식에 $y = 5$ 를 대입하고 $x$ 를 구합니다.

[3] #7 6.NS.C.6 왼쪽 위 꼭짓점은 $y = 5$ 와 $y = 1 - x$ 의 교점입니다. 같은 방식으로 $y = 5$ 를 대입해 풉니다.

[4] #7 6.EE.B.7 아래쪽 꼭짓점은 기울어진 두 직선이 만나는 점입니다. $1 + x = 1 - x$ 라 놓으면 $2x = 0$, 즉 $x = 0$ 이고 이때 $y

[5] #1 6.G.A.3 그림에서 밑변과 높이를 바로 읽습니다. 위쪽 두 꼭짓점 $(-4, 5)$ 와 $(4, 5)$ 는 $y$좌표가 같으므로 그 사이 선분이 수평한 밑

[6] #7 6.G.A.1 방금 구한 밑변과 높이를 삼각형 넓이 공식에 대입합니다.

검토

합리성 확인: 이 삼각형은 수평한 밑변 길이 $8$ 과 높이 $4$ 를 가진 이등변삼각형이므로, 넓이는 $8 \times 4 = 32$ 짜리 직사각형의 정확히 절반인 $16$ 입니다. 답 (E) 와 일치합니다. 그림으로 봐도 이 삼각형이 꼭짓점이 $(\pm 4, 1)$, $(\pm 4, 5)$ 인 가상 직사각형(넓이 $32$) 안에 딱 들어가고 그 절반을 차지한다는 게 보여서 결과가 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 세 꼭짓점 $(4, 5), (-4, 5), (0, 1)$ 에 신발끈 공식을 적용하면 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \,|\, 4(5 - 1) + (-4)(1 - 5) + 0(5 - 5) \,| = \tfrac{1}{2}\,|16 + 16 + 0| = 16$ 으로 같은 답이 나옵니다. 다만 "밑변 $\times$ 높이 $\div$ 2" 그림 접근에 비하면 훨씬 무거운 도구입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.1 수직인 두 수직선으로 좌표계를 구성하기 (세 직선을 좌표평면에 스케치해서 삼각형과 $y = 5$ 위의 밑변을 한눈에 보이게 만드는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($5 = 1 + x$ 와 $1 + x = 1 - x$ 같은 한 단계짜리 방정식을 풀어 두 꼭짓점의 $x$좌표를 구하는 데 사용.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 한 점으로 이해하기 (꼭짓점 $(-4, 5)$ 를 좌표평면에 찍기 위해 $-4$ 가 $y$축 왼쪽의 점임을 이해하는 데 사용.)
6.G.A.3 주어진 꼭짓점 좌표로 좌표평면 위에 다각형 그리기 (세 꼭짓점 좌표로 그린 삼각형에서 밑변 $|4 - (-4)| = 8$ 과 높이 $|5 - 1| = 4$ 를 직접 읽어 내는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (밑변 $8$, 높이 $4$ 인 삼각형에 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 공식을 적용하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 좌표평면과 삼각형 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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